搜索： a260503-编号：a260503
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A003319号
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| [1..n]的连接排列数（对于0<j<n，不固定[1..j]的排列数）。也称为不可分解置换或不可约置换。
（原名M2948）
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+10
112
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1, 1, 1, 3, 13, 71, 461, 3447, 29093, 273343, 2829325, 31998903, 392743957, 5201061455, 73943424413, 1123596277863, 18176728317413, 311951144828863, 5661698774848621, 108355864447215063, 2181096921557783605, 46066653228356851631, 1018705098450570562877
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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还有Aguiar和Sottile介绍的没有全局下降的排列数[推论6.3、6.4和备注6.5]。
还研究了Malvenuto-Reutenauer-Hopf置换代数的本原元空间的齐次分量的维数。阿奎尔和索蒂莱的著作【推论6.3】以及杜尚、希弗特和蒂本的著作【第3.3节】都以这种形式阐述了普瓦里埃和鲁特诺的这一结果【定理2.1】。
与秩为2的自由群中索引n-1的子群数有关（即任何2-生成元群中索引n-1的最大子群数）。参见斯坦利的枚举组合数学第二卷中的问题5.13（b）。
对于每个n，a（n+1）也是区间0..无穷大上概率密度函数rho（x）=exp（x）/（Ei（1，-x）*（Ei（1，-x）+2*I*Pi））的n阶矩，其中Ei是指数积分函数-格鲁·罗兰2009年1月16日
此外（显然），a（n+1）是在任何属的表面上具有n个省道的根超映射的数量（参见Walsh 2012）-N.J.A.斯隆2012年8月1日
还有从每个内部顶点到该顶点后代的带有箭头的移动节点数（循环根树）-布拉德·琼斯2014年9月12日
截至符号，A型碎片交点阶的Möbius数，参见阅读参考文献中的定理1.3-F.查波顿2015年4月29日
此外，a（n）是大小为n的完全非二义树的不同叶矩阵的数目-丹尼尔·陈2022年10月23日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第25页，例20。
E.W.Bowen，致N.J.A.Sloane的信，1976年8月27日。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第84页（#25）、262页（#14）和295页（#16）。
P.de la Harpe，《几何群论专题》，芝加哥大学出版社，2000年，第23页，N_{N，2}。
I.M.Gessel和R.P.Stanley，代数枚举，《组合数学手册》第2卷第21章，R.L.Graham等人编辑，麻省理工学院出版社，1995年。
M.Kauers和P.Paule，《混凝土四面体》，施普林格出版社2011年，第22页。
H.P.Robinson，致N.J.A.Sloane的信，1973年11月19日。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，第1卷，第1章，例128；1999年第2卷，见问题5.13（b）。
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链接
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马塞洛·阿奎尔和亚伦·劳夫，同一性的卷积能力，第25届形式幂级数与代数组合数学国际会议（FPSAC 2013），2013年，法国巴黎。离散数学和理论计算机科学，第1053-1064页，2013年，DMTCS论文集<hal-01229682>。
Joerg Arndt，生成随机排列，博士论文，澳大利亚国立大学，堪培拉，澳大利亚，（2010年）。
罗兰·巴赫（Roland Bacher）和克里斯托夫·鲁特纳（Christophe Reutenauer），右理想的个数与不可分解置换的q类比，arXiv预印本arXiv:1511.00426[math.CO]，2015。
Julien Berestycki、Eric Brunet和Zhan Shi，有多少进化史只会增加体质？，arXiv预印本arXiv:1304.0246[math.PR]，2013。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil和Michael D.Weiner，Bell变换族，arXiv:1803.07727[math.CO]，2018年。
彼得·卡梅隆的博客，对称群，11，发布于2011年4月9日。
范忠和R.L.Graham，原始杂耍序列，美国数学。月刊115（3）（2008）185-194。
L.Comtet，系列反转，C.R.学院。巴黎，第275页（1972年9月25日），第569-572页。（带注释的扫描副本）
戴信乐（Xinle Dai）、乔丹·龙（Jordan Long）和凯伦·叶芝（Karen Yeats），树木无亚发散胶，arXiv:2106.07494[math.CO]，2021。
M.A.Deryagina和A.D.Mednykh，关于给定边数的圆映射的计数《西伯利亚数学杂志》，第54期，第6期，2013年，624-639。
斯托扬·迪米特洛夫，按洗牌方法和队列排序，arXiv:2103.04332[math.CO]，2021。
J.D.Dixon，生成对称群的概率，数学。字110（1969）199-205。
理查德·埃伦堡（Richard Ehrenborg）、加博尔·海泰伊（Gábor Hetyei）和玛格丽特·雷迪（Margaret Readdy），加泰罗尼亚-斯皮策排列，arXiv:2310.06288[math.CO]，2023。见第19页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第90页。
A.L.L.Gao、S.Kitaev和P.B.Zhang。关于避免不可分解排列的模式，arXiv:1605.05490[math.CO]，2016年。
I.M.Gessel和R.P.Stanley代数枚举（生成函数请参见第7-8页。）
Y.Koh和S.Ree，连通置换图，离散数学。307 (2007), 2628-2635.
Chanchal Kumar和Amit Roy，整数序列与单项式理想，arXiv:2003.10098[math.CO]，2020年。
R.J.Martin和M.J.Kearney，一个精确可解的自进化递推，arXiv:1103.4936[math.CO]，2011年。
R.J.Martin和M.J.Kearney，一个精确可解的自进化递推、枇杷。数学。，80 (2010), 291-318. 见第292页。
理查德·马丁（Richard J.Martin）和迈克尔·卡尼（Michael J.Kearney），某些组合递归的积分表示《组合数学》：35:3（2015），309-315。
Jean-Christophe Novelli和Jean-Yves Thibon，自由拟对称函数、环积的下降代数和非交换多对称函数(2008); arXiv:0806.3682[math.CO]。离散数学。310（2010），第24期，3584-3606。
P.Ossona de Mendez和P.Rosenstiehl，置换的传递性和连通性《组合数学》，24（2004年第3期），487-501。
马塞尔·维恩布斯特（Marcel Wienöbst）、马克斯·班纳赫（Max Bannach）和马西耶·李希·基维茨（Maciej Li si kiewicz），马尔可夫等效DAG计数和采样的多项式时间算法及其应用，arXiv:2205.02654[cs.LG]，2022。
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配方奶粉
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G.f.：2-1/求和{k>=0}k*x ^k。
同时a（n）=n！-求和{k=1..n-1}k*a（n-k）[鲍文，1976年]。
还有发散级数展开对数Sum_{n>=0}n！中的系数*x^n=Sum_{n>=1}a（n+1）*x^n/n【Bowen，1976年】。
a（n）=（-1）^（n-1）*det｛|1！2！…n！|1 1！…（n-1）！|0 1！…（n-2）！|…|0…0 1 1！|｝。
L.g.f.：求和{n>=1}a（n）*x^n/n=log（求和{n>=0}n！*x^n）-保罗·D·汉纳2007年9月19日
G.f.：1+x/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/-保罗·巴里2008年10月7日
a（n）=M^（n-1）中的左上项，M=三角形A128175号作为无穷平方生产矩阵（删除第一个“1”）；如下：
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 2, 1, 0, 0, 0, ...
4, 4, 3, 1, 0, 0, ...
8, 8, 7, 4, 1, 0, ...
16, 16, 15, 11, 5, 1, ...
…（结束）
O.g.f.满足：A（x）=x-x*A（x-保罗·D·汉纳，2011年7月30日
设A（x）为g.f。；然后
A（x）=1/Q（0），其中Q（k）=x+1+x*k-（k+2）*x/Q（k+1）。
A（x）=（1-1/U（0））/x，当U（k）=1+x*（2*k+1）/（1-2*x*（k+1）或（2*x*（k+1）+1/U（k+1。（结束）
连续分数：
G.f.：1-G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/。
G.f.：（x/2）*G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1/2）+1/G（k+1）））。
G.f.：x*G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x-1/G（k+1））。
G.f.:1-1/G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/G（k+1）））。
G.f.：x*W（0），其中W（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/（1-x*（k+2）/（x*（k+2）-1/W（k+1）））。
（结束）
a（n）=A233824型（n-1）如果n>0。（证明集b（n）=A233824型（n） ，因此b（n）=n*n！-求和{k=1..n-1}k*b（n-k）。要得到n>=0时的a（n+1）=b（n），请在n上进行归纳，使用（n+1）！=n*n！+n！，并将总和中的k替换为k+1。）-乔纳森·桑多2013年12月19日
a（n）~n！*（1-2/n-1/n^2-5/n^3-32/n^4-253/n^5-2381/n^6-25912/n^7-319339/n^8-4388949/n^9-66495386/n^10），系数见A260503型-瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年7月27日
镀锌：1+x/（1+x-2*x/（1+2*x-3*x/。囊性纤维变性。A000698号.
G.f.：1/（1-x/（1+x-x/（1-2*x/（1-2*x/）（1-3*x/。（结束）
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例子
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G.f.=1+x+x^2+3*x^3+13*x^4+71*x^5+461*x^6+3447*x^7+29093*x^8+。。。
如果在1..n-1中存在一个i，使得范围1..i中的所有j和范围i+1..n中的所有k都是p（j）<p（k），那么[n]中的置换p（其中n>=0）是可约的。（注意，范围a..b包括a和b。）如果存在这样的i，我们说i在i处分裂置换。
示例：
*（）不可约，因为没有将（）分割的索引i。（=>a（0）=1）
*（1）是不可约的，因为没有分裂（1）的索引i。（=>a（1）=1）
*由于索引1将（1，2）拆分为p（1）<p（2），所以（1，2中）是可约的。
*（2，1）是不可约的，因为在唯一的势分裂点i=1处，我们有p（1）>p（2）。（=>a（2）=1）
*对于n=3，我们有（1，2，3），（1，3，2），和（2，1，3）是可约的，（2，3，1），（3，1，2）和（3，2，1）是不可约的。（结束）
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MAPLE公司
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反转（[seq（n！，n=1..20）]）；
级数（2-1/超几何（[1,1]，[]，x），x=0，50）#马克·范·霍伊2013年4月18日
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数学
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系数列表[假设[Element[x，Reals]，系列[2-E^（1/x）*x/ExpIntegralEi[1/x]，{x，0，20｝]]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年3月7日*）
a[n]：=如果[n<2，1，a[n]=（n-2）a[n-1]+和[a[k]a[n-k]，{k，n-1}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月23日*）
表[级数系数[1+x/（1+ContinuedFractionK[-楼层[（k+2）/2]*x，1，{k，1，n}]），{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2017年9月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，1，a=向量（n）；a[1]=1；对于（k=2，n，a[k]=（k-2）*a[k-1]+和（j=1，k-1，a[j]*a[k]）；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年7月24日*/
（PARI）{如果（n<1，1，a（n）=局部（a=x）；对于（i=1，n，a=x-x*a+a^2+x^2*a'+x*O（x^n））；波尔科夫（a，n））}/*保罗·D·汉纳2011年7月30日*/
（鼠尾草）
R、 C=[1]，[1]+[0]*（长度-1）
对于范围（1，len）中的n：
对于范围（n，0，-1）中的k：
C[k]=C[k-1]*k
C[0]=-总和（范围（1，n+1）中k的C[k]）
R.append（-C[0]）
返回R
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Marcelo Aguiar（maguiar（AT）math.tamu.edu）的补充评论，2002年3月28日
添加了a（0）=0（一些公式现在可能需要调整）-N.J.A.斯隆2012年9月12日
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状态
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经核准的
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1, 0, -2, -6, -29, -196, -1665, -16796, -194905, -2549468, -37055681, -592013436, -10307671769, -194225544124, -3937581243201, -85460277981116, -1977127315636969, -48573021658496348, -1262954975286604673, -34650561545808167292, -1000438355724912080873
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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对于k>1，为（k）负值。
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链接
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理查德·马丁（Richard J.Martin）和迈克尔·科尼（Michael J.Kearney），某些组合递归的积分表示《组合数学》：35:3（2015），309-315。
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配方奶粉
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a（k）~-k！/（2*exp（1）*（log（2））^（k+1））。
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例子
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A259869型（n） /（n！/exp（1））~1-2/n^2-6/n^3-29/n^4-196/n^5-1665/n^6-。。。
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数学
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nmax=20；b=系数表[假设[Element[x，Reals]，Series[x^2*E^（2+2/x）/ExpIntegralEi[1+1/x]^2，{x，0，nmax}]]，x]；压扁[{1，表[Sum[b[[k+1]]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，nmax}]}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年8月3日*）
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, -2, 1, -1, -9, -59, -474, -4560, -50364, -625385, -8622658, -130751886, -2163331779, -38793751015, -749691306018, -15535914341831, -343749787006758, -8089725377931547, -201801866906374263, -5319643146604299835, -147774950436327236681
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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对于k>2，为（k）负值。
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链接
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理查德·马丁（Richard J.Martin）和迈克尔·科尼（Michael J.Kearney），某些组合递归的积分表示《组合数学》：35:3（2015），309-315。
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配方奶粉
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a（k）~-（k-1）！/（对数（2））^k。
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例子
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A052186号（n） /n！~1-2/n+1/n^2-1/n^3-9/n^4-59/n^5-474/n^6-。。。
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数学
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nmax=30；b=系数表[假设[Element[x，Reals]，Series[E^（2/x）/（ExpIntegralEi[1/x]+E^，1/x））^2，{x，0，nmax}]]，x]；压扁[{1，表[Sum[b[[k+1]]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，nmax}]}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年8月3日*）
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, -4, 0, -8, -76, -752, -8460, -107520, -1522124, -23717424, -402941324, -7407988448, -146479479308, -3099229422352, -69863683041868, -1671667534710720, -42318672085310540, -1130167625049525232, -31758424368739424780, -936840101208573355680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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对于k>2，为（k）负值。
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链接
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理查德·马丁（Richard J.Martin）和迈克尔·科尼（Michael J.Kearney），某些组合递归的积分表示《组合数学》：35:3（2015），309-315。
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配方奶粉
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a（k）~-k*k！/（4*（对数（2））^（k+2））。
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例子
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A077607号（n） /（-n！）~1-4/n-8/n^3-76/n^4-752/n^5-8460/n^6-。。。
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数学
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nmax=30；b=系数表[假设[Element[x，Reals]，Series[x^4*E^（2/x）/（ExpIntegralEi[1/x]-x*E^（1/x））^2，{x，0，nmax}]]，x]；压扁[{1，表[Sum[b[[k+1]]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，nmax}]}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年8月3日*）
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 7, 31, 165, 1025, 7310, 59284, 543702, 5618267, 65200918, 846462826, 12229783811, 195394019337, 3427472046792, 65526442181293, 1355785469986828, 30166624979467869, 717769036033944699, 18174105506247664633, 487655384740384445407, 13816406622559942660420
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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理查德·马丁（Richard J.Martin）和迈克尔·科尼（Michael J.Kearney），某些组合递归的积分表示《组合数学》：35:3（2015），309-315。
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配方奶粉
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a（k）~2*（k-1）！/（对数（2））^k。
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例子
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A051295号（n） /（n-1）！~1+2/n+7/n^2+31/n^3+165/n^4+1025/n^5+7310/n^6+。。。
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数学
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nmax=30；b=系数表[假设[Element[x，Reals]，Series[E^（2/x）*x/（ExpIntegralEi[1/x]-E^（1/x））^2，{x，0，nmax+1}]]，x]；表[总和[b[[k+1]]*搅拌S2[n，k-1]，{k，1，n+1}]，{n，0，nmax}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年8月3日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, -2, -1, -4, -19, -110, -745, -5752, -49775, -476994, -5016069, -57462828, -712732987, -9521244982, -136356161873, -2084860795232, -33907076207495, -584602069590058, -10652917092110429, -204604743619641620, -4131502481607654739, -87507494737954740126
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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L.Comtet，系列反转，C.R.学院。巴黎科学院，t.275（1972年9月25日），569-572。（带注释的扫描副本）
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配方奶粉
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G.f.：（1/总和（k！x^k））^2。
a（n）~-2*n！*（1-3/n-4/n^3-33/n^4-283/n^5-2785/n^6-31291/n^7-395360/n^8-5544754/n^9-85427259/n^10），系数见A261214型.
对于n>0，a（n）=Sum_{k=1..n}A260503型（k） *斯特林1（n-1，k-1）。
（结束）
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例子
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数学
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系数列表[级数[1/和[k！*x^k，{k，0，20}]^2，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年8月3日*）
系数列表[假设[Element[x，Reals]，Series[E^（2/x）*x^2/ExpIntegralEi[1/x]^2，{x，0，25}]]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年8月3日*）
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 7, 35, 216, 1575, 13243, 126508, 1359437, 16312915, 217277446, 3194459333, 51557948291, 908431129702, 17376289236947, 358847480175063, 7959468559605624, 188702262366570387, 4760773506835189975, 127312428854513811012, 3596091234340397964321
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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理查德·马丁（Richard J.Martin）和迈克尔·科尼（Michael J.Kearney），某些组合递归的积分表示《组合数学》：35:3（2015），309-315。
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配方奶粉
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a（k）~k！/（2*（对数（2））^（k+1））。
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例子
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A051296号（n） /n！~1+2/n+7/n^2+35/n^3+216/n^4+1575/n^5+13243/n^6+。。。
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数学
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nmax=30；b=系数表[假设[Element[x，Reals]，Series[E^（2/x）*x^2/（ExpIntegralEi[1/x]-2*x*E^[1/x））^2，{x，0，nmax}]]，x]；压扁[{1，表[Sum[b[[k+1]]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，nmax}]}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年8月3日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, -3, 0, -4, -33, -283, -2785, -31291, -395360, -5544754, -85427259, -1433955817, -26046643595, -509070113635, -10653941722236, -237754202827284, -5636787946661521, -141514316248243499, -3751121064314067653, -104704135027419849139, -3070176356776990397500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（k）~-3*k！/（4*（对数（2））^（k+1））。
对于n>0，a（n）=Sum_{k=1..n}A261239型（k） *箍筋2（n-1，k-1）。
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例子
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A259472型（n） /（-2*n！）~1-3/n-4/n^3-33/n^4-283/n^5-2785/n^6-。。。
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数学
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压扁[{1，表[Sum[CoefficientList[Assument[Element[x，Reals]，级数[E^（3/x）*x^3/ExpIntegralEi[1/x]^3，{x，0，25}]，x][[k+1]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，20}]}]
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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经核准的
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1, -3, 0, -4, -21, -129, -910, -7242, -64155, -626319, -6685548, -77527104, -971315713, -13084909917, -188723009274, -2902997766470, -47458671376503, -821951603042523, -15037432614035864, -289828080356525052, -5870642802374608509, -124691017072423632777
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）~-3*n！*（1-4/n+2/n^2-2/n^3-31/n^4-288/n^5-2939/n^6-33944/n^7-438614/n^8-6266312/n^9-9805033/n^10），系数为A261253型.
对于n>0，a（n）=Sum_{k=1..n}A261214型（k） *箍筋1（n-1，k-1）。
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例子
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数学
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系数列表[假设[Element[x，Reals]，Series[E^（3/x）*x^3/ExpIntegralEi[1/x]^3，{x，0，25}]]，x]
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, -4, 2, -2, -31, -288, -2939, -33944, -438614, -6266312, -98050303, -1667563622, -30631857759, -604518210964, -12758658946466, -286833669370926, -6844757550430019, -172833310268551740, -4604828067485736507, -129123684195177403168, -3801830662346341617586
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（k）~-k！/（对数（2））^（k+1）。
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例子
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A261239型（n） /（-3*n！）~1-4/n+2/n^2-2/n^3-31/n^4-288/n^5-2939/n^6-。。。
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数学
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压扁[{1，表[Sum[CoefficientList[Assument[Element[x，Reals]，级数[E^（4/x）*x^4/ExpIntegralEi[1/x]^4，{x，0，25}]，x][[k+1]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，25}]}]
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