生成函数A(x)满足1+(xA)^2=A-4xA。
a(0)=1,对于n>0,a(n)=4a(n-1)+和{i=1..n-1}a(i-1)*a(n-i-1)-约翰·莱曼2000年1月7日
总面积:(1-4*x-sqrt(1-8*x+12*x^2))/(2*x*2)。
带递归的D-有限:a(n)=((2*n+1)*a(n-1)-3*(n-1”*a(n-2))*4/(n+2),n>0。
设A(x)为g.f.,则B(x)=1+x*A(x)=1+1*x+4*x^2+17*x^3+…=1/(1-z/(1-z:(1-z[(…)))),其中z=x/(1-2*x)(连分数);一般来说,B(x)=C(x/(1-2*x)),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
a(n)=M^n顶行项之和,M=无限平方生产矩阵,如下所示:
3, 1, 0, 0, ...
1, 3, 1, 0, ...
1, 1, 3, 1, ...
1, 1, 1, 3, ...
…(结束)
a(n)~3*6^(n+1/2)/(n^(3/2)*sqrt(Pi))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月5日
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}二项式(n,2*k)*二项式的(2k,k)*4^(n-2k)/(k+1)-马克斯·阿列克塞耶夫2015年2月2日
a(n)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*2^(n-k)*binominal(2*k+2,k)/(k+1)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*2^(n-k)*A000108号(k+1)。
a(n)=[x^n](1+4*x+x^2)^(n+1)/(n+1)。
G.f.:(1/x)*系列_版本(x/(1+4*x+x^2))。(结束)
a(n)=2^n*超深层([3/2,-n],[3],-2)-彼得·卢什尼2015年2月3日
a(n)=4^n*超深层([-n/2,(1-n)/2],[2],1/4)-罗伯特·伊斯雷尔2015年2月4日
a(n)=2*(12^(n/2))*(n!/(n+2)!)*GegenbauerC(n,3/2,2/sqrt(3)),其中GegenbaurerC是Maple表示法中的Gegenbaue多项式。这是由于罗伯特·伊斯雷尔的公式-卡罗尔·彭森2015年2月20日
a(n)=(2^(n+1)*3^((n+1-彼得·卢什尼2015年2月24日
a(n)=-6^(n+1)*sqrt(3)*积分{t=0..Pi}(cos(t)*(2+cos(t))^(-n-2))/(Pi*(n+2))-彼得·卢什尼2015年2月24日
发件人卡罗尔·彭森和Wojciech Mlotkowski,2015年3月16日:(开始)
积分表示为定义在线段x=[2,6]上的正函数的第n个矩。这个函数是Wigner的半圆分布向右移动了4。这种表示是独特的。在Maple表示法中,
a(n)=int(x^n*sqrt(4-(x-4)^2)/(2*Pi),x=2..6),
a(n)=2*6^n*Pochhammer(3/2,n)*超几何([-n,3/2],[-n-1/2],1/3)/(n+2)!
(结束)
a(n)=GegenbauerC(n,-n-1,-2)/(n+1)-彼得·卢什尼2016年5月9日
G.f.A(x)=1/(1-2*x)*c(x/(1-2**x))^2,其中c(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2**)是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.参见。129400澳元.
猜想:除了形式2*(2^k-1)的n外,a(n)是偶数。【2月3日补充:猜想来自于上述公式a(n)=和{k=0..n}2^(n-k)*二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。】(结束)
G.f.:1/(1-2*x)*c(x/(1-2**x))^2=1/(1-6*x)*c(-x/(1-1-6*x))A000108号.
a(n)=6^n*和{k=0..n}(-6)^(-k)*二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。
a(n)=6^n*超深层([-n,3/2],[3],2/3)。(结束)