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重要的二项式定理声明

sum_（k=0）^n（n；k）r^k=（1+r）^n。
(1)

考虑二项式系数

a_n^（（r））=总和_（k=0）^（n）（n；k）^r
(2)
=_rF_（r-1）（-n，…，-n（）_（r））；1,...,1_（）_（r-1）；（-1）^（r+1）），
(3)

哪里_pF_q（a_1，…，a_p；b_1，..，b_q；z）是一个广义超几何功能。当它们存在时，给出这些解的递推方程可以使用Zeilberger的算法.

对于r=1，给出了闭式解通过

a_n^（（1））=2^n，
(4)

即二者的力量。a_n^（（1））遵守递推关系

a_（n+1）^（（1））-2a_n^（（1））=0。
(5)

对于r=2，闭式解由下式给出

a_n^（（2））=（2n；n）。
（6）

即中心二项系数.a_n^（（2））遵守重现关系

（n+1）a_（n+1）^（（2））-（4n+2）a_n^（2）=0。
(7)

弗朗内尔（1894年，1895年）是第一个获得复发的a_n^（（3）），

（n+1）^2a_（n+1
(8)

（Riordan 1980年，第193页；Barrucand 1975年；Cusick 1989年；Jin和Dickinson 2000年），因此（3）有时被称为弗兰纽尔数字。的顺序（3）不能表示为固定数量的超几何条款（佩特科夫舍克等。1996年，第160页），因此没有封闭形式超几何表达式。

弗兰内尔（1894年，1895年）也是第一个获得复发的a_n^（（4）），

（n+1）^3a_（n+1”）^（（4））-2（2n+1）（3n^2+3n+1）a_n^（4）-4n（4n+1）（4n-1）a（n-1）^（（4））=0
(9)

（Riordan 1980年，第193页；Jin和Dickinson 2000年）。

Perlstadt（1987）发现r=5和6。

32（n+1）^4（55n^2+253n+292）a_n^（（5））+（19415n^6+205799n^5+900543n^4+2082073n^3+2682770n^2+1827064n+514048）a_（n+1 ^4（55n^2+143n+94）a_（n+3）^（（5））=0。
(10)

Schmidt和Yuan（1995）表明r=3、4、5和6是最小长度r> 6个至少为3。下表总结了a_n^（（r））对于小型第页.

第页组织环境信息系统a_n^（（r））
1A000079号1,2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
2A000984号1, 2, 6, 20, 70,252, 924, ...
三A000172号1, 2, 10, 56, 346, 2252, ...
4A005260号1,2, 18, 164, 1810, 21252, ...
5A005261号1, 2, 34, 488, 9826,206252。。。

相应的交替级数是

b_n^（（r））=sum_（k=0）^（n）（-1）^k（n；k）^r
(11)
=_rF_（r-1）（-n，…，-n（）_（r））；1,...,1_（）_（r-1）；（-1）^（r+1）），
(12)

前几个值是

b_n^（（1））=0
(13)
b_n^（（2））=（2^nsqrt（pi））/（伽玛（1/2-1/2n）伽玛（1+1/2n）），
(14)
=2^nP_n（0）
(15)
={0表示n=2k-1；（-1）^k（2k；k）表示n=2k
(16)
b_n^（（3））=（2^nsqrt（pi）伽马（1+3/2n））/（n！伽马（1/2（1-n））伽玛（1+1/2n）^2）
(17)
={0表示n=2k-1；（（-1）^k（3k）！）/（（k！）^3）表示n=2k，
(18)

哪里伽马（z）是伽马函数，P_n（x）是一个勒让德多项式，和奇数项b3（n）由de Bruijn给出秒（3，n）带有交替符号。

Zeilberger算法可用于为b_n（b_n）第页，

nb_n^（（2））+4（n-1）a_（n-2）^（（2））=0n^2b_n^（（3））+3（9n^2-18n+8）b_（n-2）^（3）（n-1）n^3（12n^2-63n+83）b_n^（（4））+4（408n^6-3774n^5+13760n^4-25203n^3+24465n^2-11970n+2340）b_（n-2）^（4）+16（n-2。
（19）

表单的总和总和（k=0）^（n）（n；k）k^r（Boros和Moll 2004，第14-15页）

总和（k=0）^（n）（n；k）=2 ^n个
（20）
sum_（k=0）^（n）k（n；k）=2^（n-1）n个
(21)
sum_（k=0）^（n）k^2（n；k）=2^（n-2）n（n+1）
(22)
sum_（k=0）^（n）k^3（n；k）=2^（n-3）n^2（n+3）
(23)
sum_（k=0）^（n）k^4（n；k）=2^（n-4）n（n+1）（n^2+5n-2）
(24)
sum_（k=0）^（n）k^5（n；k）=2^（n-5）n^2（n^3+10n^2+15n-10），
(25)

其中右侧多项式系数的三角形（忽略奇偶项n ^2个和n（n+1）)由1给出；1, 3; 1, 5,-2; 1, 10, 15,-10; ... （OEIS）A102573号).

de Bruijn（1981）考虑了

s（m，n）=总和（k=0）^（2n）（-1）^
(26)

对于m、 n>=1.此金额已关闭m=1、2和3，

s（1，n）=0
(27)
s（2，n）=（（2n）！）/（（n！）^2），
(28)

这个中心二项系数，给出1、2、6、20、70、252、924。。。（OEIS）A000984号),和

s（3，n）=（（3n）！）/（（n！）^3），
(29)

给予1、6、90、1680、36450、756756。。。（OEIS）A006480号; 艾森伯格和尤扎科夫1984）。然而，没有类似的公式m> =4（de Bruijn 1981）。的前几个术语秒（4，n）分别为1、14、786、61340、5562130。。。（OEIS）A050983号),和用于秒（5，n）是1、30、5730、1696800、613591650。。。（OEIS）A050984号).

有趣的概括b1（n）由给定

sum_（k=0）^n（-1）^k（n；k）（x-k）^n=n！
(30)

对于正整数n个以及所有x个（鲁伊斯，1996年）。这个恒等式是应用差分运算符的结果n个次数多项式n个将导致n！乘以多项式的前导系数。以上内容等式只是这种情况的一个特例，通过替换得到一般情况（x-k）^n通过任意多项式P（x-k）学位n个超前系数为1。

逆二项式系数的无穷和具有解析形式

sum_（k=0）^（infty）1/（（n；k））=_2F_1（1,1；-n；-1）
(31)
=-（n+1）整数0^1（dx）/（（1-x）^（n+2）（x+1）），
(32)

哪里_2F_1（a，b；c；x）是一个超几何函数事实上，一般来说，

sum_（k=0）^infty1/（（n；k）^p）=_（p+1）F_p（1，…，1_（）_（p/1）-n、 -n（）_（p）；（-1）^p）
(33)

和

sum_（k=0）^infty（（-1）^k）/（（n；k）^p）=_（p+1）F_p（1，…，1_（）_（p/1）-n、 -n（）_（p）；（-1）^（p+1））。
(34)

另一个有趣的总和是

sum_（k=0）^（n）（n！）/（k！）=eGamma（n+1，1）
(35)
=|_不！e_|，
(36)

哪里伽马（a，x）是一个不完全伽马函数和|_x_|是地板功能。的前几个术语n=1, 2, ... 是2、5、16、65、326。。。（OEIS）A000522号).

一系列有趣的恒等式涉及逆中心二项式系数乘以小幂

总和（n=1）^（infty）1/（（2n；n））=1/（27）（2活塞（3）+9）
（37）
总和（n=1）^（infty）1/（n（2n；n））=1/9活塞（3）
(38)
sum_（n=1）^（数量）1/（n^2（2n；n））=1/3zeta（2）=1/（18）pi^2
(39)
sum_（n=1）^（infty）1/（n^3（2n；n））=1/（18）活塞（3）[psi_1（1/3）-psi_1（2/3）]-4/3zeta（3）
(40)
sum_（n=1）^（infty）1/（n^4（2n；n））=（17） /（36）zeta（4）=（17）/（3240）pi^4
(41)
sum_（n=1）^（infty）1/（n^5（2n；n））=1/（432）pisqrt（3）[psi_3（1/3）-psi_3（2/3）]-（19）/3zeta（5）+1/9zeta（3）pi^2
(42)
sum_（n=1）^（infty）1/（n^7（2n；n））=（11） /（311040）pisqrt（3）[psi_5（1/3）-psi_5（2/3）]-（493）/（24）zeta（7）+1/3zeta（5）pi^2+（17）/（1620）zeta，
(43)

（Comtet 1974，第89页；Le Lionnais 1983，第29、30、41、36页；Borweinet（等）阿尔。1987年，第27-28页），遵循美丽的公式

sum_（n=1）^infty1/（n^k（2n；n））=1/2_（k+1）F_k（1，…，1_（）_（k/1）；3/2,2,...,2_（）_（k-1）；1/4)
(44)

对于k> =1，哪里_mF_n（a_1，…，a_m；b_1，..，b_n；x）是一个广义超几何功能和psi_n（x）是多囊膜功能和泽塔（x）是黎曼泽塔功能（普劳夫，1998年）。

欠B.Cloitre的一笔可观的金额（pers.comm.，2004年10月6日）如下所示

总和（n=1）^系数（（-1）^（n-1））/（n2^n（2n；n））=1/3ln2。
(45)

可以以闭合形式完成的其他二项式和类包括

sum_（n=1）^（infty）（18-9n）/（（2n；n））=（2pi）/（sqrt（3））
(46)
总和（n=0）^（infty）（50n-6）/（（3n；n）2^n）=圆周率
(47)
总和（n=1）^（infty）（-150n^2+230n-36）/（（3n；n）2^n）=圆周率
(48)
总和（n=1）^（infty）（575n^2-965n+273）/（（3n；n）2^n）=-6平方英寸
(49)

（高斯珀1974年，博文和博文1987年；博文等。2004年，第20-25页）。其中一些是根据一般结果得出的

总和（n=1）^（infty）（n^k）/（（2n；n））=1/2（-1）^（k+1）和_（j=1）^！S（k+1，j））/（3^j）（2j；j）×[（2pi）/（3sqrt（3））+sum_（i=0）^（j-1）（3^i）/（（2i+1）（2i；i））]
(50)
=p_k+q_kpi/（平方码（3）），
(51)

哪里S（k，j）是一个第二斯特林数友善的和p_k（磅），q_k（_k）是确定的有理数（Borwein等。2004年，第23-25页）。第一种形式的前几个总和是

总和（n=1）^（infty）1/（（2n；n））=1/3+2/9pi/（平方米（3））
(52)
总和（n=1）^（infty）n/（（2n；n））=2/3+2/9pi/（平方米（3））
（53）
总和（n=1）^（infty）（n^2）/（（2n；n））=4/3+（10）/（27）pi/（sqrt（3）），
(54)

给出的值p_k（磅）作为2/3、4/3、10/3、32/3。。。，和，共问题_k如2/9、10/27、74/81。。。。

类似地，第二种形式的前几个和由下式给出

sum_（n=1）^inff（n^k）/（（3n；n）2^n）=rk+skpi+tkln2。
(55)

其中的前几项是

sum_（n=1）^（infty）1/（（3n；n）2^n）=2/（25）-6/（125）ln2+（11）/（250）pi
(56)
sum_（n=1）^（infty）n/（（3n；n）2^n）=（81）/（625）-（18）/（3125）ln2+（79）/（3225）pi
(57)
sum_（n=1）^（单位）（n^2）/（（3n；n）2^n）=（561）/（3125）+（42）/（15625）ln2+（673）/（31.250）π，
(58)

为提供值（_k）同于2/25、81/625、561/3125。。。，对于s_k（_k）作为-6/125，-18/3125, 42/15625, ..., 和用于tk（时间）如11/250、79/3125、673/31250。。。。

博温(等。2004年，第27-28页）猜想封闭解形式的总和

sum_（n=1）^infty1/（n^3（3n；n）2^n）
(59)

依据多维多对数.

总和表单的

sum_（n=1）^infty（（-1）^（n+1））/（n^k（2n；n））=1/2_（k+1）F_k（1，…，1_（）_（k/1）；3/2,2,...,2_（）_（k-1）-1/4)
(60)

也可以简化（Plouffe 1998）以给出特殊情况

总和（n=1）^（infty）（（-1）^〔n-1〕）/（n（2n；n））=2/5sqrt（5）csch^（-1）2=2/5sq（5）lnphi
(61)
sum_（n=1）^（infty）（（-1）（n-1））/（n^2（2n；n））=2（csch^（-1）2）^2=2（lnphi）^2
(62)
sum_（n=1）^（infty）（（-1）（n-1））/（n^3（2n；n））=2/5泽塔（3）。
(63)

其他一般身份包括

（（a+b）^n）/a=sum_（k=0）^n（n；k）（a-kc）^（k-1）（b+kc）^（n-k）
(64)

（普鲁德尼科夫等。1986年），这使得二项式定理作为特殊情况c=0、和

sum_（n=0）^（infty）（2n+s；n）x^n=_2F_1（1/2（s+1），1/2（s+2）；s+1,4x）
(65)
=（2^s）/（（平方英尺（1-4x）+1）^ssqrt（1-4x）），
(66)

哪里_2F_1（a，b；c；z）是一个超几何函数（阿布拉莫维茨和Stegun 1972，第555页；格雷厄姆等。1994年，第203页）。

对于非负整数 n个和第页具有r<=n+1，

求和（k=0）^n（（-1）^k）/（k+1）（n；k）[求和（j=0）！。
(67)

拿n=2r-1给予

sum_（k=0）^n（（-1）^k）/（k+1）（n；k）sum_（j=0）^（r-1）（n；j）（r-j）^（n-k）=1/2n！。
(68)

其他身份包括

sum_（k=0）^n（n+k；k）[x^（n+1）（1-x）^k+（1-x
(69)

（Gosper 1972）和

sum（i）（ni；2）+sum（i>j）ninj=（n；2），
(70)

哪里

n=总和n（i）。
(71)

后者是多项式定理的本影模拟n ^2个

（（a+b+c）^2）/2=（a^2）/2+（b^2）/2+（c^2）2+ab+ac+bc
(72)

使用低阶乘多项式（n） 2=n（n-1）/2，给予

（a+b+c；2）=（a；2）+（b；2）+c；2+ab+ac+bc。
(73)

这个身份不仅适用于（n） _2和n^2/2号，但也适用于任何二次多项式属于表格 n（n+a）/2.

Sinyor公司等。（2001）给出奇怪的金额

sum_（l^'<=l）sum_（j^'<=j）1/（m-l^'）（m+l^（'）-j^（’）；2l^（'）-j^（‘）+1）（m-l^；j（'））（m-l（'）；2（l-l^（'））-（j-j^（‘）））（m-l^；j-j^（'））
(74)
=1/（2（m-l））（2米；2l+1）（2l+1；j）
(75)
=1/（2l+1）（2米；2l）（2l+1j）。
（76）

另请参见

Apéry编号，二项式，二项式系数，中央二项式系数，圣诞袜定理，Franel编号，超几何的身份，超几何级数，幂等数，约拿公式 克莱的身份，卢卡斯对应定理，已婚夫妇问题，莫利公式，Nexus公司编号，帕斯卡公式，施密特的问题，斯坦利的身份，星星大卫定理，斯特雷尔身份，塞凯利身份，Waring公司公式，Worpitzky的身份

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参考Wolfram | Alpha

二项式和

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“二项式和”数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html

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