搜索： 编号：a341091
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A341091型
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| 按行读取三角形：计算从零阶到k阶的所有有限差之和的系数sum_{n=0..k}T（n，k）*b（n）=b（0）+b（1）+…+b（k）+（b（1）-b（0））+…+（b（k）-b（k-1））+（b（2）-b。 |
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+0
三
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1, 0, 2, 1, -1, 3, 0, 3, -3, 4, 1, -2, 7, -6, 5, 0, 4, -8, 14, -10, 6, 1, -3, 13, -21, 25, -15, 7, 0, 5, -15, 35, -45, 41, -21, 8, 1, -4, 21, -49, 81, -85, 63, -28, 9, 0, 6, -24, 71, -129, 167, -147, 92, -36, 10, 1, -5, 31, -94, 201, -295, 315, -238, 129, -45, 11
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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如果我们想计算序列b（n）的有限差分之和：
b（0）*T（0，n）+…+b（n）*T（n，n）=b（0）+b（1）+…+b（n）+（b（1）-b（0））+…+（b（n）-b（n-1））+（b（2）-b。。。这个和包括序列b（n）本身。这定义了一个可逆线性序列变换，它与伯努利数和其他有趣的有理数序列有着深刻的联系。
这是由递推定义的多项式的系数：P（k，x）=P（k-1，x）+（x^2-x）*P（k-2，x）+1，其中P（-1，x）=0，P（0，x）=1。这也可以表示为P（k，x）=和{m=1..k+1}二项式（k+2-m，m）*（x^2-x）^（m-1）=和}n=0..k}T（n，k）*x^（k-n）。如果我们将P（k，t）作为固定t的序列进行求值，那么我们得到1/（（1-x）*（1+（t-1）*x）*。
我们可以将（x^2-x）替换为（x^（-2）-x^，（-1）），以得到倒序系数：x^k*Sum_{m=1..k+1}二项式（k+2-m，m）*（x^2）-xqu（-1）^（m-1）=Sum_}n=0..k}T（n，k）*x^n=F（k，x）。如果我们将F（k，t）作为固定t的序列进行求值，那么我们得到1/（（1-x）*（1-（t-1）*x）*。（结束）
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链接
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配方奶粉
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b（0）*T（0，m）+b（1）*Tb（m）*T（m，m）
=和{j=0..m}和{n=0..m-j}和_{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）*b（j+n-k）
=和{n=0..m}b（n）*和{j=n..m}（-1）^（j+n）*二项式（j+1，n）。
T（n，k）=和{m=n.k}（-1）^（m+n）*二项式（m+1，n）。
T（n，k）=（1/2）*（-1）^n*（2*（-1-托马斯·谢伊尔2024年4月29日
T（0，k*2）=1。
T（0，k*2+1）=0。
T（1，k*2+1）=k+2。
T（1，k*2+2）=-（k+1）。
T（n，k）具有常数n和变量k，与特征多项式（x-1）*（x+1）^（n+1）的线性递推关系。
求和{n=0..k}T（n，k）*B_n=1。B_n是第n个伯努利数，B_1=1/2。B_n（B_n）=A164555号（n）/A027642号（n） ●●●●。
求和{n=0..k}T（n，k）*（1-B_n）=k。
Sum_｛n=0..k｝T（n，k）*（2*n-3+3*B_n）=k^2。
求和{n=0..k}T（n，k）*（1/（1+n））=H（1+楼层（k/2）），其中H（k）是调和数A001008号（k）/A002805号（k） ●●●●。（结束）
求和{n=0..k}T（n，k）*c（n）=c（k）。C（k）={-1，0，1/2，1/2，1/8，-7/20，…}这个有理数序列可以递归定义：C（0）=-1，C（m）=（-C（m-1）+和{k=0..m-1}A130595型（m+1，k）*c（k））/m。
c（m）是该变换的特征序列，所有特征序列都是c（m”）乘以任意因子。
此序列充当单项式n^w上的运算符：
求和{n=0..k}T（n，k）*n^w=（1/（w+1））*k^（w+1）+求和{v=1..w}（（v+B_v）*（w）_v/v！）*k^（宽+1-v）-A052875号（w） +O_k（w）（w）_v是下降阶乘。如果k>w-1，则O_k（w）=0。如果k<=w-1，则O_k（w）为A084416号（w，2+k），具有指数生成函数的序列：（e^x-1）^（2+k，）/（2-e^x）。
这个序列由它的逆算子作用于单项式k^w：
Sum_{n=0..k}T（n，k）*（Sum_{m=0...k}（（-1）^（1+m+k）*二项式（k，m）*（2^（k-m）-1）*n^m+A344037型（m） *B_n））=k^w-A372245型（w，k+3），注意A372245型如果k+3>w.B_n是第n个Bernoulli数，B_1=1/2，则（w，k+3）=0。
该序列如何作为Dirichlet级数的算子，可通过以下公式得出：
求和{n=0..k}T（n，k）*m^n=m^2*m^k/（m-1）-（m-1。
求和{n=0..k}T（n，k）*（m*B_n+（m-1）*求和{T=1..m}T^n）*（1/m^2）=m^k，对于m>0。B_n是第n个伯努利数，B_1=1/2。
求和{n=0..k}T（n，k）zeta（-n）=求和{j=0..k}（-1）^（1+j）/（2+j）=（-1）*（k+1）*LerchPhi（-1，1，k+3）-1+log（2）。
求和{n=0..k}T（k-n，k）*4^n=A249997型（k） ●●●●。（结束）
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例子
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三角形以T（n，k）开头：
n=0、1、2、3、4、5、6、7、8
k=0 1
k=10，2
k=2 1，-1，3
k=30，3，-3，4
k=4 1，-2，7，-6，5
k=50、4、-8、14、-10、6
k=61、-3、13、-21、25、-15、7
k=70、5、-15、35、-45、41、-21、8
k=81、-4、21、-49、81、-85、63、-28、9
...
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黄体脂酮素
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（PARI）A341091型（n，k）=总和（m=n，k，（-1）^（m+n）*二项式（m+1，n））
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交叉参考
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将通过评估相关多项式获得以下序列：
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关键词
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作者
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经核准的
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