素数定理

素数定理给出了素数计数函数 ，它统计素数少于一些整数 Legendre（1808）建议,

具有（其中有时被称为勒让德常数)，一个仅在前项中正确的公式，

（纳格尔1951年，第54页；瓦贡1991年，第28-29页；哈维尔2003年，第177页）。

1792年，只有15岁的高斯提出

高斯后来将他的估计精确到

哪里

是对数积分高斯并没有公布这一结果，他在1849年给恩克的一封信中首次提到了这一点。是的随后于1863年在死后出版（高斯1863；哈维尔2003，第174-176页）。

请注意有渐近级数关于属于

而采用前三项已被证明是比仅此而已（德比郡，2004年，第116-117页）。

声明(4)通常被称为“素数定理”，由Hadamard（1896）和de la Vallée Poussin独立证明(1896). 一个情节（下曲线）和如上所示.

对于小型,经过检查，始终发现因此，许多杰出的数学家，至少包括高斯和黎曼，推测不等式为严格。令所有人惊讶的是，当利特伍德（1914）证明了不平等无限频繁地反转足够大的（Ball and Coxeter 1987；Havil 2003，p.199）。那么斯凯韦斯表明第一次穿越发生在，现在称为Skewes公司数（哈维尔2003年，第199页）。交叉口的上限随后减少到.雷曼兄弟（1966）证明带有1166或1167的数字发生反转十进制的 数字.

切比雪夫限制了比率

（Landau 1927；Nagell 1951，第55页；Landau 1974；Hardy and Wright 1979，第22章；Ingham 1990；Rubinstein and Sarnak 1994；Hardy 1999，第27页；Derbyshire 2004，第124和154页）。对于大型，他展示了

哪里是对数积分（爱德华兹2001年，第4页），以及

（哈维尔2003年，第186页）。他还表明，如果限制

存在，则为1（哈维尔2003年，第186页）。德比郡（2004年，第124页）声明，1850年，切比雪夫也表明不能与不同因此，超过大约10%是正确的足够大的.

Hadamard和de la Vallée Poussin在1896年独立地证明了素数定理，证明了黎曼-泽塔函数 没有零属于表格 ,在这个意义上需要证明（Smith 1994，p.128；Hardy 1999，第58-60页）。维纳（1951）允许这个有点模糊的说法按字面意思解释（Hardy 1999，第34和46页），该证明是由Landau（1932）和Bochner（1933）简化。

安基本证明由Erdős（1949）和Selberg（1950）发现（Ball and Coxeter 1987，第63页；Havil 2003，第188页），尽管关于共同工作的不幸的优先权纠纷破坏了其他方面美丽的证明（Hoffman 1998，第39-41页；德比郡2004，第125页）。版本素数定理的初等证明出现在Nagell的最后一节（1951年）和Hardy and Wright（1979年，第359-367页）。正如哈代和赖特所说（1979年，第9页），尽管这个证明是“基本的”，“这个证明并不容易。”

哈达玛的证明依赖于简单的三角不等式

（哈代1999年，第58页；哈维尔2003年，第187页）。de la Vallée Poussin（1899）表明

对于一些常量（Knuth 1998，第381页），其中是渐进表示.1901年，科赫表明，如果黎曼假设是真的，那么

（哈维尔2003年，第205页），可以用略弱的形式书写

（德比郡2004年，第237和242-244页）。

中的错误项(15)随后改进为

（Walfisz 1963；Riesel 1994，第56页；Knuth 1998，第382页；Derbyshire 2004，第244页）。Ingham（1930）利用Ramanujan恒等式证明了素数定理

哪里是除数函数（哈代，1999年，第59-60页）。

Riemann估计素数计数函数具有

这是一个比对于Riemann（1859）还建议黎曼功能

哪里是莫比乌斯函数（Wagon 1991，第29页）。更小的近似值（对于)是革兰氏系列.

素数定理等价于

或

哪里和是切比雪夫函数切比雪夫表示这些表达式的唯一可能极限是1，但无法证明极限的存在（Hardy 1999，第28页）。

这个黎曼假设相当于断言

对于某些值（Ingham 1990年，第83页；Landau 1974年，第378-388页；Ball and Coxeter 1987年；Hardy1999年，第26页），如科赫于1901年所示（哈维尔2003年，第205页）。一些限制在不假设黎曼假设是