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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a122868-识别码：a122868
显示找到的7个结果中的1-7个。
第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A307910型
平方数组A（n，k），n>=0，k>=0（通过反对偶读取），其中k列是1/sqrt（1-2*k*x+k*（k-4）*x^2）的展开式。
+10
4
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 3, 8, 7, 0, 1, 4, 15, 32, 19, 0, 1, 5, 24, 81, 136, 51, 0, 1, 6, 35, 160, 459, 592, 141, 0, 1, 7, 48, 275, 1120, 2673, 2624, 393, 0, 1, 8, 63, 432, 2275, 8064, 15849, 11776, 1107, 0, 1, 9, 80, 637, 4104, 19375, 59136, 95175, 53344, 3139, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,8
链接
Seiichi Manyama，反对角线n=0..139，平坦
配方奶粉
A（n，k）是（1+k*x+k*x2）^n展开式中x^n的系数。
A（n，k）=和{j=0..floor（n/2）}k^（n-j）*二项式（n，j）*二项式（n-j，j）=和}j=0..floor（n/2）}k^。
n*A（n，k）=k*（2*n-1）*A（n-1，k）-k*（k-4）*（n-1）*A（n-2，k）。
例子
方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
0, 7, 32, 81, 160, 275, 432, ...
0, 19, 136, 459, 1120, 2275, 4104, ...
0, 51, 592, 2673, 8064, 19375, 40176, ...
0, 141, 2624, 15849, 59136, 168125, 400896, ...
0, 393, 11776, 95175, 439296, 1478125, 4053888, ...
数学
A[n_，k_]：=k^n超几何C2F1[（1-n）/2，-n/2，1，4/k]；A[0，_]=1；A[_，0]=0；表[A[n-k，k]，{n，0,10}，{k，n，0，-1}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2019年5月7日*）
交叉参考
列k=0..4给出A000007号,A002426号,A006139号,A122868号,A059304型.
主对角线给出A092366号.
囊性纤维变性。A107267号,A292627型,A307819型,A307847型,A307855型,A307883型.
关键词
非n,表
作者
Seiichi Manyama先生2019年5月5日
状态
经核准的
2017年2月8日
三角形，其中第n行的g.f=d^n/dx^n（1+x+x^2）^n/n！对于n>=0，按行读取。
+10
三
1, 1, 2, 3, 6, 6, 7, 24, 30, 20, 19, 80, 150, 140, 70, 51, 270, 630, 840, 630, 252, 141, 882, 2520, 4200, 4410, 2772, 924, 393, 2856, 9576, 19320, 25410, 22176, 12012, 3432, 1107, 9144, 35280, 83160, 131670, 144144, 108108, 51480, 12870, 3139, 29070, 126720, 341880, 630630, 828828, 780780, 514800, 218790, 48620
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
链接
Ivan Neretin，n=0..5150（第0..100行）时的n、a（n）表
配方奶粉
总面积：A（x，y）=1/sqrt（1-2*x-3*x^2-4*x*y）。
G.f.：A（x，y）=和{k>=0}二项式（2*k，k）*x^k*y^k/（1-2*x-3*x^2）^（k+1/2）。
第一列是中心三项式系数(A002426号).
主对角线是中心二项式系数(A000984号).
行和形成（1+3*x+3*x^2）^n的中心系数(A122868号).
例子
三角形开始：
1;
1, 2;
3, 6, 6;
7, 24, 30, 20;
19, 80, 150, 140, 70;
51, 270, 630, 840, 630, 252;
141, 882, 2520, 4200, 4410, 2772, 924;
393, 2856, 9576, 19320, 25410, 22176, 12012, 3432;
1107, 9144, 35280, 83160, 131670, 144144, 108108, 51480, 12870; ...
k>=0列的g.f.等于中心二项式系数C（2*k，k）乘以x^k*y^k*g（x）^（2*k+1），其中g（xA002426号.
第n行的g.f.是d^n/dx^n（1+x+x^2）^n/n！，开始于：
n=0:1；
n=1:1+2*x；
n=2:3+6*x+6*x^2；
n=3:7+24*x+30*x ^2+20*x ^3；
n=4:19+80*x+150*x^2+140*x^3+70*x^4；
n=5:51+270*x+630*x^2+840*x^3+630*x^4+252*x^5；
n=6:141+882*x+2520*x^2+4200*x^3+4410*x^4+2772*x^5+924*x^6。。。
数学
扁平@桌子[系数列表[D[（1+x+x^2）^n/n！，{x，n}]，x]，{n，0，9}](*伊凡·内雷廷2019年6月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=polceoff（polceof（1/sqrt（1-2*x-3*x^2-4*x*y+x*O（x^n）+y*O（y^k）），n，x），k，y）}
对于（n=0，12，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）行（n）=我的（p=（1+x+x^2）^n/n！）；对于（k=1，n，p=导数（p））；Vecrev（p）\\米歇尔·马库斯2019年6月22日
交叉参考
囊性纤维变性。A002426号（第一列），A000984号（主对角线），A122868号（行总和）。
关键词
非n,表
作者
保罗·D·汉纳2012年12月6日
状态
经核准的
A225439型
3*x/（（1-（1-9*x）^（1/3））*（1-9**）^的展开（2/3））。
+10
三
1, 3, 21, 162, 1305, 10773, 90342, 765936, 6546177, 56293380, 486451251, 4220183916, 36731240910, 320571837810, 2804298945840, 24580601689752, 215832643307217, 1898042178972285, 16714070686567620, 147360883148636850, 1300623629653125855
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
链接
文森佐·利班迪，n=0..200时的n，a（n）表
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}C（k，n-k）*3^（k）*（-1）^（n-k）*C（n+k-1，n-1），n>0，a（0）=1。
G.f.:A（x）=1+x*B'（x）/B（x），其中B（x）=（1-（1-9*x）^（1/3））/（3*x）是A097188号.
n*（n-1）*a（n）=18*-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年5月22日
a（n）~3^（2*n-1）/（伽玛（2/3）*n^（1/3））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年5月22日
当n>0时，a（n）=（伽马（n+2/3）/伽马（2/3）+伽马（n+1/3）/（伽玛（1/3）））*3^（2*n-1）/伽玛（n+1））-彼得·卢什尼2013年7月5日
发件人彼得·巴拉，2022年3月11日：（开始）
a（n）=[x^n]（1/（1-3*x+3*x^2））^n.参考。A122868号（n） =[x^n]（1+3*x+3*x^2）^n。
高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p以及正整数n和k（End）
MAPLE公司
A225439型：=n->`if`（n=0，1，（伽马（n+2/3）/伽马（2/3）+伽马（n+1/3）/（伽马（1/3）））*3^（2*n-1）/伽马（n+1））：序列(A225439型（i） ，i=0..20）#彼得·卢什尼2013年7月5日
数学
表[和[二项式[k，n-k]*3^k*（-1）^（n-k）*二项式[n+k-1，n-1]，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年5月22日*）
黄体脂酮素
（极大值）a（n）：=如果n=0，则1其他和（二项式（k，n-k）*3^（k）*（-1）^（n-k）*二项式[n+k-1，n-1），k，0，n）；
（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（3*x/（（1-（1-9*x）^（1/3））*（1-9**）^\\约尔格·阿恩特2013年5月8日
（PARI）{a（n）=局部（B=（1-（1-9*x+x^2*O（x^n））^（1/3））/（3*x））；polceoff（1+x*B'/B，n，x）}\\保罗·D·汉纳2013年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A025748号,A097188号,A122868号.
关键词
非n
作者
弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年5月8日
状态
经核准的
A232973型
反对偶读取Dziemianczuk的数组s（i，j）。
+10
三
1, 3, 6, 15, 33, 60, 81, 189, 378, 675, 459, 1107, 2349, 4509, 7992, 2673, 6588, 14553, 29403, 55188, 97416, 15849, 39663, 90207, 189351, 371358, 687258, 1209951, 95175, 240894, 560115, 1211031, 2458998, 4727565, 8664813, 15227190, 576963, 1473147, 3485187
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
链接
拉尔斯·布隆伯格，n=0..5049的n，a（n）表（前100名反对症患者）
M.Dziemianczuk，用四种步长计算格路径《图与组合数学》，2013年9月，DOI 10.1007/s00373-013-1357-1。
例子
数组开始：
1, 3, 15, 81, 459, 2673, 15849, ...
6, 33, 189, 1107, 6588, 39663, 240894, ...
60, 378, 2349, 14553, 90207, 560115, 3485187, ...
675, 4509, 29403, 189351, 1211031, 7715331, 49045662, ...
7992, 55188, 371358, 2458998, 16112925, 104838219, 678790125, ...
...
黄体脂酮素
（PARI）\\Dziemianczuk，命题1
S（n，k）=总和（i=0，n+k，总和（j=0，i，二项式（k，j）*二项式；
A=[]；对于（i=1,10，A=concat（A，向量（i，j，S（j-1，i-1）））；
A类\\拉尔斯·布隆伯格2017年7月20日
交叉参考
请参见A122868号和A232969型用于引导行行和列。
关键词
非n,表
作者
N.J.A.斯隆2013年12月5日
扩展
a（15）-a（38）来自拉尔斯·布隆伯格2017年7月20日
状态
经核准的
A260774型
某些定向晶格路径。
+10
三
1, 6, 33, 189, 1107, 6588, 39663, 240894, 1473147, 9058554, 55954395, 346934745, 2157989445, 13459891500, 84152389833, 527224251861, 3309194474451, 20804569738218, 130987600581699, 825796890644895, 5212349717906889, 32935490120006604, 208316726580941037
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
精确定义见Dziemianczuk（2014）。
链接
阿洛伊斯·海因茨，n=0..1235的n，a（n）表（Lars Blomberg的前101个术语）
M.Dziemianczuk，具有附加垂直步长的有向格路径，arXiv预印本arXiv:1410.5747[math.CO]，2014。
配方奶粉
参见Dziemianczuk（2014）等式（33a），m=1。
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2022年7月15日：（开始）
递归：（n+1）*（4*n-3）*a（n）=6*（4*n^2-n-1）*a。
a（n）~（3+2*sqrt（3））^（n+1）/sqrt（6*Pi*n）。（结束）
MAPLE公司
b： =proc（x，y）选项记忆`如果`（[x，y]=[0$2]，1，
`如果`（x>0，加上（b（x-1，y+j），j=-1..1），0）+
`如果`（y>0，b（x，y-1），0）+`如果`
结束时间：
a： =n->b（n，1）：
seq（a（n），n=0..23）#阿洛伊斯·海因茨2021年9月21日
数学
b[x_，y_]：=b[x，y]=如果[{x，y}=={0，0}，1，
如果[x>0，求和[b[x-1，y+j]，{j，-1，1}]，0]+
如果[y>0，b[x，y-1]，0]+如果[y<0，b[x，y+1，0]]；
a[n]：=b[n，1]；
表[a[n]，{n，0，23}](*Jean-François Alcover公司，2022年5月2日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
囊性纤维变性。A122868号,A064641号,A156016号.
囊性纤维变性。A006139号,A179191号,A052709号,A025227号.
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2015年7月30日
扩展
更多术语来自拉尔斯·布隆伯格2015年8月1日
状态
经核准的
A260772型
某些定向晶格路径。
+10
2
1, 3, 10, 41, 190, 946, 4940, 26693, 147990, 837102, 4811860, 28027210, 165057100, 981177060, 5879570200, 35478788269, 215398416870, 1314794380374, 8064119033220, 49673222082782, 307163049317540, 1906066361809148, 11865666767361960, 74081851132379426
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
精确定义见Dziemianczuk（2014）。
链接
拉尔斯·布隆伯格，n=0..100时的n，a（n）表
M.Dziemianczuk，具有附加垂直步长的有向格路径，arXiv预印本arXiv:1410.5747[math.CO]，2014。
M.Dziemianczuk，具有附加垂直步长的有向格路径《离散数学》，第339卷，第3期，2016年3月6日，第1116-1139页。
Heba Bou KaedBey、Mark van Hoeij和Man Cheung Tsui，用二阶方程求解三阶线性差分方程，arXiv:2402.11121[math.AC]，2024。见第3页。
配方奶粉
通用公式：P1（x）=（2*（1-x）/3）/x-（2*sqrt（1-5*x-2*x^2）/3）/x）*sin（（Pi/6+弧坐标（（20*x^3-6*x^2+15*x-2）/2）/（1-5*x-2*x ^2）^（3/2）））见Dziemianczuk（2014），第11号提案。
a（n）=（1/n）*Sum_{j=0..（n+1）/4}（-1）^j*C（n，j）*C（3*n-4*j，n-4*j+1），a（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2019年4月4日
n*（n+1）*（25*n^2-70*n+21）*a（n）-30*（7*n-15）*n*a（n-1）+（-1100*n^4+5280*n^3-6424*n^2-1188*n+3816）*a-马克·范·霍伊，2022年7月14日
a（n）~2^（n-1/2）*phi^（（10*n-1）/4）/（sqrt（Pi）*5^（1/4）*sqrt=A001622号是黄金比例-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年7月15日
MAPLE公司
#A260772型满足可减少的4阶递归
#到程序t中给出的二阶递归：
t:=proc（n）选项记忆；
如果n<=1，则
[1/2，0，1，4][2*n+2]
其他的
（16*（n-2）*（2*n-3）*（5*n-2）*t（n-2
/（n*（2*n+1）*（5*n-7））
fi（菲涅耳）
结束时间：
A260772型：=进程（n）
t（n/2）+（（2-2*n）*t（n-1）/2）+
结束时间：
序列(A260772型（i） ，i=0..100）；
#马克·范·霍伊，2022年7月14日
黄体脂酮素
（最大值）
a（n）：=如果n=0，则1为和（（-1）^j*二项式（n，j）*二项法（3*n-4*j，n-4*j+1），j，0，（n+1）/4）/n/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2019年4月4日*/
（PARI）a（n）=如果（n==0，1，sum（j=0，（n+1）/4，（-1）^j*二项式（n，j）*二项式（3*n-4*j，n-4*j+1））/n）\\米歇尔·马库斯2019年4月5日
交叉参考
囊性纤维变性。A122868号,A260774型,A064641号,A156016号.
囊性纤维变性。A006139号,A179191号,A052709号,A025227号.
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2015年7月30日
扩展
更多术语来自拉尔斯·布隆伯格2015年8月1日
状态
经核准的
A243116号
a（n）=和{k=0..n}C（n+2*k，3*k）*C（3*k，2*k）。
+10
1
1, 4, 28, 220, 1816, 15424, 133456, 1169872, 10354528, 92331904, 828204928, 7464652672, 67547774464, 613295870464, 5584367987968, 50974595472640, 466307503244800, 4273832891668480, 39237007284226048, 360768875975526400, 3321625537178669056, 30619908430235828224, 282578914501599305728
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
比较：求和{k=0..n}（-1）^k*C（n+2*k，3*k）*C（3*k，2*k）=（-2）^n表示n>=0。
链接
迈克尔·德弗利格，n=0..1027时的n，a（n）表
哈塞内·贝尔巴赫尔和阿卜杜勒加尼·梅多伊，帕斯卡金字塔（1，2，r）中的对角线和《Les Annales RECITS》（2019）第6卷，第45-52页。
配方奶粉
通用公式：和{n>=0}C（3*n，n）*x^n/（1-x）^（3*n+1）-保罗·D·汉纳2014年8月30日
G.f.：1/（1-x）/（3/G（x/（1-xA001764号. -保罗·D·汉纳2014年8月30日
G.f.满足：A（x）=1+（4-3*x）*A（x-保罗·D·汉纳2014年9月5日
a（n）=和{k=0..n}A109955号（n，k）*A005809号（k） ●●●●。
a（n）=-（-2）^n+2*Sum_{k=0.[n/2]}C（n+4*k，6*k）*C（6*k，4*k）。
递归：2*n*（2*n-1）*（3*n-4）*a（n）=（3*n-2）*（39*n^2-65*n+18）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月21日
发件人彼得·巴拉，2022年3月11日：（开始）
a（n）=和{k=0..floor（n/4）}（-1）^k*二项式（n，k）*二项法（4*n-4*k，3*n）。
a（n）=[x^n]（（1+x）^4-x^4）^n.参考。A122868号（n） =[x^n]（（1+x）^3-x^3）^n。
因此，对于所有素数p以及正整数n和k，高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）成立（End）
例子
通用公式：A（x）=1+4*x+28*x^2+220*x^3+1816*x^4+15424*x^5+。。。
哪里
A（x）=1/（1-x）+3*x/（1-x）^4+15*x^2/C（3*n，n）*x^n/（1-x）^（3*n+1）+。。。
条款说明。
序列A005809号（k） =C（3*k，2*k）开始：
[1, 3, 15, 84, 495, 3003, 18564, 116280, 735471, 4686825, ...];
三角形A109955号（n，k）=C（n+2*k，3*k）开始：
1;
1, 1;
1, 4, 1;
1, 10, 7, 1;
1, 20, 28, 10, 1;
1, 35, 84, 55, 13, 1;
1, 56, 210, 220, 91, 16, 1;
1, 84, 462, 715, 455, 136, 19, 1; ...
其中a（n）=和{k=0..n}A109955号（n，k）*A005809号（k） ：
a（1）=1*1+1*3=4；
a（2）=1*1+4*3+1*15=28；
a（3）=1*1+10*3+7*15+1*84=220；
a（4）=1*1+20*3+28*15+10*84+1*495=1816。。。
比较对象：总和{k=0..n}（-1）^k*A109955号（n，k）*A005809号（k） =（-2）^n。
数学
表[Sum[二项式[n+2*k，3*k]*二项式[3]，2*k]，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=和（k=0，n，二项（n+2*k，3*k）*二项（3*k，2*k））}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=-（-2）^n+2*和（k=0，n\2，二项式（n+4*k，6*k）*二项式
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（m=0，n，二项式（3*m，m）*x^m/（1-x+x*O（x^n））^（3*m+1））；polcoff（a，n）}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
交叉参考
囊性纤维变性。A109955号,A005809号.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2014年8月20日
状态
经核准的
第页1

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