质数

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一个质数(或素数,通常简称为“素”的简称)是一个正整数 P > 1有 无正整数约数1、其他P本身。更简洁, 素数P是一个正 整数一个确切的其他 阳性因子大于1,这意味着它是一个数字,不能分解。例如,只有13个 分别为1和13,使13个素数,而24号有约数1, 2, 3, 4,6, 8, 12,24(对应的分解24 = 2 ^ 3·3), 制作一个素数。正整数非1不是素数的称为复合 数

而“素数”通常指的是素数的正整数,其他类型的素数也被定义,如高斯 素数

1号是一个特殊的案例是不是素数和复合(威尔斯1986,p. 31)。虽然用数字1被认为是总理(哥德巴赫 1742;但1909, 1914;哈代和赖特1979,11页;加德纳,1984,pp. 47-48; 斯隆和普劳夫1995,33页;哈代1999,p. 46),它需要特殊的 处理如此多的定义和应用涉及素数大于或 等于2,它通常是放置在它自己的类。一个很好的理由不 打1个素数,如果1是素数,那么的声明 算术基本定理要更改了”正是 一“可不因为任何N = N·1在其他 词,唯一分解为一个素数的乘积 如果素数有1失败。一个稍微不发光但数学 正确注明原因的Tietze(1965,p. 2),谁说“为什么是1号 例外?这是男生经常争论的一个问题, 但因为它是一个定义的问题,这是不可争辩的。”更简单 注意到德比郡(2004,p. 33),“2支付方式[ ]为总理 1不平衡;

1排除,最小的素数是2。然而,由于2是唯一的甚至最初(其中,具有讽刺意味的是,在某种意义上使它的“奇怪” 总理),还有些特别,和所有 素数除了2集因此被称为“奇素数”。 注意,而2被认为是一个主要的今天,它是在同一时间不(Tietze 1965,p. 18;tropfke 1921,p. 96)。

这个N素数是通常表示p_n,所以p_1 = 2p_2 = 3,等等, 可计算Wolfram语言作为总理N]。

最初的几个素数是2, 3, 5,7, 11, 13,17, 19, 23,29, 31, 37,…(OEISa000040;哈代和赖特1979,p. 3)。记忆记得前七个素数, ”清晨,天文学家获得nonmathematicians精神”(G. L. Honaker, Jr.。委员会,2005年8月4日)。在小说在夜间狗 怪事(为2003),主人公克里斯托弗风趣 数章利用素数代替了 (多)更传统的正。在1季插曲“主要 嫌疑人”(2005)的犯罪电视剧数字追凶Charlie Eppes意识到, 数学天才人物尼格买提·热合曼的女儿被绑架了 因为他是接近解决黎曼假说, 据称会让肇事者的 分解大突破基本上所有的互联网安全。

在十进制数p_(10 ^ N)n = 0,1,…由1, 2, 3,4, 6, 7,8, 9, 10,11, 12, 13,14 ,…(OEISa099260)。

这个配置素数有时记P ,代表的Wolfram语言作为素数

primebaseplot

最初的几个素数是上图所示为一个序列的二进制位。

欧拉说:“数学家都试图在这一天发现素数序列的一些订单,我们有理由相信,这是一个谜,思想不会渗透”(havil 2003,p. 163)。在1975讲,D. Zagier说“有两对分布其中素数我希望使你如此,他们将被永久镌刻在心中的事实。首先,尽管他们简单的定义和作用的自然数的素数的积木,长像自然数间的杂草,似乎服从比机会没有其他的法律,没有人可以预测下一个会发芽。第二个事实更是惊人,它的状态正好相反:即素数具有惊人的规律性,有控制自己行为的法律,并遵守这些法律几乎军事精度”(havil 2003,p. 171)。

这个10 ^ n届总理n = 0,1,… 给出2, 29, 541,7919, 104729, 1299709,15485863, 179424673, 2038074743,…(OEISa006988;Graham等人。1990,111页)。

大素数(Caldwell)包括大梅森素数Ferrier总理,和一百五十二万一千五百六十一位数的反例5359·2 ^(5054502)+ 1显示5359不是一个 第二 种被ń滑雪数(头盔、诺里斯)。已知的最大素数是2016年1月是梅森素数 2 ^(74207281)- 1其中有一个, 二千二百三十三万八千六百一十八小数位数。

素数可以通过筛分过程中产生的(如筛埃拉托色尼),和幸运数字,这是 也产生过筛,出现与素数的分享一些有趣的渐近性质, 。素数满足许多奇妙的性质。虽然 存在显素数公式(即公式 要么产生素数的所有值,否则N日首相作为一个功能的 N),他们做作到这样的程度,他们 有什么实用价值。

这个狄利克雷生成函数对素数的特征函数p_n给出了

sum_(n = 1)^(∞)([ N p_k } { _(K = 1)^∞])/(N ^ S)=sum_(n = 1)^(∞)1 /(p_n ^ S)
(1)
=1 /(2 ^ S)+ 1 /(3 ^ S)+ 1 /(5 ^ S)+ 1 /(7 ^ S)+…
(2)
=P(S),
(3)

哪里P(S)是的主要 Zeta函数[的]是一个艾弗森 支架

给出了素数小于或等于一个数的函数NPI(N)被称为 的素数计数函数定理 给出渐近形式PI(N)被称为 的素数定理同样,对形式的素数的数目 AK + B小于或等于一个数Npi_(A,B)(N)和 叫做模块化 素数计数功能

PI(N)p_n反 功能,所以

 PI(p_n)= n
(4)

对于所有的正整数,

 p_(PI(n))= n
(5)

敌我识别 N是一个素数。

许多素因子分解算法提出了确定的主要因素一个给定的整数,这一过程称为分解 或素数分解。他们有相当的复杂性和复杂性一点。这是 非常很难计算 “难”问题建立一个通用的算法,因此任何额外的大约是在问题或因素的 数已知的信息通常可节省大量的时间。 应该强调的是,虽然没有有效的算法被称为保理 任意整数,它没有证明不存在这样的算法。 因此可以想象,一个聪明的人可以设计适当的方法将大部分在 保理方案目前广泛的加密提供广阔的一般 使用,包括由银行和政府,很容易。

因为他们的加密算法如重要性RSA加密,质数是重要的商品。事实上,R. Schlafly (1994)已获得美国五百三十七万三千五百六十在接下来的 两素数(表达十六进制符号):

     98a3df52aeae9799325cb258d767ebd1f4630e9b 
 9e21732a4afb1624ba6df911466ad8da960586f4 
 a0d5e3c36af099660bddc1577e54a9f402334433 
 acb14bcb
(6)

     93e8965dafd9dfecfd00b466b68f90ea68af5dc9 
 fed915278d1b3a137471e65596c37fed0c7829ff 
 8f8331f81a2700438ecdcc09447dc397c685f397 
 294f722bcc484aedf28bed25aaab35d35a65db1f 
 d62c9d7ba55844feb1f9401e671340933ee43c54 
 e4dc459400d7ad61248b83a2624835b31fff2d95 
 95a5b90b276e44f9。
(7)

这个算术基本定理指出任何正整数可以表示 在一个确切的作为一个产品素数。欧几里德的定理 证明有无穷多个素数。然而,它不知道,如果有 素数无穷的形式 N ^ 2 + 1(Hardy和 莱特1979,p. 19;Ribenboim 1996,pp. 80-81),是否有一个无限的孪生素数(The孪生素数猜想),或者如果一个素数 总是可以找到的N ^ 2(n + 1)^ 2(Hardy和 莱特1979,p. 415;Ribenboim 1996,pp. 397-398)。后两个 两Landau的问题

发现的因素,最简单的方法是所谓的“直接搜索分解”(又名审判庭)。 在这种方法中,所有可能的因素进行了系统的测试使用的审判庭 看看他们给定的数。这只是很小的数字 实用。更一般的(复杂)的方法包括 椭圆曲线分解方法数域筛法 分解方法。

它已被证明,素数集合是一个丢番图 集(Ribenboim 1991,pp. 106-107)。

在2和3外,所有素数的形式P = 6N + / - 1,即,P = 1,5(mod 6)(bungus 1599,p. 399,引用 Peano 1908,p. 59;威尔斯1986,68页)。N一个整数 > = 2N是素数敌我识别这个同余式

 (n-1;K)=(1)^ K(mod n)
(8)

持有K = 0,1,…,N-1(德国1996), (N;k)是一个 二项式系数此外,一个整数N是素数敌我识别

 φ(n)+∑(n)= 2n。
(9)

最初的几个复合N其中N | [φ(n)+∑(n)]n = 312,560, 588, 1400,23760,…(OEISa011774; 家伙1997),共有18这样的数字小于2×10 ^ 7

陈(1979)表明X足够大, 始终存在着一个数目至少有两个主要因素X-X ^αXα> = 0.477…(Le利奥内1983,p. 26;男2004,p. 34)。在实践中,这种关系似乎是所有 x > 2521

由连续的素数数字(计数0到来后,9)包括2, 3, 5、7, 23, 67、89, 4567, 78901,…(OEISa006510)。素数组成的数字本身是素数有23, 37, 53、73, 223、227, 233, 257 , 277, 337, 353,…(OEISa019546 ),这是一个Smarandache序列

因为素数P只有琐碎的因素1P,在他前方道路的 比尔盖茨无意中提到,一个简单的操作时,他说:“因为 系统的隐私和数字货币 安全取决于加密,突破数学或计算机科学,失败 密码系统可能是一场灾难。明显的数学突破 将是一个简单的方法来发展大素数因子[重点 添加]”(门1995,265页)。

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