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对于s> 1个，的黎曼zeta函数由提供

泽塔=sum_（n=1）^（infty）1/（n^s）
(1)
=产品_（k=1）^（infty）1/（1-1/（p_k^s）），
(2)

哪里p_k（磅）是k个第个首要的这是Euler的产品（Whittaker和Watson哈维尔（2003年，第61页）称之为“最重要的公式”Derbyshire（2004年，第104-106页）的《金钥匙》

这可以通过扩展产品来证明，将每个术语都写为几何的系列扩展、倍增和重新排列术语，

产品_（k=1）^infty1/（1-1/（p_k^s））=1/（1-1/。.. =[sum_（k=0）^infty（1/（p_1^s））^k][sum_（k=O）^inffy（1/（p_2^s），^k][sum_。.. =（1+1/（p_1^s）+1/（P1^（2s））+1/（P1 ^（3s））+。..）（1+1/（p2^s）+1/（P2^（2s））+1/（p2 ^（3s））+。..)... =1+总和（1<=i）1/（p_i^s）+总和（1<=i<=j）1/。.. =1+1/（2^s）+1/（3^s）+1/（4^s）+1/（5^s）+。.. =总和_（n=1）^数量1/（n^s）=zeta（s）。
(3)

这里，重新安排导致方程式(1)遵循算术基本定理,因为每个产品主要权力出现在中确切地一 分母和每个积极的整数等于正好一个素数幂的乘积。

此产品与莫比乌斯函数 亩（n）通过

1/（zeta（s））=sum_（n=1）^infty（mu（n））/（n^s），
(4)

可以通过扩展产品来获得

1/（泽塔）=产品_（k=1）^（infty）（1-1/（p_k^s））
(5)
=（1-1/（p_1秒））（1-1/。..
(6)
=1-（1/（p_1^s）+1/（p_2^s）+1/（p_3^s）+。..）+（1/（p_1^sp_2^s）+。..+1/（p_1^sp_3^s）+1/（p2^sp_3 ^s）+。..)-...
(7)
=1-sum_（0<i）1/（p_i^s）+sum_（0<i<j）1/（p_i^sp_j^s）-sum_（0<i<j<k）1/（p_i^sp_j^sp_k^s）+。..
(8)
=sum_（n=1）^（infty）（μ（n））/（n^s）。
(9)

zeta（1）=不完整，但有限乘积存在，给予

P（n）=产品_（k=1）^n1/（1-1/（P_k））。
(10)

对于上限n=0,1, 2, ...，产品由1、2、3、15/4、35/8、77/16、1001/192、17017/3072给出，…（OEIS）A060753号和A038110型).预乘1/lnp_n并让n->不完整给出了一个美丽的结果，称为默滕斯定理.

欧拉产品在罗恩·霍华德（Ron Howard）2001年电影中约翰·纳什（Russell Crowe饰演）的黑板涂鸦中短暂出现A类美丽的心灵.

另请参见

Dedekind函数,Dirichlet L系列,Euler-Mascheroni常数,无限乘积,梅滕斯定理,主要产品,黎曼Zeta函数,斯蒂尔特杰斯常数

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

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J.德比郡。素数迷恋：伯恩哈德·里曼和数学中最伟大的未解决问题。纽约：企鹅出版社，2004年。爱德华兹，H.M。“Euler产品公式。“§1.2黎曼氏Zeta函数。纽约：多佛，第6-7页，2001年。尤勒，L。“观测变量围绕无穷级数。”圣彼得堡学院。,1737G.H.哈代。和Wright，E.M。“Zeta函数。”§17.2英寸安数字理论导论，第5版。英国牛津：克拉伦登出版社，第245-247页，1979年。Havil，J.“最重要的公式”§7.1英寸伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，第61-62页，2003里宾博伊姆，P。这个素数记录新书，第三版。纽约：Springer-Verlag，第216页，1996Shimura，G。欧拉产品和艾森斯坦系列。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，1997年。斯隆，新泽西州。答：。序列A038110型和A060753号在“在线整数百科全书”中序列。"E.T.惠塔克。和G.N.Watson。“欧拉的的产品泽塔."§13.3英寸A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第271-272页，1990年。

参考Wolfram | Alpha

欧拉产品

引用如下：

乔纳森·索多和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Euler产品”。摘自数学世界--A类Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/EulerProduct.html

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