A008392-编号：A008392-OEIS

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第页1

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A108625号

正方形数组，由反对偶读取，其中第n行等于A_n晶格的水晶球序列。

+10
36

1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 5, 1, 1, 13, 19, 7, 1, 1, 21, 55, 37, 9, 1, 1, 31, 131, 147, 61, 11, 1, 1, 43, 271, 471, 309, 91, 13, 1, 1, 57, 505, 1281, 1251, 561, 127, 15, 1, 1, 73, 869, 3067, 4251, 2751, 923, 169, 17, 1, 1, 91, 1405, 6637, 12559, 11253, 5321, 1415, 217, 19, 1

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,5

与相应数组进行比较A108553号D_n晶格的水晶球序列。

发件人彼得·巴拉2008年7月18日：（开始）

的行反转A099608型.

这个数组与常数zeta（2）有着显著的关系。数组的行、列和对角线项以zeta（2）的系列加速度公式出现。

对于第n行中的条目，我们有zeta（2）=2*（1-1/2^2+1/3^2-…+（-1）^（n+1）/n^2）+（-1）^n*Sum_{k>=1}1/（k^2*T（n，k-1）*T（n，k））。例如，n=4表示zeta（2）=2*（1-1/4+1/9-1/16）+1/（1*21）+1/（4*21*131）+1/（9*131*471）+。请参见14295英镑了解更多详细信息。

对于k列中的条目，我们有zeta（2）=（1+1/4+1/9+…+1/k^2）+2*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/（n^2*T（n-1，k）*T（n，k））。例如，k=4表示zeta（2）=（1+1/4+1/9+1/16）+2*（1/（1*9）-1/（4*9*61）+1/（9*61*309）-…）。请参见A142999号了解更多详细信息。

此外，由于Apery证明了zeta（2）的非理性，我们得到了沿表主对角线的级数加速度公式：zeta（1）=5*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/（n^2*T（n，n）*T（n-1，n-1））=5*（1/3-1/（2^2*3*19）+1/（3^2*19*147）-…）。

沿着其他对角线也出现了一连串的加速度结果。例如，对于主子对角线，计算支持结果zeta（2）=2-Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*（n^2+（2*n+1）^2）/（n^2*（n+1）^2*T（n，n-1）*T（n+1，n））=2-10/（2^2*7）+29/（6^2*7*55）-58/（12^2*55*471）+。。。，而对于主超对角线，我们似乎有zeta（2）=1+Sum{n>=1}（-1）^（n+1）*（（n+1。

Apery常数zeta（3）的类似级数加速结果适用于乘积晶格A_n x A_n的水晶球序列；看见A143007号了解更多详细信息。在超立方晶格A_1x….x A_1的常数log（2）和水晶球序列之间，以及在C_n型晶格的对数（2）与水晶球序列间，也存在类似的结果；看见A008288号和A142992号分别了解更多详细信息。（结束）

这个数组是三角形的希尔伯特变换A008459号（请参见A145905号希尔伯特变换的定义）-彼得·巴拉2008年10月28日

链接

阿洛伊斯·海因茨，反对角线n=0..140，平坦

R.Bacher、P.de la Harpe和B.Venkov，羊角面包和埃哈特羊角协会，加拿大皇家科学院。科学。巴黎，325（系列1）（1997），1137-1142。

约瑟夫·尤苏（Joseph T.Iosue）、T.C.穆尼（T.C.Mooney）、亚当·埃伦伯格（Adam Ehrenberg）和亚历克谢·戈什科夫（Alexey V.Gorshkov），投影复曲面设计、差集和量子态设计，arXiv:2311.13479[quant-ph]，2023年。见第6页。

阿明·斯特劳布，多元Apéry数与有理函数的超同余《代数与数论》，第8卷，第8期（2014年），第1985-2008页；arXiv预印本，arXiv:1401.0854[math.NT]，2014年。

A.van der Poorten，欧拉错过的证据。。。阿佩里对泽塔非理性的证明（3）。非正式报告。数学。Intelligencer 1（1978/79），第4期，195-203年。

埃里克·魏斯坦的数学世界，Apéry编号.

配方奶粉

T（n，k）=和{i=0..k}C（n，i）^2*C（n+k-i，k-i）。

第n行的G.f:（总和{i=0..n}C（n，i）^2*x^i）/（1-x）^（n+1）。

和{k=0..n}T（n-k，k）=电话：108626（n）（反对角线总和）。

发件人彼得·巴拉2008年7月23日（开始）：

O.g.f.行n:1/（1-x）*Legendre_P（n，（1+x）/（1-x））。

方阵的G.f.：1/sqrt（（1-x）*（1-t）^2-x*（1+t）^2））=（1+x+x^2+x^3+…）+（1+3*x+5*x^2+7*x^3+…）*t+（1+7*x+19*x^2+…）*t ^2+。囊性纤维变性。142977英镑.

主对角线为A005258号.

重复关系：

第n行条目：（k+1）^2*T（n，k+1）=（2*k^2+2*k+n^2+n+1）*T（n，k）-k^2*T（n，k-1），k=1,2,3；

k列条目：（n+1）^2*T（n+1，k）=（2*k+1）*（2*n+1）*T（n，k）+n^2*T（n-1，k），n=1,2,3；

主对角线条目：（n+1）^2*T（n+1，n+1）=（11*n^2+11*n+3）*T（n，n）+n^2*T（n-1，n-1），n=1,2,3。

zeta（2）的级数加速度公式：

行n:zeta（2）=2*（1-1/2^2+1/3^2-…+（-1）^（n+1）/n^2）+（-1）^n*Sum_{k>=1}1/（k^2*T（n，k-1）*T（n，k））；

列k:zeta（2）=1+1/2^2 ^2+1/3^2+…+1/k^2+2*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/（n^2*T（n-1，k）*T（n，k））；

主对角线：zeta（2）=5*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/（n^2*T（n-1，n-1）*T（n，n））。

超对角线的猜想结果：zeta（2）=1+1/2^2+…+1/k^2+Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*（5*n^2+6*k*n+2*k^2）/（n^2*（n+k）^2*T（n-1，n+k-1）*T（n，n+k。

子对角线的猜想结果：zeta（2）=2*（1-1/2^2+…+（-1）^（k+1）/k^2）+。

猜想同余：主超对角数S（n）：=T（n，n+1）似乎满足所有素数p>=5以及所有正整数m和r的超同余S（m*p^r-1）=S（m*1（r-1）-1）（mod p^（3*r））。如果p是形式4*n+1的素数，我们可以用奇数写p=a^2+b^2。然后计算出同余S（（p-1）/2）==2*a^2（mod p）。（结束）

发件人迈克尔·索莫斯，2012年6月3日：（开始）

T（n，k）=超几何（[-n，-k，n+1]，[1，1]，1）。

T（n，n-1）=A208675型（n） ●●●●。

T（n+1，n）=A108628号（n） ●●●●。（结束）

T（n，k）=二项式（n，k）*超几何（[-k，k-n，k-n]，[1，-n]，1）-彼得·卢什尼2018年2月10日

发件人彼得·巴拉，2023年6月23日：（开始）

T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（n，i）*二项法（n+k-i，k-i）^2。

T（n，k）=二项式（n+k，k）^2*超几何（[-n，-k，-k]，[-n-k，-n-k]），1）。（结束）

发件人彼得·巴拉2023年6月28日；（开始）

T（n，k）=1/（（1-x-y）*（1-z）-x*y*z）展开式中（x^n）*（y^k）*（z^n）的系数。

T（n，k）=B（n，k，n），用Straub公式24表示。

对于所有素数p>=5以及正整数n和k，超同余T（n*p^r，k*p^ r）==T（n*p^（r-1），k*p ^（r-1））（mod p^，3*r）成立。

公式T（n，k）=超几何（[n+1，-n，-k]，[1，1]，1）允许表索引扩展到负值n和k；显然，我们发现所有n和k的T（-n，k）=T（n-1，k）。似乎T（n，-k）=（-1）^n*T。（结束）

T（n，k）=Sum_{i=0..n}（-1）^（n+i）*二项式（n，i）*二项式（n+i，i）*二项式（k+i，i）=（-1）^n*超几何（[n+1，-n，k+1]，[1，1]，1）-彼得·巴拉2023年9月10日

发件人G.C.格鲁贝尔，2023年10月5日：（开始）

设t（n，k）=t（n-k，k）（反对偶）。

t（n，k）=超几何3F2（[k-n，-k，n-k+1]，[1,1]，1）。

T（n，2*n）=A363867飞机（n） ●●●●。

T（3*n，n）=A363868型（n） ●●●●。

T（2*n，2*n）=A363869型（n） ●●●●。

T（n，3*n）=A363870型（n） ●●●●。

T（2*n，3*n）=A363871型（n） ●●●●。（结束）

T（n，k）=和{i=0..n}二项式（n，i）*二项式-彼得·巴拉2024年2月26日

和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）*T（n，k）=A005259号（n），与zeta（3）相关联的Apery数-彼得·巴拉2024年7月18日

例子

方形数组开始：

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...A000012号;

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...A005408号;

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, ...A003215号;

1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, ...A005902号;

1, 21, 131, 471, 1251, 2751, 5321, ...A008384号;

1, 31, 271, 1281, 4251, 11253, 25493, ...A008386号;

1, 43, 505, 3067, 12559, 39733, 104959, ...A008388号;

1, 57, 869, 6637, 33111, 124223, 380731, ...A008390号;

1, 73, 1405, 13237, 79459, 350683, 1240399, ...A008392美元;

1, 91, 2161, 24691, 176251, 907753, 3685123, ...A008394号;

1, 111, 3191, 43561, 365751, 2181257, ... ...A008396号;

...

作为三角形：

[0] 1

[1] 1, 1

[2] 1, 3, 1

[3] 1, 7, 5, 1

[4] 1, 13, 19, 7, 1

[5] 1, 21, 55, 37, 9, 1

[6] 1, 31, 131, 147, 61, 11, 1

[7] 1, 43, 271, 471, 309, 91, 13, 1

[8] 1, 57, 505, 1281, 1251, 561, 127, 15, 1

[9] 1, 73, 869, 3067, 4251, 2751, 923, 169, 17, 1

...

行的二项式逆变换产生三角形行A063007号:

1, 2;

1, 6, 6;

1, 12, 30, 20;

1, 20, 90, 140, 70;

1, 30, 210, 560, 630, 252; ...

第n行的g.f.与（1-x）^（n+1）的乘积生成对称三角形A008459号:

1, 1;

1, 4, 1;

1, 9, 9, 1;

1, 16, 36, 16, 1;

1, 25, 100, 100, 25, 1;

...

MAPLE公司

T:=（n，k）->二项式（n，k）*超几何（[-k，k-n，k-n]，[1，-n]，1）：

seq（seq（简化（T（n，k）），k=0..n），n=0..10）#彼得·卢什尼2018年2月10日

数学

T[n_，k_]：=超几何PFQ[{-n，-k，n+1}，{1，1}，1](*迈克尔·索莫斯2012年6月3日*）

黄体脂酮素

（PARI）T（n，k）=总和（i=0，k，二项式（n，i）^2*二项式

（岩浆）

T： =函数<n，k|（&+[二项式（n，j）^2*二项式（n+k-j，k-j）：[0..k]]中的j）>；//阵列

A108625号：=函数（n-k，k）>；//反对症

[108625英镑（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年10月5日

（SageMath）

def T（n，k）：返回和（二项式（n，j）^2*范围（k+1）中j的二项式

定义A108625号（n，k）：返回T（n-k，k）#反对偶

压扁([[A108625号（n，k）对于范围（n+1）中的k]对于范围（13）中的n]）#G.C.格鲁贝尔2023年10月5日

交叉参考

行包括：A003215号（第2行），A005902号（第3行），A008384号（第4行），A008386号（第5行），A008388号（第6行），A008390号（第7行），A008392美元（第8行），A008394号（第9行），A008396号（第10行）。

囊性纤维变性。A063007号,A099601号（A_{2n}晶格的第n项），A108553号.

囊性纤维变性。A008459号（h-向量类型B结合面体），A145904号,145905澳元.

囊性纤维变性。A005258号（主对角线），A108626号（反对角线总和）。

囊性纤维变性。A108628号,A208675型,A363867飞机,A363868型,A363869型,A363870,A363871型.

关键词

非n,表

作者

保罗·D·汉纳，2005年6月12日

状态

经核准的

A099601号

de Bruijn和S（4，n）/S（2，n）的商。

+10
12

1, 7, 131, 3067, 79459, 2181257, 62165039, 1818812387, 54257991011, 1642977121597, 50344383988381, 1557608560147757, 48577698917598031, 1525245771206644117, 48165918788138198759, 1528611371067309862067

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

de Bruijn和S（S，n）=和{k=0..2n}（-1）^（k+n）二项式（2n，k）^S。

也是A_{2n}晶格的晶体球序列的第n项。

参考文献

G.E.Andrews，SCRATCHPAD在特殊函数和组合数学问题中的应用，《计算机代数趋势》，Springer-Verlag，1988年，第158-166页，MR0935413（89c:05010）。

链接

文森佐·利班迪，n=0..200时的n，a（n）表

配方奶粉

重复次数：n^2*（2*n-1）^2*-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月7日

a（n）~（1+sqrt（2））^（4*n+3/2）/（2^（9/4）*Pi*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月7日

a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*二项式-伊利亚·古特科夫斯基2017年11月24日

a（n）=上层（[-2*n，-n，2*n+1]，[1，1]，1）-彼得·卢什尼2018年2月13日

发件人彼得·巴拉2020年12月21日：（开始）

a（n）=和{k=0..n}C（2*n，n-k）^2*C（2xn+k，k）。囊性纤维变性。A005258号.

a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*C（2*n，n-k）*C（2*n+k，k）^2。

a（n）=C（2*n，n）^2*超几何（[-n，-n，2*n+1]，[n+1，n+1]，1）。

a（n）=（-1）^n*C（2*n，n）*超几何（[-n，2*n+1，2*n+1]，[1，n+1]，1）。（结束）

a（n）=[x^n]1/（1-x）*（Legendre_P（m*n，（1+x）/（1-x。当m=1时，我们得到阿佩里数A005258. -彼得·巴拉2020年12月23日

a（n）=A108625号（2*n，n）-彼得·巴拉2023年6月20日

例子

A003215号（1）＝7＝a（1），A008384号（2） =131=a（2），A008388号（3） =3067=a（3）。。。

MAPLE公司

a:=n->超深层（[-2*n，-n，2*n+1]，[1，1]，1）：

seq（简化（a（n）），n=0..15）#彼得·卢什尼2018年2月13日

数学

表[Sum[（-1）^k*二项式[2*n，k]^4，{k，0，2*n}]/Sum[（-1(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月7日*）

黄体脂酮素

（PARI）a（n）=如果（n<0，0，sum（k=0，2*n，（-1）^k*二项式（2*n，k）^4）/sum（k=0，2*n，（-1）^k*二项式（2*n，k）^2）

交叉参考

囊性纤维变性。A000984号,A003215号,A005258号,A008384号,A008388号,A008392美元,A008396号,A050983号,A108625号.

关键词

非n,容易的

作者

迈克尔·索莫斯2004年10月24日

状态

经核准的

A099608型

反对偶读取A_n晶格的水晶球序列表。

+10
1

1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 7, 1, 1, 7, 19, 13, 1, 1, 9, 37, 55, 21, 1, 1, 11, 61, 147, 131, 31, 1, 1, 13, 91, 309, 471, 271, 43, 1, 1, 15, 127, 561, 1251, 1281, 505, 57, 1, 1, 17, 169, 923, 2751, 4251, 3067, 869, 73, 1, 1, 19, 217, 1415, 5321, 11253, 12559, 6637, 1405, 91, 1