格雷舍金克林常数

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Glaisher-Kinkelin常数A定义为

 极限(n->infty)(H(n))/(n^(n^2/2+n/2+1/12)e^(-n^2/4))=A
(一)

(Glaisher 18781894,Voros 1987),其中H(n)高阶乘,以及

 lim_u(n->infty)(G(n+1))/(n^(n^2/2-1/12)(2pi)^(n/2)e^(-3n^2/4))=(e^(1/12))/A,
(二)

哪里克(n)巴恩斯G函数.

它具有闭合形式表示

A=e^(1/(12)-zeta^'(-1))
(三)
=(2π)^(1/12)[e^(伽玛皮^2/6-zeta^'(2))]^(1/(2π^2))
(四)
=1.28242712。。。
(五)

(OEIS)A074962号)称为Glaisher-Kinkelin常数泽塔(z)的导数Riemann-zeta函数(金克林)1860年;杰弗里1862年;格雷舍尔1877187818931894年;沃罗斯1987年)。

常数A已实施作为磨光器,出现在一些和和和积分中,尤其是那些涉及伽马射线功能zeta函数.

定积分包括

整数0^(1/2)lnGamma(x+1)dx=-1/2-7/(24)ln2+1/4lnpi+3/2lnA
(六)
整数(xlnx)/(e^(2pix)-1)dx=1/(24)-1/2lnA
(七)

(Glaisher 1878;Almqvist 1998;Finch 2003,第135页),其中lnGamma(z)对数伽马函数.

Glaisher(1894)指出

乘积_u(k=1)^(infty)k^(1/k^2)=1^(1/1)2^(1/4)3^(1/9)4^(1/16)5^(1/25)。。。
(八)
=((A^(12))/(2pie^伽马))^(π2/6)
(九)
乘积_u(k=1,3,5,…)^(infty)k^(1/k^2)=1^(1/1)3^(1/9)5^(1/25)7^(1/49)9^(1/81)。。。
(十)
=((A^(36))/(2^4pi^3e^(3gamma))^(π2/24)
(十一)

(OEIS)A115521号A115522号;格拉泽1894年)。

它也产生于身份

和(k=2)^(infty)(lnk)/(k^2)=-泽塔(2)
(十二)
=1/6pi^2[12lnAγln(2pi)]
(十三)
=0.93754825431。。。
(十四)
和(k=3,5,…)^(infty)(lnk)/(k^2)=π2(3/2lnA-1/6ln2-1/8lnpi-1/8gamma)
(十五)

(OEIS)A073002号; Glaisher 1894),以下是从上述产品。

Guillera和Sondow(2005)给出

 lnA=1/8+和(n=0)^infty1/(2(n+1))和(k=0)^n(-1)^(k+1)(n;k)(k+1)^2ln(k+1)。
(十六)

另一个更引人注目的产品是

积(k=1)^(infty)((4k+1)^(1/(4k+1)^3))/((4k-1)^(1/(4k-1)^3))=(A/(2^(5/32)π^(1/32))e^(-3/32伽马/48+p/4))^(π3)
(十七)
=(2pi)^(-pi^3/32)e^({3pizeta(3)+pi^3[3-2伽马+128zeta^'(-2,1/4)]}/64)
(十八)
=e^(-beta^'(3)),
(十九)

哪里β(z)迪里克莱特β函数

p=和(k=3,5,…)^(infty)(zeta(k))/(4^kk(k+1)(k+2))
(二十)
=9/(16)-伽马/(24)+(ln2)/2+4lnA+(3zeta(3))/(16pi^2)-8zeta^'(-2,1/4)
(二十一)
=3/8+伽马/(12)-(4beta^'(3))/(pi^3)+(5ln2)/8-4lnA+(lnpi)/8
(二十二)

(Glaisher 1894年)。

它也是由

 A=2^(1/36)π^(1/6)e^((-gamma/4+s)/3),
(二十三)

哪里

s=和(r=2)^(infty)(-1/2)^r(2^r-1)zeta(r))/(1+r)
(二十四)
=1/(12)[3+3gamma-36zeta^'(-1)-ln2-6lnpi]
(二十五)

(格雷舍尔18781894;然而,他没有得到这个表达的封闭形式)。

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