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(a,b)- Pascal triangle

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这个(a,b)- Pascal triangle是与原始相同的递归产生的几何排列。帕斯卡三角形,除了其边界条件(对于每行中最左边和最右边的条目)。假设其边界条件为正整数,则将最右非零项初始化为我是说,> 0及其最左边非零项(除第一行外)n个= 0)初始化为我是说,>0。这个(a,b)- Pascal triangle可以通过叠加(k,1)- Pascal triangle具有=- 1和(1,k)- Pascal triangle具有=- 1,即:

是的。
(a,b)- Pascal triangle的矩形版本
n=0
2个
4个
5个
6个
9
10个
11个
德意志北方银行
J=0 2个 4个 5个 6个 9 10个 11个 德意志北方银行

(a,b)- Pascal triangle的等边版本我们从初始化的单元格(行0)开始。,将下面行中最左边的非零单元格初始化为,在交错的空(0)单元阵列中。然后,我们递归地评估细胞作为上述两个细胞交错的总和。三角形因此成长为等边三角形。

(a,b)- Pascal triangle的矩形版本我们从初始化的单元格(行0)开始。,将它下面的单元格初始化为,在空数组(0)的规则数组中。然后,我们递归地评估细胞作为左上方的一个和上面的一个的总和。三角形因此成长为一个矩形三角形。

如果是正数,那么所有的内部单元都必须大于或等于+. 从行0到单元格的数目n个等于因此n个是的。(Cf.A000 00 27n个))从行0到n个等于因此n个+ 1(Cf.)A000 00 27(n+1),和从行0到1的细胞数n个大于或等于+,和(n个- 1) 三角数是的。

相比之下,(1,1)- Pascal trianglePascal三角如下所示:

Pascal三角形的矩形
(数字三角形)
[一]
n=0
2个 2个
4个 4个 6个 4个
5个 5个 10个 10个 5个
6个 6个 十五 二十 十五 6个
21岁 35岁 35岁 21岁
28个 56个 70个 56个 28个
9 9 36个 84个 126个 126个 84个 36个 9
10个 10个 45岁 一百二十 二百一十 252个 二百一十 一百二十 45岁 10个
11个 11个 55岁 165个 330个 四百六十二 四百六十二 330个 165个 55岁 11个
德意志北方银行 德意志北方银行 66个 220个 495个 792个 924个 792个 495个 220个 66个 德意志北方银行
J=0 2个 4个 5个 6个 9 10个 11个 德意志北方银行

递归规则

(a,b)- Pascal三角形递归规则是:

公式

在哪里?什么时候n个< 0,< 0或n个-< 0,〔2〕Is-细胞n个我是说,J型的)Pascal三角是的。

(a,b)- Pascal三角公式和可加交换半群

(a,b)- Pascal triangle的矩形版本
n=0
2个
4个
5个
6个
9
10个
11个
德意志北方银行
J=0 2个 4个 5个 6个 9 10个 11个 德意志北方银行


因为二项式系数是计数设备(告诉我们添加了多少次),我们只需要一个可加交换半群[三](半群是具有关联性和闭包性质的运算集)。







关联性和交换性都需要允许分组。A'S和B'学生:

因此两者是否属于,等等?

  • 自然数
  • 有理整数
  • 有理整数n个
  • 有理数
  • 代数整数(例如高斯整数
  • 代数数
  • 实数
  • 复数(相当于(a,b)- Pascal三角形:一个用于实部,一个为虚数部分。
  • 四元数(相当于(a,b)- Pascal三角形
  • 八元数(相当于(a,b)- Pascal三角形
  • SeNeNeNe(相当于十六(a,b)- Pascal三角形
  • 向量(秩1的张量)或在任何给定的字段(相当于n个(a,b)- Pascal三角形
  • 矩阵(秩2张量)或在任何给定的字段(相当于n个(a,b)- Pascal三角形
  • 同秩张量在里面或在任何给定的字段(相当于(a,b)- Pascal三角形

(a,b)- Pascal三角列

(a,b)- Pascal三角列和

(a,b)- Pascal三角列交替符号和

(a,b)- Pascal(矩形)三角形柱

列序列表

列式相关公式表

(a,b)- Pascal(矩形)三角形下降对角线

下降对角序列表

下降对角线序列相关公式表

(a,b)- Pascal(矩形)三角形上升对角线

(a,b)- Pascal(矩形)三角形上升对角线和

(a,b)- Pascal(矩形)三角形上升对角线交替符号和

(a,b)- Pascal三角形中心元

中心元素(第2行)我是说,(a,b)- Pascal三角的(0)给出了序列:

{我是说,+,3个+ 3,10+ 10,35+ 35,126+ 126,462+ 462,…}

这是由公式给出的:

在哪里?

加泰罗尼亚数(也称为塞格纳数(参见)A000 0108

生成函数为:

在哪里?是生成函数加泰罗尼亚数以下内容:

(a,b)- Pascal triangle的推广

保持原貌帕斯卡三角形递归规则对于三角形的内部单元不变,那么人们可能要考虑广义的。(a,(n),b(n))- Pascal triangle我是说,n个超过0,在哪里n个选择n个)以及n个选择n个)是整数序列。

另见

笔记

  1. 上移 韦斯斯坦,Eric W.,虚数三角形从MathWorks--一个WordFrand网络资源。
  2. 上移 韦斯斯坦,Eric W.,二项式系数从MathWorks--一个WordFrand网络资源。
  3. 上移 韦斯斯坦,Eric W.,半群从MathWorks--一个WordFrand网络资源。

外部链接