质数

一个质数（或素数，通常简称为“素”的简称）是一个正整数 有 无正整数约数1、其他本身。更简洁， 素数是一个正 整数有一个确切的其他 阳性因子大于1，这意味着它是一个数字，不能分解。例如，只有13个 分别为1和13，使13个素数，而24号有约数1， 2, 3, 4，6, 8, 12，24（对应的分解）， 制作不一个素数。正整数非1不是素数的称为复合 数。

而“素数”通常指的是素数的正整数，其他类型的素数也被定义，如高斯 素数。

1号是一个特殊的案例是不是素数和复合（威尔斯1986，p. 31）。虽然用数字1被认为是总理（哥德巴赫 1742；但1909, 1914；哈代和赖特1979，11页；加德纳，1984，pp. 47-48； 斯隆和普劳夫1995，33页；哈代1999，p. 46），它需要特殊的 处理如此多的定义和应用涉及素数大于或 等于2，它通常是放置在它自己的类。一个很好的理由不 打1个素数，如果1是素数，那么的声明 算术基本定理要更改了”正是 一“可不因为任何。在其他 词，唯一分解为一个素数的乘积 如果素数有1失败。一个稍微不发光但数学 正确注明原因的Tietze（1965，p. 2），谁说“为什么是1号 例外？这是男生经常争论的一个问题， 但因为它是一个定义的问题，这是不可争辩的。”更简单 注意到德比郡（2004，p. 33），“2支付方式[ ]为总理 1不平衡；

1排除，最小的素数是2。然而，由于2是唯一的甚至最初（其中，具有讽刺意味的是，在某种意义上使它的“奇怪” 总理），还有些特别，和所有 素数除了2集因此被称为“奇素数”。 注意，而2被认为是一个主要的今天，它是在同一时间不（Tietze 1965，p. 18；tropfke 1921，p. 96）。

这个素数是通常表示，所以，，等等， 可计算Wolfram语言作为总理【N]。

最初的几个素数是2, 3, 5，7, 11, 13，17, 19, 23，29, 31, 37，…（OEISa000040；哈代和赖特1979，p. 3）。一记忆记得前七个素数， ”清晨，天文学家获得nonmathematicians精神”（G. L. Honaker， Jr.。委员会，2005年8月4日）。在小说在夜间狗 怪事（为2003），主人公克里斯托弗风趣 数章利用素数代替了 （多）更传统的正。在1季插曲“主要 嫌疑人”（2005）的犯罪电视剧数字追凶Charlie Eppes意识到， 数学天才人物尼格买提·热合曼的女儿被绑架了 因为他是接近解决黎曼假说， 据称会让肇事者的 分解大突破基本上所有的互联网安全。

在十进制数为，1，…由1, 2, 3，4, 6, 7，8, 9, 10，11, 12, 13，14 ，…（OEISa099260）。

这个配置素数有时记 ，代表的Wolfram语言作为素数。

最初的几个素数是上图所示为一个序列的二进制位。

欧拉说：“数学家都试图在这一天发现素数序列的一些订单，我们有理由相信，这是一个谜，思想不会渗透”（havil 2003，p. 163）。在1975讲，D. Zagier说“有两对分布其中素数我希望使你如此，他们将被永久镌刻在心中的事实。首先，尽管他们简单的定义和作用的自然数的素数的积木，长像自然数间的杂草，似乎服从比机会没有其他的法律，没有人可以预测下一个会发芽。第二个事实更是惊人，它的状态正好相反：即素数具有惊人的规律性，有控制自己行为的法律，并遵守这些法律几乎军事精度”（havil 2003，p. 171）。

这个届总理，1，… 给出2, 29, 541，7919, 104729, 1299709，15485863, 179424673, 2038074743，…（OEISa006988；Graham等人。1990，111页）。

大素数（Caldwell）包括大梅森素数，Ferrier总理，和位数的反例显示5359不是一个 第二 种被ń滑雪数（头盔、诺里斯）。已知的最大素数是2018年1月是梅森素数 其中有一个， 小数位数。

素数可以通过筛分过程中产生的（如筛埃拉托色尼），和幸运数字，这是 也产生过筛，出现与素数的分享一些有趣的渐近性质， 。素数满足许多奇妙的性质。虽然 存在显素数公式（即公式 要么产生素数的所有值，否则日首相作为一个功能的 ），他们做作到这样的程度，他们 有什么实用价值。

这个狄利克雷生成函数对素数的特征函数给出了

			（1）
			（2）
			（3）

哪里是的主要 Zeta函数和是一个艾弗森 支架。

给出了素数小于或等于一个数的函数记被称为 的素数计数函数。定理 给出渐近形式被称为 的素数定理。同样，对形式的素数的数目 小于或等于一个数记和 叫做模块化 素数计数功能。

和反 功能，所以

（4）

对于所有的正整数，

（5）

敌我识别 是一个素数。

许多素因子分解算法提出了确定的主要因素一个给定的整数，这一过程称为分解 或素数分解。他们有相当的复杂性和复杂性一点。这是 非常很难计算 “难”问题建立一个通用的算法，因此任何额外的大约是在问题或因素的 数已知的信息通常可节省大量的时间。 应该强调的是，虽然没有有效的算法被称为保理 任意整数，它没有证明不存在这样的算法。 因此可以想象，一个聪明的人可以设计适当的方法将大部分在 保理方案目前广泛的加密提供广阔的一般 使用，包括由银行和政府，很容易。

因为他们的加密算法如重要性RSA加密，质数是重要的商品。事实上，R. Schlafly （1994）已获得美国在接下来的 两素数（表达十六进制符号）：

（6）

和

（7）

这个算术基本定理指出任何正整数可以表示 在一个确切的作为一个产品素数。欧几里德的定理 证明有无穷多个素数。然而，它不知道，如果有 素数无穷的形式 （Hardy和 莱特1979，p. 19；Ribenboim 1996，pp. 80-81），是否有一个无限的数孪生素数（The孪生素数猜想），或者如果一个素数 总是可以找到的和（Hardy和 莱特1979，p. 415；Ribenboim 1996，pp. 397-398）。后两个 两Landau的问题。

发现的因素，最简单的方法是所谓的“直接搜索分解”（又名审判庭）。 在这种方法中，所有可能的因素进行了系统的测试使用的审判庭 看看他们分给定的数。这只是很小的数字 实用。更一般的（复杂）的方法包括 椭圆曲线分解方法和数域筛法 分解方法。

它已被证明，素数集合是一个丢番图 集（Ribenboim 1991，pp. 106-107）。

在2和3外，所有素数的形式，即，（bungus 1599，p. 399，引用 Peano 1908，p. 59；威尔斯1986，68页）。为一个整数 ，是素数敌我识别这个同余式

（8）

持有，1，…，（德国1996）， 是一个 二项式系数。此外，一个整数是素数敌我识别

（9）

最初的几个复合其中是，560, 588, 1400，23760，…（OEISa011774； 家伙1997），共有18这样的数字小于。

陈（1979）表明足够大， 始终存在着一个数目至少有两个主要因素和为（Le利奥内1983，p. 26；男2004，p. 34）。在实践中，这种关系似乎是所有 。

由连续的素数数字（计数0到来后，9）包括2, 3, 5、7, 23, 67、89, 4567, 78901，…（OEISa006510）。素数组成的数字本身是素数有23, 37, 53、73, 223、227, 233, 257 ， 277, 337, 353，…（OEISa019546 ），这是一个Smarandache序列。

因为素数只有琐碎的因素1，在他前方道路的 比尔盖茨无意中提到，一个简单的操作时，他说：“因为 系统的隐私和数字货币 安全取决于加密，突破数学或计算机科学，失败 密码系统可能是一场灾难。明显的数学突破 将是一个简单的方法来发展大素数因子[重点 添加]”（门1995，265页）。

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