欧拉积
为
，的Riemann
zeta函数是由
哪里
是
第首要的这是欧拉的产品（惠特克和沃森1990），被哈维尔（2003年，第61页）称为“最重要的配方”，德比郡（2004年，第104-106页）称为“金钥匙”
这可以通过扩展产品来证明，将每个术语写成几何级数，扩展、倍增和重新排列术语，
![积（k=1）^infty1/（1-1/（p_k^s））=1/（1-1/（p_1^s））1/（1-1/（p_2^s））1/（1-1/（p_3^s））。。。=[总和（k=0）^infty（1/（pˉ1^s））^k][sumˉ（k=0）^infty（1/（pˉ2^s））^k][和（k=0）^infty（1/（p_3^s））^k]。。。=（1+1/（p_1^s）+1/（p_1^（2s））+1/（p_1^（3s））+…）（1+1/（p_2^s）+1/（p_2^（2s））+1/（p_2^（3s））+…）。。。=1+和（1<=i）1/（p_i^s）+和（1<=i<=j）1/（p_i^sp_j^s）+和（1<=i<=j<=k）1/（p_i^sp_j^sp_k^s）+。。。=1+1/（2^s）+1/（3^s）+1/（4^s）+1/（5^s）+。。。=和（n=1）^infty1/（n^s）
=zeta（s）。](/images/equations/EulerProduct/NumberedEquation1.gif) |
（三）
|
在这里，重新排列导致等式(1)从算术基本定理，因为主要权力出现在正好一个 分母每个人正整数等于正好一个素数幂的乘积。
本产品与Möbius函数 
通过
 |
（四）
|
这可以通过扩展产品来获得
，但有限积存在，给出
 |
（十）
|
对于上限
，1，2，…，产品由1，2，3，15/4，35/8，77/16，1001/192，17017/3072。。。（OEIS）A060753号和A038110型). 预乘
让
给出了一个漂亮的结果默顿定理.
欧拉的产品出现在约翰纳什（由罗素·克罗饰演）在罗恩·霍华德2001年的电影中的黑板涂鸦中美丽的心灵.
