质数

素数（或素数，通常简称为“素数”）是一个正整数 没有正整数的约数除1和自身。更简洁地说，是一个质数是一个正整数有正好一个除1以外的正除数，这意味着这是一个无法分解的数字。例如13是1和13，使13成为素数，而数字24具有除数1、2，3、4、6、8、12和24（对应于因子分解)，生成24不质数。积极的整数除1以外的非素数被称为混合成的数字.

虽然术语“素数”通常指素数正整数，但也定义了其他类型的素数，例如高斯素数.

数字1是一种特殊情况，既不被视为素数，也不被认为是复合数（Wells 1986，第31页）。虽然数字1过去被认为是质数（哥德巴赫1742;莱默1909年、1914年；哈代和赖特1979年，第11页；加德纳1984年，第86-87页；斯隆和普劳夫1995年，第33页；Hardy 1999，第46页），它需要特殊的许多定义和应用中涉及大于或的素数的处理等于2，它通常被放入自己的类中。一个不这样做的好理由称1为素数是指如果1是素数，那么基本的算术定理必须修改，因为“in确切地一“方式”是错误的，因为换句话说，独特的因式分解如果素数包含1，则生成素数乘积将失败。一Tietze（1965，第2页），谁说“为什么数字1例外？这是一个问题男生们经常争论这个问题，但既然这是一个定义问题，那就是无可争辩。“正如德比郡（Derbyshire）（2004年，第33页）更简单地指出的那样，”2在平衡中支付它的方式（作为主力）；我没有。”

如果不包括1，那么最小的素数就是2。然而，由于2是唯一的偶数素数（具有讽刺意味的是，在某种意义上它是“最奇怪”的素数），它也有点特别，而且是所有素数的集合因此，不包括2的素数称为“奇数素数."还需要注意的是，虽然2在今天被认为是一个素数，但在过去它不是（Tietze1965年，第18页；Tropfke 1921，第96页）。

这个通常表示第个质数，所以,，等等，可以在沃尔夫拉姆语言作为Prime（主要）[n个].

前几个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、。..（OEIS）A000040型哈代和赖特1979年，第3页）。一记忆的因为记住前七个素数是，“在清晨，天文学家使非数学者灵性化”（G.L.Honaker，Jr.，pers.comm.，2005年8月4日）。在小说中这个夜间狗的奇事（哈登2003），主角克里斯托弗用质数而不是更传统的正整数。在第1季的一集中“Prime（主要）嫌疑人“（2005）电视犯罪剧编号3RS,数学天才Charlie Eppes意识到角色Ethan的女儿被绑架了因为他即将解决黎曼假设,据称，这将允许犯罪者基本上破坏所有互联网安全通过分解大量数字。

十进制数字对于, 1, ...由1、2、3、4、6、7、8、9、10、11、12给出，13, 14, ...（OEIS）A099260号).

这个设置素数的，表示为沃尔夫拉姆语言作为底漆.

前面的几个素数是作为二进制位的序列来说明的。

欧拉评论道：“数学家们迄今为止一直徒劳地试图发现素数序列中的某些顺序，我们有理由相信这是一个心灵永远无法穿透的谜”（哈维尔2003年，第163页）。在1975年的一次演讲中，D.Zagier评论道“关于素数的分布有两个事实，我希望以压倒性的优势说服你，它们将永远铭刻在你的心中。第一个事实是，尽管素数的定义和作用很简单，但它们就像自然数中的杂草一样生长，似乎是服从的除了机会法则，没有其他法则，也没有人能预测下一个法则会在哪里萌芽。第二个事实更令人惊讶，因为它恰恰相反：质数表现出惊人的规律性，有规律支配它们的行为，它们几乎以军事精确性遵守这些规律”（哈维尔2003年，第171页）。

这个的第个素数, 1, ...由2，29，541，7919，104729，1299709，15485863给出，179424673, 2038074743, ...（OEIS）A006988号；格雷厄姆等。1990年，第111页）。

大素数（Caldwell）包括大素数梅森素数,费里尔素数、和-数字反例表明5359不是希尔皮恩斯基第二类数量（赫尔姆和诺里斯）。10月最大的已知黄金2024年是梅森素数 ，它有一个惊人的十进制数字。

质数可以通过筛选过程生成（例如埃拉托西尼筛)、和幸运数字，其中包括同样是由筛选产生的，似乎有一些有趣的渐近性质用素数。素数满足许多奇怪而奇妙的性质。尽管存在显式素数公式（即公式它要么为所有值生成素数，要么th素数作为的函数)，它们被设计得如此之小实际价值。

这个Dirichlet生成函数素数的特征函数由提供

哪里是素数zeta函数和是一个艾弗森支架.

给出素数小于或等于数字的函数表示为被称为首要的计数功能.给出渐近形式的定理被称为首要的数论类似地，形式的素数小于或等于数字表示为被称为模块化的素数计数函数.

和是反函数，所以

对于所有正整数和

若（iff） 是质数。

许多素数分解算法设计用于确定基本因子给定的整数，一个称为因子分解的过程或素因子分解。它们在复杂程度和复杂程度上差异很大。它是非常在计算上很难构建通用算法“硬”问题，因此有关问题中的数字或其系数通常可以用来节省大量时间。应该强调的是，尽管目前还没有有效的因子分解算法任意整数，它不是证明不存在这样的算法。因此，可以想象，一个聪明得体的人可以设计一个将军一种因子分解方法，它将使绝大多数加密方案目前广泛使用的设备，包括银行和政府使用的设备很容易损坏。

由于它们在加密算法中的重要性，例如RSA加密，质数可以是重要的商业商品。事实上，R.Schlafly（1994）已获得美国专利关于以下两个素数（用十六进制符号）：

和

这个算术基本定理声明任何正整数可以代表在里面正好一个作为一种方式产品素数。欧几里德第二定理论证素数是无限的。然而，尚不清楚是否存在无限个素数表单的 （哈代和赖特1979年，第19页；里本博伊姆1996年，第206-208页），是否有无限的数量成双的素数（该孪生素数猜想)，或如果素数总是在和（哈代和赖特1979年，第415页；里宾博伊姆1996年，第397-398页）。后两个是兰道氏问题.

寻找因子的最简单方法是所谓的“直接搜索因子分解“（又称。审判庭).在这种方法中，所有可能的因素都通过试验划分进行了系统测试看看他们是否真的分给定的数字。它是仅适用于非常小的数字。更通用（和复杂）的方法包括这个椭圆曲线分解方法和数域筛法因式分解方法。

已经证明素数集是一个丢番图碱设置（Ribenboim 1991年，第106-107页）。

除2和3外，所有素数都是即。，（本格斯1599年，第399页，引自皮亚诺1908年，第59页；Wells 1986，第68页）。对于一个整数 ,是质数若（iff）这个同余方程式

等待,1, ...,（Deutsch 1996），其中是一个二项式系数。此外整数是质数若（iff）

前几个组合对于其中是, 560, 588, 1400, 23760, ...（OEIS）A011774号；盖伊1997），共18人小于的数字.

陈（1979）表示足够大，总是存在一个至少具有两个主要因素和对于（《狮子座》1983年，第26页；《盖伊》2004年，第34页）。实际上，这一关系似乎适用于所有人.

由连续的数字（将0计算为9之后的数字）包括2、3、5、7、23、67、89、4567、78901、。..（OEIS）A006510号).由本身就是素数的数字组成的素数包括23、37、53、73、223、，227, 233, 257, 277, 337, 353, 373, 523, 557, ...（OEIS）A019546号),哪一个是Smarandache层序.

因为质数只有琐碎的因子1和，在他的这个前方道路比尔·盖茨无意中提到了一个微不足道的操作他说：“因为系统的隐私和数字货币的安全性依靠加密，这是数学或计算机科学的一项突破密码系统可能是一场灾难。明显的数学突破将是开发一种简单的方法因子大素数[强调（盖茨1995年，第265页）。