一个产品涉及无限的术语数量。这些产品可以融合。事实上积极的 ,的产品 收敛到一非零数敌我识别 聚合。
无限乘积可用于定义余弦
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(1)
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伽马函数
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(2)
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正弦、和正弦函数.它们也出现在多边形包围,
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(3)
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一个有趣的欧拉无穷乘积公式和第个首要的 是
(Blatner,1997年)。克纳尔公式给出了伽马函数 用无穷乘积表示
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(6)
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一个正则化积身份由以下公式给出
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(7)
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(穆尼奥斯·加西亚和佩雷斯·马尔科,2003年,2008年)。
梅林公式状态
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(8)
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哪里是地高玛函数和是伽马函数.
以下类别的产品
(博温等。2004年,第4-6页),其中是伽马函数,第一种方法是在Borwein和Corless(1999)中给出的,可以进行分析。特别是,对于,
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(14)
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哪里(博温等。2004年,第6-7页)。不知道是否(13)是代数的,尽管已知不满足次数较少的整数多项式小于21且欧氏范数小于(博温等。2004年,第7页)。
以下形式的产品可以进行分析,
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(15)
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哪里,、和是的根
也可以分别进行分析。请注意(17)和(18)Borwein和Corless(1999)不知道。这些是结果的特殊情况
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(19)
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如果和,哪里是第个的根和是第个的根(P.Abbott,pers.comm.,2006年3月30日)。
对于,
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(20)
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(D.W.Cantrell,《公共事务委员会》,2006年4月18日)。前几个明确的例子是
这是一般公式的特例
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(27)
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(普鲁德尼科夫等。1986年,第754页)。
同样,对于,
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(28)
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(D.W.Cantrell,《公共服务》,2006年3月29日)。前几个明确的例子是
这个天-模拟表达
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(35)
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还有闭合形式表达式,
这种类型的无限乘积的一般表达式包括
哪里是伽马函数和表示复数模量(卡霍维奇)。(40)和(41)也可以重写作为
哪里是楼层功能,是天花板函数,和是的模量(修订版)(卡霍维奇)。
无限产品表单的
收敛,哪里是一个q个-Pochhammer符号和是一个雅各比θ函数。这里case正好是常量数字分析中遇到的问题树搜索.
其他产品包括
(组织环境信息系统A086056号和A247559型; 普鲁德尼科夫等。1986年,第757页)。注意Prudnikov等。(1986,第757页)也错误地提供产品
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(52)
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哪里是一个q个-Pochhammer符号,作为,这与正确的结果不同通过.
以下类似类别的产品也可以进行分析(J.Züñiga,pers.comm.,2004年11月9日),其中再次是一个雅各比θ函数,
第一个可以用来表示斐波那契阶乘常数以闭合形式。
从巴恩斯G函数由提供
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(64)
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哪里是Euler-Mascheroni常数。对于,2、3和4,显式乘积由
有趣的身份
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(69)
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(Ewell 19952000),其中是2除以精确幂的指数,是奇数部分属于,是除数函数属于、和
(组织环境信息系统A101127号; 雅各比1829年;福特等。1994; Ewell 1998,2000),后者被称为“aequatio identica弦论物理学文献中的“深奥的满足”,产生了联系使用τ函数.
一个意外的无限乘积,涉及由提供
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(72)
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(多宾斯基1876年,阿格纽和沃克1947年)。
Gosper首先注意到的一个奇怪的身份是由
(组织环境信息系统A100072号),其中是伽马函数,是三角函数、和是Glaisher-Kinkelin公司常数.
另请参见
阿廷常数,巴恩斯G函数,余弦,天-模拟,Dedekind Eta函数,迪里克莱Eta函数,多宾斯基公式,欧拉身份,尤勒·马切罗尼常量,欧拉产品,斐波那契阶乘常数,Gamma函数,哈达玛产品,雅可比三乘积,克纳尔公式,梅林公式,梅滕斯定理,五边形数定理,多边形外切,多边形书写,发电塔,Prime(主要)产品,Q函数,q个-系列,黎曼-泽塔函数,Sinc公司功能,正弦,斯蒂芬斯常量,沃利斯公式
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无限乘积
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“无限产品。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html
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