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沃利斯公式

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Wallis公式根据无限乘积代表正弦

sinx=xproduct_（n=1）^infty（1-（x^2）/（pi^2n^2））。
(1)

拿x=pi/2给予

1=pi/2product_（n=1）^infty[1-1/（（2n）^2）]=pi/2product_，
（2）

所以

pi/2=产品_（n=1）^（infty）[（（2n）^2）/（（2n-1）（2n+1））]
(3)
=(2·2)/(1·3)(4·4)/(3·5)(6·6)/(5·7)...
(4)

（组织环境信息系统A052928号和A063196号).

加速乘积由下式给出

pi/2=电子^s
(5)
=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/4)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/8)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/16)...
(6)

哪里

s=总和（n=1）^infty1/（2^n）总和（k=0）^n（-1）^（k+1）（n；k）ln（k+1）
(7)

（Guillera和Sondow，2005年，Sondow 2005年）。这与产品类似

e^γ=（2/1）^（1/2）（（2^2）/（1.3））^。。。
(8)

和

e=（2/1）^（1/1）（（2^2）/（1.3））^。。。
(9)

（Sondow，2005年）。

方程式的推导(◇) 由于Y.L。Yung（pers.comm.，1996；由J.Sondow修改，pers.comm，2002）定义了

F（s）个=-锂（-1）
(10)
=1/2+1/2sum_（n=1）^（infty）（-1）^
(11)
=（1-2^（1-s））zeta（s），
(12)

哪里锂（x）是一个多对数和泽塔（n）是黎曼ζ功能，其收敛于R[s]>-1.求导(11)给予

F^'（s）=1/2sum_（n=1）^infty（-1）^n[（lnn）/（n^s）-（ln（n+1））/（（n+1）^s）]，
(13)

它也收敛于R[s]>-1，并插入s=0然后给出

F^'（0）=1/2sum_（n=1）^（infty）（-1）^n[lnn-ln（n+1）]
(14)
=1/2[（-ln1+ln2）+（ln2-ln3）+（-ln3+ln4）+…]
(15)
=1/2英寸（（2·2）/（1·3）（4·4）/（3·5）（6·6）/（5·7）…）。
(16)

现在，求zeta函数表达式的导数(◇) 给予

d/（ds）（1-2^（1-s））zeta（s）=2^（1-s）（ln2）zeta，
(17)

然后再次设置s=0产量

F^'（0）=[d/（ds）（1-2^（1-s））zeta（s）]_（s=0）
(18)
=-ln2-zeta ^'（0）
(19)
=-ln2+1/2ln（2pi）
(20)
=1/2英寸（1/2磅），
(21)

哪里

zeta^'（0）=-1/2ln（2pi）=-0.918938。。。
(22)

（组织环境信息系统A075700型)遵循阿达玛积对于黎曼ζ函数.等式和平方(◇) 和(◇) 然后给出Wallis公式。

沃利斯公式的推导泽塔^'（0）使用哈达玛产品也可以反转以导出泽塔^'（0）不使用Wallis公式哈达玛产品（Sondow，1994年）。

沃利斯公式也可以表示为

pi/2=[4^（zeta（0））e^（-zeta^'（0）。
(23)

这个q个-模拟Wallis公式的q=1/2是

产品_（k=1）^（infty）（1-q^k）^=1/（（1/2；1/2）_infty）
(24)
=3.4627466194...
(25)

（组织环境信息系统A065446号; Finch 2003），其中（q；a）_自由是q个-刺猬符号。此常数为第1季度，其中问是数字中遇到的常量树搜索.产品的形式正是生成功能对于配分函数P由于Euler，与q个-圆周率.

另请参见

Pi公式,Pippenger产品,q个-圆周率,沃利斯余弦公式

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第2581972页。芬奇，S.R。“阿基米德”恒定。“§1.4英寸数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第17-28页，2003Guillera，J.和Sondow，J.“二重积分与无穷大一些经典常数的乘积是通过Lerch超越的分析延续得到的。"2005年6月16日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.杰弗里斯，H.和Jeffreys，B.S。“沃利斯公式圆周率第15.07节方法数学物理第三版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第468页，1988年。J.F.肯尼。和Keeping，E.S。数学《统计学》，第2部分，第2版。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，第63-64页，1951新泽西州斯隆。答：。序列A052928号,A063196号,A065446号,和A075700型在线百科全书整数序列的。"Sondow，J.“分析延续基于欧拉变换的Riemann Zeta函数和负整数值系列的。"程序。阿默尔。数学。Soc公司。 120, 421-424, 1994.索多，J.“更快的产品圆周率和一个新的积分ln（pi/2）."阿默尔。数学。每月 112，729-734中，2005沃利斯，J。无限算术。英国牛津，1656年。

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瓦利斯公式

引用如下：

乔纳森·索多和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“沃利斯公式”摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html

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