质数

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素数(或素数,通常简称为素数)是一个素数。正整数 P>1没有正整数的约数1以外磷本身。更简洁地说,素数磷是一个正整数恰好一正除数大于1,这意味着它是一个不可分解的数。例如,13的唯一除数是1和13,使得13为素数,而数24具有除数1、2, 3, 4、6, 8, 12和24(对应于因式分解)。24=2 ^ 3·3(24)质数正整数非素数以外的1称为素数。复合数.

虽然“素数”一词通常指素数正整数,但也定义了其他类型的素数,例如高斯素数.

数字1是一个特殊的情况,它既不被认为是素数,也不被认为是复合物(威尔斯1986,P 31)。虽然1号被认为是素数(哥德巴赫1742;LeMeR 1909, 1914;哈代和Wrutt 1979,P.11;加德纳1984,pp.86-88.斯隆和普劳夫1995,P.33;Hardy 1999,P.46),但在许多定义和应用中需要特殊的处理,包括大于或等于2的素数,它通常被置于一个它自己的类中。不调用1素数的一个很好的理由是,如果1是素数,那么算术基本定理将不得不修改,因为在确切地说方式“将是虚假的,因为任何n=n·1. 换句话说,唯一因式分解如果素数包含1,则素数的乘积将失效。TIEZE(1965,第2页)指出了一个稍微不那么有启发性但数学上正确的原因,他说“为什么数字1例外?”这是一个男生经常争论的问题,但是,因为它是一个定义的问题,它是不可争论的。“正如德比郡(2004,第33页)所指出的那样,“2在平衡上作为一个主宰,1没有。”

排除1,最小素数是2。然而,因为2是唯一的偶数素数(讽刺的是,从某种意义上说,它是“最奇怪的”素数),它也有点特殊,所有2个素数的集合都被称为“。”奇素数也注意到,虽然2被认为是一个素数今天,在一个时间它不是(蒂茨1965,第18页;Topfkes 1921,P 96)。

这个NTh素数通常表示Pn如此P1=2PY2=3等等,并且可以在钨语言作为素数[N]

前几个引物分别为2, 3, 5、7, 11, 13、17, 19, 23、29, 31, 37、…(OEIS)A000 000哈代和赖特1979,第3页)。助记符为了记住前七个素数是,“在清晨,天文学家对非数学家进行了灵性化”(G. L. Honaker,小,PrS)。2005年8月4日。小说中狗在夜间的奇怪事件(哈登2003),主角克里斯托弗有趣地用质数来代替章节,而不是更多的传统的正整数。《1季》首要嫌疑犯电视犯罪剧《(2005)》NUMB3RS数学天才Charlie Eppes意识到尼格买提·热合曼的女儿被绑架了,因为他快要解决这个问题了。黎曼假说据称,这将允许犯罪者通过分解大量的数字来彻底破坏互联网的安全。

小数位数p~(10)nn=0,1,…由1, 2, 3、4, 6, 7、8, 9, 10、11, 12, 13、14、…(OEIS)A09260

这个配置素数有时表示磷,表示在钨语言作为素数.

基本基图

上面的几个素数作为一个二进制位序列被说明。

欧拉评论说:“数学家至今徒劳地试图发现素数序列中的一些顺序,我们有理由相信这是一个心智永远无法穿透的谜团”(Havil 2003,第163页)。在1975节课中,D. Zagier评论说:“关于素数的分布,有两个事实,我希望以压倒一切的方式说服你们,它们将永远铭刻在你们的心中。第一个是,尽管它们的简单定义和作为自然数的构造块的作用,素数在自然数中像杂草一样生长,似乎没有遵守任何规律而不是偶然的规律,没有人能够预测下一个芽将在哪里发芽。第二个事实更令人吃惊,因为它的状态正好相反:质数表现出惊人的规律性,即有规律支配他们的行为,而且他们遵守这些法律几乎具有军事精确性(Havil 2003,第171页)。

这个10 ^ n第四素数n=0,1,…给出了2, 29, 541,7919, 104729, 1299709,15485863, 179424673, 2038074743,…(OEIS)A000 6988Graham等。1990,第111页)。

大素数(CaldWar)包括大梅森素数Ferrier素数一百五十二万一千五百六十一数字反例5359·2 ^(5054502)+1显示5359不是A第二类SIEPPI的SKI数(头盔和诺里斯)。2018年12月已知的最大的素数是梅森素数 2 ^(82589933)- 1,这有一个惊人的二千四百八十六万二千零四十八十进制数字。

素数可以通过筛分过程生成(如埃拉托色尼筛幸运数字这也是由筛分产生的,似乎与素数共享一些有趣的渐近性质。素数满足许多奇怪和奇妙的性质。虽然存在明确的素数公式(即公式),它要么为所有值生成素数,要么生成NTh素数的函数N他们的行为是这样的,以至于没有什么实用价值。

这个狄利克雷生成函数素数的特征函数Pn是由

SuMuz(n=1)^(ffTy)([n在{p} k}(k=1)^ fIFTI])/(n^ s)=SuMui(n=1)^(fftI)1/(pnn^ s)
(1)
=1/(2 ^ s)+1/(3 ^ s)+1/(5 ^ s)+1/(7 ^ s)+…
(2)
=P(S)
(3)

哪里P(S)素ζ函数[S]是一个艾弗森括号.

素数小于或等于素数的函数N表示π(n)被称为素数计数函数. 定理的渐近形式π(n)被称为素数定理. 同样,形式素数的数目AK+B小于或等于一个数N表示π(a,b)(n)而被称为模素计数函数.

π(n)Pn是逆函数,所以

 π(pn)=n
(4)

对于所有正整数和

 Pi(π(n))=n
(5)

敌我识别 N是素数。

许多素数分解算法已被设计用于确定素因子给定的整数一个称为因式分解或素数分解的过程。它们在复杂度和复杂性上有很大差异。它是非常对于这个计算“困难”问题,很难建立一个通用算法,因此任何已知问题的附加信息或它的因素通常可以用来节省大量的时间。证明因此,可以想象,一个适当聪明的人可以设计出一种通用的保理方法,这将使得目前广泛使用的加密方案,包括银行和政府使用的加密方案,都很容易破解。

因为它们在加密算法中的重要性,例如RSA加密质数可以是重要的商业商品。事实上,R. Schlafly(1994)获得了美国专利。五百三十七万三千五百六十关于下列两个素数(表示为十六进制的表示法):

     98A3DF52AEA9900325CB78D767 EBD1F4630E9B×9E21732 A4AFB1624BA6DF911466 AD88DA960586F4A A0D5E3C36AF099 660BDDC1577 E54 A9F4023 34 433
(6)

     596C6FD1C7824FF 8F81A713438 ECCDC0947DC97C68 5F397,2164F722BC48 4AEDF28 BADE25AAB35D35A35BD1F,D62C9D7BA55 844 FEB1F9401E67 1340933 EE43C54,E4DC45 9400 D7AD61248 B83A2624835B31 FFF2D95,95A5B90B27 6E44 F9。93E896DAFD9DFECFD00 B466 B68 F90EA68 AF5DC9 FE91578D1B3A13771E6
(7)

这个算术基本定理声明任何正整数可以表示为恰好一作为一种方式产品素数。欧几里得第二定理证明了无限数量的素数。然而,不知道是否有无限数量的素数。形式的 N ^ 2+1(Hardy和S.W赖特1979,第19页;RiBoimIM 1996,pp.206—208),是否存在无限的孪生素数(the孪生素数猜想)或者如果总是可以找到素数N 2(n+1)^ 2(Hardy和S.W赖特1979,第415页;RiBoimIM 1996,pp.797—39)。这些后面的两个是两个朗道问题.

寻找因素的最简单方法是所谓的“直接搜索因子分解“(A.K.A.)试除法在这种方法中,所有可能的因素都是用试除法进行系统测试的,看看它们是否实际存在。给定的数字。它只适用于非常小的数字。更一般的(和复杂的)方法包括椭圆曲线分解法数域筛法因式分解法

证明了素数集合是一个素数。丢番图集(RiBiBOIM 1991,pp.106—107)。

除了2和3以外,所有素数都是形式的。p= 6n+/- 1,即P= 1,5(MOD 6)(BungUS 1599,第399页,在皮亚诺1908,P 59中引用;威尔斯1986,P 68)。N整数 > 2N是素数敌我识别这个同余式

 (n-1;k)=(1)^ k(mod n)
(8)

持有K=0,1,…N-1(德意志1996)(n;k)是一个二项式系数. 此外,一个整数N是素数敌我识别

 φ(n)+sigma(n)=2n。
(9)

前几个复合材料N为此n [φ(n)+sigma(n)]n=312,560, 588, 1400,23760,…(OEIS)A011774“盖伊1997”,总共有18个这样的数字小于2×10 ^ 7.

陈(1979)表明X足够大的,总是存在一个数,其中至少有两个素因子X-X^αXAlpha=0.477…(LyLynina 1983,第26页;盖伊2004,第34页)。在实践中,这种关系似乎对所有人都适用。x>2521.

由连续组成的素数数字(计数0后9)包括2, 3, 5,7, 23, 67,89, 4567, 78901,…(OEIS)A000 610由素数组成的素数包括23, 37, 53、73, 223、227, 233, 257、277, 337, 353、373, 523, 557、…(OEIS)A019546,这是其中之一Smithand序列.

因为素数磷只有琐碎的因子1和磷在他的前面的路当比尔盖茨说“因为系统的隐私和数字货币的安全都依赖于加密,在数学或计算机科学上的一个突破性的密码系统的突破可能是一场灾难时,他意外地提到了一个微不足道的手术。明显的数学突破是发展一条简单的道路。因子大素数〔强调〕(门1995,第265页)。

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