搜索: 编号:a341091
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A341091型
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| 按行读取的三角形:用于计算从零阶到k阶的所有有限差之和的系数sum_{n=0..k}T(n,k)*b(n)=b(0)+b(1)+…+b(k)+(b(1)-b(0))+…+(b(k)-b(k-1))+(b(2)-b。 |
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+0 三
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1, 0, 2, 1, -1, 3, 0, 3, -3, 4, 1, -2, 7, -6, 5, 0, 4, -8, 14, -10, 6, 1, -3, 13, -21, 25, -15, 7, 0, 5, -15, 35, -45, 41, -21, 8, 1, -4, 21, -49, 81, -85, 63, -28, 9, 0, 6, -24, 71, -129, 167, -147, 92, -36, 10, 1, -5, 31, -94, 201, -295, 315, -238, 129, -45, 11
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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如果我们想计算序列b(n)的有限差分之和:
b(0)*T(0,n)+…+b(n)*T(n,n)=b(0)+b(1)+…+b(n)+(b(1)-b(0))+…+(b(n)-b(n-1))+(b(2)-b。。。这个和包括序列b(n)本身。这定义了一个可逆线性序列变换,它与伯努利数和其他有趣的有理数序列有着深刻的联系。
这是由递归定义的多项式的系数:P(k,x)=P(k-1,x)+(x^2-x)*P(k-2,x)+1,其中P(-1,x)=0,P(0,x)=1。这也可以表示为P(k,x)=和{m=1..k+1}二项式(k+2-m,m)*(x^2-x)^(m-1)=和}n=0..k}T(n,k)*x^(k-n)。如果我们将P(k,t)作为固定t的序列进行求值,那么我们得到1/((1-x)*(1+(t-1)*x)*。
我们可以将(x^2-x)替换为(x^(-2)-x^。如果我们将F(k,t)作为固定t的序列进行求值,那么我们得到1/((1-x)*(1-(t-1)*x)*。(结束)
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链接
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公式
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b(0)*T(0,m)+b(1)*Tb(m)*T(m,m)
=和{j=0..m}和{n=0..m-j}和_{k=0..n}(-1)^k*二项式(n,k)*b(j+n-k)
=和{n=0..m}b(n)*和{j=n..m}(-1)^(j+n)*二项式(j+1,n)。
T(n,k)=和{m=n.k}(-1)^(m+n)*二项式(m+1,n)。
T(n,k)=(1/2)*(-1)^n*(2*(-1-托马斯·谢伊尔2024年4月29日
T(0,k*2)=1。
T(0,k*2+1)=0。
T(1,k*2+1)=k+2。
T(1,k*2+2)=-(k+1)。
T(n,k)具有常数n和变量k,与特征多项式(x-1)*(x+1)^(n+1)的线性递推关系。
求和{n=0..k}T(n,k)*B_n=1。B_n是第n个伯努利数,B_1=1/2。B_n(B_n)=A164555号(n)/A027642号(n) ●●●●。
求和{n=0..k}T(n,k)*(1-B_n)=k。
求和{n=0..k}T(n,k)*(2*n-3+3*B_n)=k^2。
求和{n=0..k}T(n,k)*(1/(1+n))=H(1+楼层(k/2)),其中H(k)是调和数A001008号(k)/A002805号(k) ●●●●。(结束)
求和{n=0..k}T(n,k)*c(n)=c(k)。C(k)={-1,0,1/2,1/8,-7/20,…}这个有理数序列可以递归定义:C(0)=-1,C(m)=(-C(m-1)+和{k=0..m-1}A130595型(m+1,k)*c(k))/m。
c(m)是该变换的特征序列,所有特征序列都是c(m”)乘以任意因子。
此序列充当单项式n^w上的运算符:
求和{n=0..k}T(n,k)*n^w=(1/(w+1))*k^(w+1)+求和{v=1..w}((v+B_v)*(w)_v/v!)*k^(宽+1-v)-A052875号(w) +O_k(w)(w)_v是下降阶乘。如果k>w-1,则O_k(w)=0。如果k<=w-1,则O_k(w)为A084416号(w,2+k),具有指数生成函数的序列:(e^x-1)^(2+k,)/(2-e^x)。
这个序列由它的逆算子作用于单项式k^w:
求和{n=0..k}T(n,k)*(求和{m=0..k}((-1)^(1+m+k)*二项式(k,m)*(2^(k-m)-1)*n^m+A344037型(m) *B_n))=k^w-A372245型(w,k+3),注意A372245型如果k+3>w.B_n是第n个Bernoulli数,B_1=1/2,则(w,k+3)=0。
该序列如何作为Dirichlet级数的算子,可通过以下公式得出:
求和{n=0..k}T(n,k)*m^n=m^2*m^k/(m-1)-(m-1。
求和{n=0..k}T(n,k)*(m*B_n+(m-1)*求和{T=1..m}T^n)*(1/m^2)=m^k,对于m>0。B_n是第n个伯努利数,B_1=1/2。
求和{n=0..k}T(n,k)zeta(-n)=求和{j=0..k}(-1)^(1+j)/(2+j)=(-1)*(k+1)*LerchPhi(-1,1,k+3)-1+log(2)。
求和{n=0..k}T(k-n,k)*4^n=A249997型(k) ●●●●。(结束)
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例子
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三角形以T(n,k)开头:
n=0、1、2、3、4、5、6、7、8
k=0 1
k=10,2
k=2 1,-1,3
k=30,3,-3,4
k=41,-2,7,-6,5
k=50、4、-8、14、-10、6
k=61、-3、13、-21、25、-15、7
k=70、5、-15、35、-45、41、-21、8
k=81、-4、21、-49、81、-85、63、-28、9
...
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黄体脂酮素
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(PARI)A341091型(n,k)=总和(m=n,k,(-1)^(m+n)*二项式(m+1,n))
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交叉参考
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将通过评估相关多项式获得以下序列:
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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