欧拉积

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s> 1,的Riemann zeta函数是由

齐塔人=和(n=1)^(infty)1/(n^s)
(一)
=积(k=1)^(infty)1/(1-1/(p_k^s)),
(二)

哪里普克k首要的这是欧拉的产品(惠特克和沃森1990),被哈维尔(2003年,第61页)称为“最重要的配方”,德比郡(2004年,第104-106页)称为“金钥匙”

这可以通过扩展产品来证明,将每个术语写成几何级数,扩展、倍增和重新排列术语,

 积(k=1)^infty1/(1-1/(p_k^s))=1/(1-1/(p_1^s))1/(1-1/(p_2^s))1/(1-1/(p_3^s))。。。=[总和(k=0)^infty(1/(pˉ1^s))^k][sumˉ(k=0)^infty(1/(pˉ2^s))^k][和(k=0)^infty(1/(p_3^s))^k]。。。=(1+1/(p_1^s)+1/(p_1^(2s))+1/(p_1^(3s))+…)(1+1/(p_2^s)+1/(p_2^(2s))+1/(p_2^(3s))+…)。。。=1+和(1<=i)1/(p_i^s)+和(1<=i<=j)1/(p_i^sp_j^s)+和(1<=i<=j<=k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+。。。=1+1/(2^s)+1/(3^s)+1/(4^s)+1/(5^s)+。。。=和(n=1)^infty1/(n^s)
=zeta(s)。
(三)

在这里,重新排列导致等式(1)从算术基本定理,因为主要权力出现在正好一个 分母每个人正整数等于正好一个素数幂的乘积。

本产品与Möbius函数 亩(n)通过

 1/(zeta(s))=总和(n=1)^infty(mu(n))/(n^s),
(四)

这可以通过扩展产品来获得

1/(泽塔)=积(k=1)^(infty)(1-1/(p_k^s))
(五)
=(1-1/(p_1^s))(1-1/(p_2^s))(1-1/(p_3^s))。。。
(六)
=1-(1/(p_1^s)+1/(p_2^s)+1/(p_3^s)+(1/(p_1^spu 2^s)+…+1/(p_1^sp_3^s)+1/(p_2^sp_3^s)+…)-。。。
(七)
=1-和(0<i)1/(p_i^s)+和(0<i<j)1/(p_i^sp_j^s)-和(0<i<j<k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+。。。
(八)
=和(n=1)^(infty)(mu(n))/(n^s)。
(九)

zeta(1)=infty,但有限积存在,给出

 P(n)=乘积(k=1)^n1/(1-1/(P_k))。
(十)

对于上限n=0,1,2,…,产品由1,2,3,15/4,35/8,77/16,1001/192,17017/3072。。。(OEIS)A060753号A038110型). 预乘1/lnp\n->infty公司给出了一个漂亮的结果默顿定理.

欧拉的产品出现在约翰纳什(由罗素·克罗饰演)在罗恩·霍华德2001年的电影中的黑板涂鸦中美丽的心灵.

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