欧拉乘积

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S>1, the黎曼ζ函数是由

泽塔(S)=SuMui(n=1)^(fft)1/(n^ s)
(1)
=产品(k=1)^(fft)1/(1-(/(pY-k^)s));
(2)

在哪里?PYKK首要的这是Euler的乘积(惠特克和沃森1990),由哈维尔(2003,P·61)所称的“重要的公式”和德比郡(2004,pp.104-106)的“金钥匙”。

这可以通过扩展产品来证明,将每个术语作为一个字母写出来。几何级数扩展、乘法和重新排列术语,

 产品(k=1)ffTi1//(1-(/(pH-^ ^))=1/(1-(/(p1)^))1/(1-1/(p2)s)1/(1-1/(pY3^ s))…[= [SuMui](k=0)^ fTy(1/(p1 1^))^ k]〔SuMuz(k=0)^ fTy(1/(p2 2^))^ k]〔SuMuz(k=0)^ fftI(1/(pY3^ s))^〕…(=(1+1/(p1 1^)+1/(p1 1^(2s))+1/(p1 1^(3s))+)(1+1/(p2 2^)+1/(p2 2^(2s))+1/(p2 2^(3s))+…)=1+SuMuy(1<i)1/(pI i^ s)+SUMUM(1<i<i=j)1/(pI i^ pjj^ s)+SuMuz(1<i<j=j=k)1/(pI i^ pjjj ^ sk k^ s)+…=1+1/(2 ^ s)+1/(3 ^ s)+1/(4 ^ s)+1/(5 ^ s)+…= SuMuz(n=1)^ fInt1//(n^ s)=zeta(s)。
(3)

这里,重新排列导致方程()从算术基本定理,因为每个产品主要权力出现在确切地说 分母每一个正整数等于恰好一素数幂的乘积。

该产品与M比比斯函数 亩(n)通过

 1(/ζ(s)=SuMuz(n=1)^ ffTy(μ(n))/(n^ s),
(4)

可以通过扩大产品来获得

1(/ζ(s))=乘积(k=1)^(ffTy)(1-1/(pH-k^ s))
(5)
=(1-(/ p11^))(1-1/(pH2^ s))(1-1/(pY3^ s))
(6)
=1 -(1(/ p1^ ^)+ 1 /(p2 2^)+ 1 /(pY3^ s)+…)+(1 /(p1 1,SP2 ^ ^ s)+……1 /(p1 1 ^ SP3 3s)+ 1 /(p2 2 ^ pS3 ^ s)+…)-…
(7)
=1SuMui(0<i)1/(pI i^ s)+SuMui(0<i<J)1/(pI i^ SPjj^ s)- SUMUME(0<i<J<K)1/(pI i^ SPjj^ SPKK^ S)+…
(8)
=SuMui(n=1)^(ffTy)(μ(n))/(n^ s)。
(9)

Zeta(1)=FITY,但有限的产品存在,给予

 P(n)=乘积(k=1)^ n/(1-1/(pYK))。
(10)

上限n=0,1, 2,…,产品给出了1, 2, 3,15/4,35/8,77/16,1001/192,17017/3072,…(OEIS)A060753A038 110预乘乘1/LnPnN-> FITY给出了一个美丽的结果默滕斯定理.

欧拉作品在朗·霍华德的2001部电影中出现在John Nash的一盘(由罗素克劳扮演)黑板涂鸦中。美丽的心灵.

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