搜索： a034597-编号：a034599
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1, 0, 196560, 16773120, 398034000, 4629381120, 34417656000, 187489935360, 814879774800, 2975551488000, 9486551299680, 27052945920000, 70486236999360, 169931095326720, 384163586352000, 820166620815360, 1668890090322000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.3
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，第三版，Springer-Verlag，1993年，第51、134-135页。
W.Ebeling，《格与码》，Vieweg；2002年第2版，见第113页。
N.J.A.Sloane，《七个错开的序列》，《向一个花脸拼图机致敬》，E.Pegg Jr.、A.H.Schoen和T.Rodgers（编辑），A.K.Peters、Wellesley，马萨诸塞州，2009年，第93-110页。
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链接
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Henry Cohn、Abhinav Kumar、Stephen D.Miller、Danylo Radchenko和Maryna Viazovska，24维球体堆积问题，arXiv:1603.06518[math.NT]，2016年。
D de Laat和F Vallenton，球形封装的突破：寻找魔法函数，arXiv预印本arXiv:1607.02111[math.MG]，2016。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
G.Nebe和N.J.A.Sloane，晶格的主页
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和，（见第12页），Aequationes mathematicae，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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配方奶粉
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例子
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G.f=1+196560*q^2+16773120*q^3+398034000*q^4+462938120*q^5+。。。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；f:=1+240*加（σ[3]（m）*q^（2*m），m=1..50）；t:=q^2*mul（（1-q^（2*m））^24，m=1..50）；系列（f^3-720*t，q，51）；
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数学
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最大值=17；f=1+240*总和[DivisorSigma[3，m]*q^（2m），{m，1，max}]；t=q^2*乘积[（1-q^（2m））^24，｛m，1，max｝]；分区[CoefficientList[Series[f^3-720t，{q，0，2 max}]，q]，2][[All，1]](*Jean-François Alcover公司2011年10月14日，Maple之后*）
（*从版本6开始*）f[q_]=LatticeData[“Leech”，“ThetaSeriesFunction”][x]/。x->-I*对数[q]/Pi；级数[f[q]，{q，0，32}]//系数列表[#，q^2]&(*Jean-François Alcover公司2013年5月15日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，SeriesCoefficient[（1+240 Sum[q^k DivisorSigma[3，k]，{k，n}]）^3-720 q QPochhammer[q]^24，{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月9日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）//水蛭晶格的Theta系列，来自约翰·坎农2006年12月29日
A0084008Q:=函数（prec）M12:=模块形式（Gamma0（1），12）；t1:=基础（M12）[1]；T:=PowerSeries（t1，prec）；回归系数（T）；端函数；Q:=A008408Q（1000）；问[678]；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polceoff（1+（总和（k=1，n，sigma（k，11）*x^k）-x*eta（x+O（x^n））^24）*65520/691，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月19日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polcoeff（总和（k=1，n，240*sigma（k，3）*x^k，1+x*O（x^n））^3-720*x*eta（x+O（x*n）））^24，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月19日*/
（鼠尾草）A=模块形式（Gamma0（1），12，prec=30）。basis（）；A[1]-65520/691*A[0]#迈克尔·索莫斯2014年6月9日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（1），12），30）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月9日*/
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义A008408号（n） ：返回65520*（除数_sigma（n，11）-（n**4*除数_sigma（n）-24*（m:=n+1>>1）**2*n-i）对于范围（1，m））内的i）//691，如果其他n为1#柴华武2022年11月17日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A034414美元
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| 长度为24n的双重二进制自对偶码的极值权重枚举器中的前导项。 |
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+10
4
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1, 759, 17296, 249849, 3217056, 39703755, 481008528, 5776211364, 69065734464, 824142912363, 9826364199840, 117145945726810, 1396918583188128, 16665451879695801, 198937019774252928
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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前导非零项之后的项最终变为负，因此对于大部分n，极值码不存在（另请参阅参考文献A034415号).
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参考文献
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F.J.MacWilliams和N.J.A.Sloane，《纠错码理论》，Elsevier-North Holland，1978年，见定理13，第624页。
C.L.Mallows和N.J.A.Sloane，《自对偶码、信息和控制的上限》，22（1973），188-200。
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链接
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G.Nebe、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码与不变量理论柏林施普林格出版社，2006年。
E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码，《编码理论手册》第177-294页，爱思唯尔出版社，1998年(摘要，pdf格式，秒).
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配方奶粉
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a（24n）=C（24n，5）*C（5n-2，n-1）/C（4n+4，5）。
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例子
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长度为24时，极值权重枚举数为1+759*x^8+2576*x^12+。。。，超前系数759；这是二进制Golay代码的权重枚举器。
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MAPLE公司
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#极重计数员：
kernelopts（printbytes=false）：界面（屏幕宽度=200）；
W0:=1；f： =1+14*x+x^2；f： =f^3；g： =x*（1-x）^4；
从1到100亩做
#设置最大度数
md:=mu+3；W0:=系列（f^mu，x，md）：h:=系列（g/f，x，md）：A:=系列
因为我从1到mu do
Z： =系列（Z*h，x，md）；A： =系列（A-系数（A，x，i）*Z，x，md）；od:l打印（A）；
日期：
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数学
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a[n]：=18（6n-1）（8n-1）“（12n-1）”（24n-1）二项式[5n-2，n-1]/（（n+1）（2n+1）“（4n+1）”（4n+3））；a[0]=1；表[a[n]，{n，0，14}](*Jean-François Alcover公司，2011年10月6日，配方后*）
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A034415号
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| 长度为24n的双重二进制自对偶码的极值权重枚举器中的第二项。 |
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+10
4
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1, 2576, 535095, 18106704, 369844880, 6101289120, 90184804281, 1251098739072, 16681003659936, 216644275600560, 2763033644875595, 34784314216176096, 433742858109499536, 5369839142579042560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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这些项在n=154时变为负值，因此到那时肯定不存在极值代码（见参考文献）。
在n=250之前，这些项的大小稳步增加，但在n=154时，它们的符号从正值变为负值。
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参考文献
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F.J.MacWilliams和N.J.A.Sloane，《纠错码理论》，爱思唯尔北荷兰出版社，1978年，见定理13，第624页。
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链接
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C.L.Mallows和N.J.A.Sloane，自对偶码的一个上界《信息与控制》，22（1973），188-200。
G.Nebe、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码与不变量理论柏林施普林格出版社，2006年。
E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码，《编码理论手册》第177-294页，爱思唯尔出版社，1998年(摘要，pdf格式，秒).
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例子
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长度为24时，（Golay代码的）重量枚举数为1+759*x^8+2576*x^12+。。。，领先系数759，第二任期2576。
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MAPLE公司
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, 16773120, 39007332000, 15281788354560, 2972108280960000, 406954241261568000, 45569082381053868000, 4499117081888292864000, 408472720963469499617280, 34975479259332252426240000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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尽管这些最初增加，但最终在约1700项（即尺寸约40800）时为负值-参见参考文献。
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag。
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链接
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C.L.Mallows、A.M.Odlyzko和N.J.A.Sloane，模形式、格和码的上界，J.Alg。，36 (1975), 68-76.
C.L.Mallows和N.J.A.Sloane，自对偶码的一个上界《信息与控制》，22（1973），188-200。
G.Nebe、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码与不变量理论柏林施普林格出版社，2006年。
E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码，《编码理论手册》第177-294页，爱思唯尔出版社，1998年(摘要，pdf格式，秒).
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例子
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MAPLE公司
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数学
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术语=10；收割[For[mu=1；打印[1]；母猪[1]，mu<terms，mu++，md=mu+3；f=1+240*总和[DivisorSigma[3，i]*x^i，{i，1，md}]；f=系列[f，{x，0，md}]；f=系列[f^3，{x，0，md}]；g=系列[x*产品[（1-x^i）^24，{i，1，md}]，{x，0，md}]；W0=系列[f^mu，{x，0，md}]；h=系列[g/f，{x，0，md}]；A=系列[W0，{x，0，md}]；Z=A；对于[i=1，i<=mu，i++，Z=级数[Z*h，{x，0，md}]；A=系列[A-系列系数[A，{x，0，i}]*Z，{x、0，md}]]；an=级数系数[A，{x，0，mu+2}]；打印[an]；母猪[an]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2017年7月8日，改编自Maple项目A034597号*)
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