A162590-OEIS公司

A162590型

多项式，例如f.exp（x*t）/csch（t），按行读取的系数三角形。

0, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 1, 0, 10, 0, 5, 0, 0, 6, 0, 20, 0, 6, 0, 1, 0, 21, 0, 35, 0, 7, 0, 0, 8, 0, 56, 0, 56, 0, 8, 0, 1, 0, 36, 0, 126, 0, 84, 0, 9, 0, 0, 10, 0, 120, 0, 252, 0, 120, 0, 10, 0, 1, 0, 55, 0, 330, 0, 462, 0, 165, 0, 11, 0, 0, 12, 0, 220, 0, 792, 0, 792, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,5

Peter Bala的评论（2011年12月6日）：“让P表示Pascal三角形A070318型并将M=1/2*（P-P^-1）。M是A162590型（另请参见A131047号). 然后，（I-t*M）^-1的第一列（除了开头的1）列出了“A196776号（n，k），它给出了n个集合到k个奇数块中的有序分区数-彼得·卢什尼2011年12月6日

当k接近随机矩阵P^（2k-1）的无穷大时，三角形的第n行乘以极限第一行的元素2^（n-1），其中P是与n个球的Ehrenfest模型相关联的随机矩阵。随机矩阵P的元素给出了在给定前一个状态i的情况下到达状态j的概率。特别是，矩阵每一行的和必须是1，所以这个三角形第n行的项之和是2^（n-1）。此外，根据马尔可夫链的性质，我们可以将P^（2k）解释为Ehrenfest模型的（2k-卢卡·奥尼斯2023年10月29日

参考文献

Paul和Tatjana Ehrenfest，Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-定理，《物理杂志》，第8卷（1907年），第311-314页。

链接

n，a（n）的表，n=0..86。

卢卡·奥尼斯，埃伦菲斯特模型的动画.

维基百科，埃伦菲斯特模型.

配方奶粉

p_n（x）=和{k=0..n}（k模2）*二项式（n，k）*x^（n-k）。

例如：exp（x*t）/csch（t）=0*（t^0/0。。。

具有生成函数exp（x*t）*sech（t）的“co”多项式是瑞士刀多项式(153641英镑).

例子

三角形开始：

1, 0

0, 2, 0

1, 0, 3, 0

0, 4, 0, 4, 0

1, 0, 10, 0, 5, 0

0, 6, 0, 20, 0, 6, 0

1, 0, 21, 0, 35, 0, 7, 0

...

p[0]（x）=0；

p[1]（x）=1

p[2]（x）=2*x

p[3]（x）=3*x^2+1

p[4]（x）=4*x^3+4*x

p[5]（x）=5*x^4+10*x^2+1

p[6]（x）=6*x^5+20*x^3+6*x

p[7]（x）=7*x^6+35*x^4+21*x^2+1

p[8]（x）=8*x^7+56*x^5+56*x^3+8*x

对比帕斯卡三角形行中奇数项的三角形(A034867号).

p[n]（k），n=0.1，。。。

k=0:0、1、0、1，0、1。。。A000035号, (A059841号)

k=1:0、1、2、4、8、16。。。A131577号, (A000079号)

k=2:0、1、4、13、40、121。。。A003462号

k=3:0、1、6、28、120、496。。。A006516

k=4:0、1、8、49、272、1441。。。A005059号

k=5:0、1、10、76、520、3376。。。A081199号, (A016149号)

k=6:0、1、12、109、888、6841。。。A081200型, (A016161号)

k=7:0、1、14、148、1400、12496。。。A081201号, (A016170美元)

k=8:0、1、16、193、2080、21121。。。A081202号, (A016178号)

k=9:0，1，18，244，2952，33616。。。A081203号, (A016186号)

k=10:0，1，20，301，4040，51001。。。。。。。，(A016190型)

p[n]（k），k=0.1，。。。

p[0]：0，0，0。。。A000004号

p[1]：1,1,1,1,1。。。A000012号

p[2]：0、2、4、6、8、10。。。A005843号

p[3]：1、4、13、28、49、76。。。A056107号

p[4]：0、8、40、120、272、520。。。A105374号

p[5]：1、16、121、496、1441、3376。。。

p[6]：0，32，364，2016，7448，21280。。。

MAPLE公司

#多项式：p_n（x）

p:=进程（n，x）局部k；

pow:=（n，k）->`如果`（n=0且k=0，1，n^k）；

加法（（k模2）*二项式（n，k）*pow（x，n-k），k=0..n）结束；

#系数：a（n）

seq（打印（seq（系数（i！*coeff）（系列（exp（x*t）/csch（t），t，16），t（i），x，n），n=0..i）），i=0..8）；

数学

p[n_，x_]：=和[二项式[n，2*k-1]*x^（n-2*k+1），{k，0，n+2}]；行[n_]：=系数列表[p[n，x]，x]//追加[#，0]&；表[行[n]，{n，0，12}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年6月28日*）

n=15；“第n行”

mat=表[表[0，{j，1，n+1}]，{i，1，n+1}]；

垫[1,2]=1；

垫[[n+1，n]]=1；

对于[i=2，i<=n，i++，mat[[i，i-1]]=（i-1）/n]；

对于[i=2，i<=n，i++，mat[[i，i+1]]=（n-i+1）/n]；

mat//矩阵形式；

P2=点[mat，mat]；

R1=简化[

特征向量[Transpose[P2]][[1]/

总[Eigenvectors[Transpose[P2]][[1]]]

R2=表格[Dot[R1，Transpose[mat][[k]]]，{k，1，n+1}]

偶数=R1*2^（n-1）(*卢卡·奥尼斯2023年10月29日_*）

交叉参考

囊性纤维变性。A119467年.

上下文中的序列：A093057号 A065334号 A356945型*A276424型 A346070 A191258号

相邻序列：A162587号 A162588号 A162589号*162591英镑 A162592号 A162593型

关键字

非n,表

作者

彼得·卢什尼2009年7月7日

状态

经核准的