话题
搜索

Sinc函数

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本
辛克莱尔
分钟 马克斯
由webMathematica提供支持

sinc函数正弦（x）,也称为“采样函数”，是一个经常出现的函数在信号处理和理论中傅里叶变换.函数的全名是“sine-cardinal”，但它通常被引用缩写为“sinc”。常用的定义有两种。本工作中采用的方法定义了

对于x=0，sinc（x）={1；否则为（sinx）/x，
（1）

哪里正弦是正弦函数，如上图所示。

这具有标准化

int_（-infty）^inftysinc（x）dx=pi。
（2）

此功能在沃尔夫拉姆语言作为Sinc公司[x个].

至诚ImAbs
分钟 马克斯
重新
我 由webMathematica提供支持

当扩展到复平面,正弦（z）如上文所示。

SincCos公司

有趣的属性正弦（x）那是一套吗地方的极值属于正弦（x）对应于其与余弦功能科斯（x），如上所示。

这个导数由提供

（dsinc（z））/（dz）=（cosz）/z-（sinz）/（z^2）
(3)

和不定积分通过

intsinc（z）dz=硅（z），
(4)

哪里硅（z）是正弦积分.

伍德沃德（1953），麦克奈姆等。（1971年）和Bracewell（1999年，第62页）采用替代定义

sinc_pi（x）=正弦（像素）
(5)
={1表示x=0；否则为（sin（pix））/（pix）。
(6)

后一种定义由于其简单的规范化，有时更方便，

int_（-infty）^inftysinc_pi（x）dx=1。
(7)

该变量也满足总和

sum_（k=-infty）^inftysinc（pik）=1。
(8)

此外二项式系数满足

（0；x）=正弦（π）（x），
(9)

本质上是对反射关系

伽马（1+x）伽马（1-x）=（像素）/（sin（像素））=1/（sinc_（像素）（x））
(10)

的伽马函数（M.Somos，个人通讯。，2006年10月26日）

sinc函数与第一类球面贝塞尔函数 jn（x）尤其是，

正弦（x）=j0（x），
(11)

并且是根据Meijer G函数作为

sinc（z）=（sqrt（pi））/2G_（02）^（10）（1/2z，1/2 |-；0,1/2）。
(12)

让圆周率（x）成为矩形函数，然后是傅里叶转型属于圆周率（x）是sinc函数

F_x[Pi（x）]（k）=正弦（pik）。
(13)

因此，正弦函数经常出现在物理应用中，如傅里叶变换光谱学工具功能，它对三角洲功能输入。从最终频谱中删除仪器功能需要使用某种反褶积算法。

sinc函数可以写成复数积分通过注意x=0,

正弦（nx）=（sin（nx））/（n x）
(14)
=1/（nx）（e^（inx）-e^（-inx））/（2i）
(15)
=1/（2英寸）[e^（itx）]_（-n）^n
（16）
=1/（2n）int_（-n）^ne^（ixt）dt，
(17)

还有那个正弦（nx）积分都等于1x=0.

sinc函数也可以写为无限的产品

sinc（x）=产品（k=1）^inftycos（x/（2^k）），
(18)

1593年弗朗索瓦·维耶特（Kac 1959，莫里森1995）发现的一个结果，有时被称为欧拉公式（普鲁德尼科夫等。1986年，第757页；Gearhart公司和Shulz 1990）。它也由

sinc（x）=product_（k=1）^infty（1-（x^2）/（k^2pi^2））
(19)

（Gearhart和Shulz，1990年）和

sinc（x）=产品_（k=1）^infty[1-4/3sin^2（x/（3^k））]
(20)

（普鲁德尼科夫等。1986年，第757页）。

另一种产品由

产品_（k=1）^（infty）sinc（（2pi）/（2k+1））=pi/（2K）
(21)
=0.1805504。。。
(22)

（组织环境信息系统A118253号; 普鲁德尼科夫等。1986年，第757页），其中K=8.700。。。是来自的常数多边形外接.

权力总和正弦（k）在正整数上包括

sum_（k=1）^（infty）sinc（k）=-1/2+1/2π
(23)
sum_（k=1）^（infty）sinc^2（k）=-1/2+1/2π
(24)
sum_（k=1）^（infty）sinc^3（k）=-1/2+3/8pi
(25)
sum_（k=1）^（infty）sinc^4（k）=-1/2+1/3π
（26）
sum_（k=1）^（infty）sinc^5（k）=-1/2+（115）/（384）π
(27)
sum_（k=1）^（infty）sinc^6（k）=-1/2+（11）/（40）pi。
(28)

值得注意的是正弦（k）和正弦（k）^2《平等》似乎首次发表于贝利（1978）。令人惊讶的是，这些总和的模式等于-1/2加上有理倍数圆周率电源故障n=7个，其中总和等于

sum_（k=1）^inftysinc^7（k）=-1/2+P（x），
(29)

哪里

P（x）=1/（46080）pi（129423-201684pi+144060pi^2-54880pi^3+11760pi^4-1344pi^5+64pi^6）。
(30)

sinc函数满足恒等式

int_（-infty）^inftysinc[pi（x-y）]sinc（piy）dy=sinc（pix）。
(31)

涉及sinc函数的定积分包括

int_0^inftysinc（x）dx=1/2π
(32)
int_0^inftysinc^2（x）dx=1/2π
(33)
整数_0^inftysinc^3（x）dx=3/8英里
(34)
int_0^inftysinc^4（x）dx=1/3磅/平方英寸
(35)
int_0^inftysinc^5（x）dx=（115）/（384）圆周率。
(36)

除以常数因子圆周率，值再次为1/2、1/2、3/8、1/3、115/384、11/40，5887/23040, 151/630, 259723/1146880, ... （组织环境信息系统A049330美元和A049331美元; 格里姆西1945年，梅赫斯特和罗伯茨1965). 这些都是令人惊讶的一般结果的特例

int_0^infty（sin^ax）/（x^b）dx=（pi^（1-c）（-1）^（|_（a-b）/2_|））/（2^（a-c）（b-1）！）sum_（k=0）^（|_a/2_|-c）（-1）^k（a；k）（a-2k）^，
(37)

哪里一和b条是正整数这样的话a> =b>c,c=a-b（模块2）,|_x个_|是楼层功能,和0^0等于1（Kogan；参见Espinosa和Moll 2000）。这个壮观的公式在特殊情况下简化n个是一个积极的 即使整数到

int_0^infty（sin^（2n）x）/（x^（2 n））dx=pi/（2（2n-1）！）<2n-1；n-1>，
(38)

哪里<n；k>是一个欧拉数（科根；参见埃斯皮诺萨和Moll 2000）。积分的解也可以用重现关系对于系数

c（a，b）={pi/（2^（a+1-b））（a-1；1/2（a-1）），对于b=1或b=2；（a[（a-1。
(39)
SincContour公司

半无限积分正弦（x）可以使用导出轮廓集成在上图中，考虑路径γ=gamma1+gamma（12）+gamma2+gamma（21）.现在写z=回复（itheta）在弧上，dz=iRe^（itheta）数据eta和上的x个-轴,dz=e^（itheta）dR.写入

int_（-infty）^inftysinc（x）dx=Iint_gamma（e^（iz））/zdz，
(40)

哪里我表示虚部。现在定义

我=int_（-infty）^infty（e^（iz））/zdz
(41)
=lim_（R_1->0）int_pi^0（exp（iR_1e^（itheta））/（R_1）（e^（-iR））/（-R）（-dR），
(42)

第二和第四个术语使用身份e^（i0）=1和e^（ipi）=-1.简化，

我=lim_（R_1->0）int_pi^0exp（iR_1e^（itheta））idtheta+int_（0^+）^infty
(43)
=-int_0^piidtheta+int_（0^+）^infty（e^（iR））/RdR+0+int_（-infty）^（0^-）（e^iR）/RdR，
(44)

其中第三项消失乔丹引理.对第一个术语进行整合，并将其他术语结合起来，得出

I=-ipi+int_（-infty）^infty（e^（iz））/zdz=0。
(45)

重新安排提供

int_（-infty）^infty（e^（iz））/zdz=ipi，
(46)

所以

int_（-infty）^infty（sinz）/zdz=pi。
(47)

使用复杂的残留物通过注释

我=0+1/22piiRes_（z=0）f（z）
(48)
=ipi（z-0）（e^（iz））/z|_（z=0）
(49)
=ipi[e^（iz）]_（z=0）
(50)
=ipi、，
(51)

所以

I（I）=圆周率。
（52）

由于被积函数是对称的，因此我们有

int_0^infty（sinx）/xdx=1/2pi，
(53)

给予正弦积分在0处计算为

si（0）=-int_0^infty（sinx）/xdx=-1/2pi。
(54)

另请参阅

Borwein积分,傅里叶变换,傅里叶变换——矩形功能,仪器功能,Jinc公司功能,基尔罗伊曲线,正弦,正弦积分,新罕布什尔州功能,Tanc函数

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情：

工具书类

Baillie，R.“高级问题6241”阿默尔。数学。每月 85, 828, 1978.Baillie，R。；Henrici，P。；和高级问题6241的解决方案阿默尔。数学。每月 87,496-498, 1980.Bracewell，R.“滤波或插值函数，辛克斯.“在这个傅里叶变换及其应用，第3版。纽约：McGraw-Hill，第62-64页，1999J.W.布朗。和R.V.丘吉尔。傅里叶级数和边值问题，第5版。纽约：McGraw-Hill，1993年。埃斯皮诺萨，O.和Moll，V.H。“关于涉及Hurwitz Zeta的某些定积分功能。"https://arxiv.org/abs/math/0012078.2000年12月11日。芬奇，S.R。数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，2003年。Gearhart、，W.B.公司。和H.S.舒尔茨。“功能正弦/x."大学数学。J。 21, 90-99, 1990.http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma003.pdf.格里姆西，A.H.公司。R。“关于机会效应和高斯频率的累积分发。"菲尔·马戈。 36, 294-295, 1945.希金斯，J.R.公司。《红衣主教系列五个短篇故事》牛市。阿默尔。数学。索克。 12, 45-89, 1985.卡克，M。统计学概率论、分析论和数论中的独立性。华盛顿特区：数学。美国协会。，1959关于定积分的一个注记涉及三角函数。“未出版手稿，未注明日期。麦克纳米，J。；斯坦格，F。；和Whitney，E.L。“Whittaker在Retrospect中的首要职能。”数学。计算。 25, 141-154, 1971.梅德赫斯特，R.G。和J.H.罗伯茨。“积分评估I_n（b）=（2/pi）int_0^infty（sinx/x）^ncos（bx）dx."数学。计算。 19, 113-117, 1965.莫里森，K.E。“余弦乘积、傅里叶变换和随机和。"阿默尔。数学。每月 102,716-724, 1995.Prudnikov，A.P。；于·布里奇科夫。答：。；和Marichev，O.I.公司。积分和系列，第1卷：基本函数。纽约：Gordon&Breach，1986新泽西州斯隆。答：。序列A049330美元,A049331美元、和A118253号在“整数序列在线百科全书”中斯坦格，F、。数字的基于Sinc和分析函数的方法。纽约：Springer-Verlag，1993伍德沃德，P.M。概率信息理论及其在雷达中的应用。纽约：McGraw-Hill，1953Zimmermann，P.“整数（sin（x）^k/x^k，x=0..无穷大）”math-fun@cs.arizona.edu发布，1997年3月4日。

参考Wolfram | Alpha

Sinc函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Sinc函数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html

主题分类