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按行读取三角形,T(n,k)=T(n-1,k)+T(n-2,k-1)+T。
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1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 2, 0, 1, 4, 3, 3, 2, 0, 1, 5, 6, 5, 6, 0, 1, 1, 6, 10, 9, 12, 3, 3, 0, 1, 7, 15, 16, 21, 12, 6, 3, 0, 1, 8, 21, 27, 35, 30, 14, 12, 0, 1, 1, 9, 28, 43, 57, 61, 35, 30, 6, 4, 0, 1, 10, 36, 65, 91, 111, 81, 65, 30, 10, 4, 0, 1, 11, 45, 94, 142, 189, 169, 135, 90, 30, 20, 0, 1
评论
T(n,k)是使用k(1/2,1)-栅栏和n-k正方形的n块板的瓷砖数。(1/2,1)-栅栏是由两块1/2宽的瓷砖组成,由1宽的间隙隔开。(结果由K.Edwards在论文中证明-请参阅链接部分。)-迈克尔·艾伦2019年4月28日
T(n,k)是(1/(1-x^3),x*(1+x)/(1-x*3))Riordan数组中的第(n,n-k)个条目-迈克尔·艾伦2021年3月11日
配方奶粉
T(n,k)=T(n-1,k)+T(n-2,k-1)+T。
T(n,k)=T(n-1,k)+T(n-2,k-1)+T。
总和{k=0..层(n/2)}T(n-k,k)=A120415号(n) ●●●●。(结束)
例子
三角形的前几行是:
1;
1, 0;
1, 1, 0;
1, 2, 0, 1;
1, 3, 1, 2, 0;
1, 4, 3, 3, 2, 0;
1, 5, 6, 5, 6, 0, 1;
1, 6, 10, 9, 12, 3, 3, 0;
1, 7, 15, 16, 21, 12, 6, 3, 0;
1, 8, 21, 27, 35, 30, 14, 12, 0, 1;
...
T(9.3)=27=T(8.3)+T(7.2)+T。
数学
T[n,k_]:=如果[n<k | | k<0,0,T[n-1,k]+T[n-2,k-1]+T[n-3,k-3]+KroneckerDelta[n,k,0]];
扁平[表[T[n,k],{n,0,14},{k,0,n}]](*迈克尔·艾伦2019年4月28日*)
黄体脂酮素
(岩浆)
如果k lt 0或k gt n,则返回0;
elif k eq 0,然后返回1;
否则返回T(n-1,k)+T(n-2,k-1)+T(n-3,k-3);
结束条件:;返回T;
端函数;
[T(n,k):[0..n]中的k,[0..14]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年9月1日
(SageMath)
如果(k<0或k>n):返回0
elif(k==0):返回1
else:返回T(n-1,k)+T(n-2,k-1)+T
压扁([[T(n,k)代表k in(0..n)]代表n in(0..14)])#G.C.格鲁贝尔2022年9月1日
k的数量,使得(k*n)==2(mod 3),对于0<=k<=n。
+10 5
0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 3, 0, 3, 4, 0, 4, 5, 0, 5, 6, 0, 6, 7, 0, 7, 8, 0, 8, 9, 0, 9, 10, 0, 10, 11, 0, 11, 12, 0, 12, 13, 0, 13, 14, 0, 14, 15, 0, 15, 16, 0, 16, 17, 0, 17, 18, 0, 18, 19, 0, 19, 20, 0, 20, 21, 0, 21, 22, 0, 22, 23, 0, 23, 24, 0, 24, 25, 0, 25, 26, 0, 26, 27, 0, 27, 28, 0, 28
配方奶粉
a(n)=和{k=0..n}[(k*n)==2(模3)];
a(n)=n-2*(楼层(n/3)+1)*(1-cos(2*Pi*n/3))/3-楼层(n/3*)*(5+4*cos(2*Pi*n/3))/3。
通用格式:x^2*(x^2+1)/((x-1)^2*-科林·巴克2013年3月31日
a(n)=2*sin(n*Pi/3)*(sqrt(3)*cos(n*Pi)+2*n*sin-韦斯利·伊万·赫特2017年9月24日
数学
{#1,1+#,0}[[模式[#,3,1]]/3&/@范围[0,99](*费德里科·普罗夫维迪,2021年6月15日*)
线性递归[{0,0,2,0,0-1},{0,0,1,0,1,2},100](*哈维·P·戴尔2023年5月4日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=总和(k=0,n,(k*n%3)==2)\\米歇尔·马库斯2017年9月25日
1, 1, 1, 4, 2, 2, 7, 3, 3, 10, 4, 4, 13, 5, 5, 16, 6, 6, 19, 7, 7, 22, 8, 8, 25, 9, 9, 28, 10, 10, 31, 11, 11, 34, 12, 12, 37, 13, 13, 40, 14, 14, 43, 15, 15, 46, 16, 16, 49, 17, 17, 52, 18, 18, 55, 19, 19, 58, 20, 20, 61, 21, 21, 64, 22, 22, 67, 23, 23, 70, 24, 24, 73, 25, 25, 76
配方奶粉
a(n)=和{k=0..n,如果(mod(kn,3)=0,1,0)}。
a(n)=地板(n/3)(5/3+4/3cos(2Pi*/3))+1。
当n>5时,a(n)=2*a(n-3)-a(n-6)-科林·巴克,2015年5月2日
通用格式:(2*x^3+x^2+x+1)/((x-1)^2*(x^2+x+1)^2)-科林·巴克,2015年5月2日
黄体脂酮素
(PARI)Vec((2*x^3+x^2+x+1)/((x-1)^2*(x^2+x+1)^2)+O(x^100))\\科林·巴克,2015年5月2日
1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 7, 5, 4, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 6, 5, 3, 3, 6, 7, 9, 11, 9, 7, 6, 3, 4, 6, 8, 12, 12, 12, 12, 8, 6, 4, 4, 7, 9, 13, 15, 15, 15, 13, 9, 7, 4
配方奶粉
通用公式:(1+x+x^2)(1+xy+x^2*y^2)/((1-x^3)^2*(1-x|3*y^3)。
T(n,k)=总和{j=0..n,[j<=k]*楼层((k-j+3)/3)*[j<=n-k]*楼板((n-k-j+3)/3)}。
例子
三角形开始
1;
1,1;
1,2,1;
2,2,2,2;
2,3,3,3,2;
2,4,4,4,4,2;
3,4,5,7,5,4,3;
3,5,6,8,8,6,5,3;
3,6,7,9,11,9,7,6,3;
数学
T[n_,k_]:=总和[Boole[j<=k]*楼层[(k-j+3)/3]*Boole[j<=n-k]*楼板[(n-k-j+3)/3],{j,0,n}];表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年7月15日*)
x/(1+x+x^2-x^3-x^4-x^5)的展开。
+10 1
0, 1, -1, 0, 2, -2, 0, 3, -3, 0, 4, -4, 0, 5, -5, 0, 6, -6, 0, 7, -7, 0, 8, -8, 0, 9, -9, 0, 10, -10, 0, 11, -11, 0, 12, -12, 0, 13, -13, 0, 14, -14, 0, 15, -15, 0, 16, -16, 0, 17, -17, 0, 18, -18, 0, 19, -19
配方奶粉
G.f.:x/(1-x)*(1+x+x^2)^2)=x*(1-x)/(1-x^3)^2。
a(n)=(1/9)*(1-cos(2*Pi*n/3)+sqrt(3)*(2*n+3)*sin。
数学
系数列表[级数[x/(1+x+x^2-x^3-x^4-x^5),{x,0,60}],x](*或*)线性递归[{-1,-1,1,1},{0,1,0,2},60](*哈维·P·戴尔2017年7月15日*)
表[楼层[(n+3)/3]*(Mod[n+1,3]-1),{n,0,40}](*G.C.格鲁贝尔2024年3月26日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[地层((n+3)/3)*((n+1)mod 3-1):[0..40]]中的n//G.C.格鲁贝尔2024年3月26日
(SageMath)[((n+3)//3)*((n+1)%3-1)表示范围(41)内的n]#G.C.格鲁贝尔2024年3月26日
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