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黎曼假设


黎曼假说首次发表于1859年黎曼的开创性论文(黎曼1859),黎曼假说是一个深刻的数学猜想,它表明黎曼zeta函数零点,即的值秒-2,-4,-6,…这样zeta(s)=0(其中泽塔黎曼ζ函数)所有人都在撒谎临界线"σ=R[s]=1/2(其中R[秒]表示实部属于秒).

一种更一般的说法称为广义黎曼假设推测黎曼zeta函数也没有Dirichlet L系列用0表示实部大于1/2。

传说中,在赫尔维茨去世后,在他的图书馆里发现的黎曼作品集的副本,将自动翻开黎曼假设所在的页面(爱德华兹2001年,第ix页)。

长期以来,人们一直认为黎曼的假设是黎曼深层直觉的结果,而C·L·李对他的论文进行了检查。西格尔表示Riemann对黎曼zeta函数 泽塔到几个十进制数字(Granville 2002;Borwein和Bailey 2003,第68页)。

到目前为止,黎曼假设一直抵制着所有证明它的尝试。斯蒂尔特杰斯(1885)发表了一份声明,声称已经证明了梅滕斯猜想具有c=1,一个比黎曼假设更强的结果,它本应遵循这个结果。然而,证据本身从未发表过,也没有在Stieltjes的论文中发现他去世后(德比郡,2004年,第160-161页和250页)。此外Mertens猜想已被证明是错误的,这一说法完全无效。20世纪40年代末,H.Rademacher错误地证明了黎曼的错误该假设在时间杂志,即使证据有瑕疵Siegel出土(Borwein and Bailey 2003,p.97;Conrey 2003)。德布兰格斯已经写了很多论文,讨论了一种潜在的方法广义的黎曼假设(de Branges,1986年、1992年、1994年),事实上声称证明广义黎曼假说(de Branges 20032004;Boutin 2004),但没有实际的这些论文中似乎有证据。此外,Conrey和Li(1998)证明了德布兰奇方法的反例,这基本上意味着理论的发展由德布兰斯是不可行的。

黎曼假设的证明是希尔伯特的问题和第1个斯梅尔的问题.

2000年,克莱数学研究所(http://www.claymath.org/)提供了100万美元的奖金(http://www.claymath.org/millennium/Rules_etc/)证明黎曼假设。有趣的是,反驳Riemann的假设(例如,通过使用计算机实际从批评的线),没有获得100万美元的奖金。

黎曼假设经过计算测试,第一次被证明是正确的200000001布伦特的零等。(1982),覆盖零西格玛+it在该地区0<t<81702130.19). S.Wedeniuski使用了齐塔电网(网址:http://www.zetagrid.net/)来证明第一个万亿(10^(12))非平凡的零位于临界线.古尔登(2004)然后使用Odlyzko和Schönhage的一种更快的方法来验证前10万亿(10^(13))的非平凡零ζ(s)功能在于批评的线该计算验证了黎曼假设至少是正确的为所有人t吨不到2.4万亿。下表总结了这些结果,其中g(名词)表示克氏点.

n个g(名词)来源
2×10^88.2×10^7布伦特等(1982)
10^(12)2.7×10^(11)Wedeniuski/ZetaGrid公司
10^(13)2.4×10^(12)古尔登(2004)

黎曼假设等价于以下语句:Dirichlet eta函数(又名交替zeta函数)

 eta(s)=总和(k=1)^系数((-1)^(k-1))/(k^s)=(1-2^(1-s))zeta(s)
(1)

掉进临界带钢 0<R[s]<1躺在批评的线 R[s]=1/2.

维纳表明素数定理字面上等同于断言黎曼zeta函数 泽塔上没有零西格玛=1(哈代1999年,第34和58-60页;哈维尔2003年,第195页)。

1914年,哈代证明了无限的的值数秒可以找到zeta(s)=0R[s]=1/2(哈维尔2003年,第213页)。然而,目前还不清楚如果全部的非平凡根秒满足R[s]=1/2Selberg(1942)表明非平凡的零位于临界线、和Conrey(1989)证明这一比例至少为40%(Havil 2003,第213页)。

AndréWeil证明了黎曼假设对场函数是正确的(Weil 1948,Eichler 1966,Ball and Coxeter 1987)。1974年,莱文森(1974ab)表明至少1/3的必须躺在批评的线(Le Lionnais 1983),这一结果已经提高到40%(瓦尔迪1991年,第142页)。众所周知,零在线I[s]=0.这是因为对于所有复数秒,

1秒复共轭 秒^_围绕这条线对称放置。

2.根据定义(1)黎曼-泽塔函数满足zeta(s^_)=zeta(s)^_,因此如果秒是零,也是秒^_,从那时起zeta(s^_)=zeta(s)^_=0^_=0.

众所周知,非平凡零点对称地放置在临界线 R[s]=1/2,函数方程得出的结果以及直线的对称性I[s]=0。如果秒是一个非平凡的零,那么1秒也是零(根据函数方程),然后1秒^_是另一个零。但是秒1秒^_围绕直线对称放置R[s]=1/2,自1-(x+iy)^_=(1-x)+iy,如果x=1/2+x ^’,然后1-x=1/2-x^'黎曼假设等价于λ<=0,其中兰姆达德布鲁伊恩·纽曼常数(索尔达斯等。1994). 它也相当于断言对于一些常量c(c),

 |Li(x)-pi(x)|<=csqrt(x)lnx,
(2)

哪里李(x)对数积分圆周率素数计数功能(Wagon 1991)。另一个等效形式表示

 span_(L^2(0,1)){rho_alpha,0<α<1}=L^2,
(3)

哪里

 rho_alpha(t)=压裂(α/t)-α压裂(1/t),
(4)

压裂(x)小数部分(Balazard和Saias,2000年)。

黎曼假设西格玛

通过修改Robin(1984)的标准,Lagarias(2000)表明Riemann假设等价于以下陈述:

 σ(n)<=H_n+exp(H_n)lnH_n,
(5)

为所有人n> =1,仅等式用于n=1,其中H_n(H_n)是一个谐波数西格玛(n)除数函数(哈维尔,2003年,第207页)。上面的曲线图显示了这两个函数(左侧曲线图)及其差异(右侧绘图)n个高达1000。

对于由下列等式定义的函数场的零点位置,黎曼假设也有一个有限的模拟

 ay^l+bz^m+c=0。
(6)

这个由威尔提出的假设类似于通常的黎曼假设。特定情况下的解决方案数量(l,m)=(2,2),(3,3),(4,4)和(2,4)是高斯已知的。

菲尔兹奖得主恩里科·波比耶里(Enrico Bombieri)表示,“黎曼假设的失败将对素数的分布造成破坏”(哈维尔2003,第205页)。

在罗恩·霍华德2001年的电影中美丽的心灵约翰·纳什(拉塞尔·克劳饰演)的尝试受到阻碍通过服用药物治疗精神分裂症来解决黎曼假设。

在第1季的一集中“首要嫌疑人“(2005)电视犯罪剧编号3RS,数学天才Charlie Eppes意识到角色Ethan的女儿被绑架了因为他接近于解决黎曼假设,据称这将允许犯罪者基本上破坏了所有的互联网安全。

在小说中天才之后的生活(雅各比2008),主角西奥多·米德·费格利(Theodore“Mead”Fegley)(年仅18岁,大学四年级)试图证明Riemann假设为他的高年级研究项目。他还使用克雷超级计算机计算黎曼-泽塔函数的几十亿个零点。在几个梦里书中的序列,米德与伯恩哈德·里曼(Bernhard Riemann)就问题和一般数学。


另请参见

贝里猜想,关键线路,关键地带,迪里克莱Eta函数,扩展黎曼假设,广义黎曼假设,李的标准,梅滕斯猜想,米尔斯常数,Prime(主要)数字定理,黎曼-泽塔函数,黎曼-泽塔函数零点,罗宾的定理

本条目的部分内容由伦恩古德曼

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Balazard,M.和Saias,E.“黎曼假设的尼曼-伯林等价形式”曝光。数学。 18, 131-138, 2000.球,西-西。R。和H.S.科克塞特。M。数学娱乐与论文,第13版。纽约:多佛,第75页,1987年。Bombieri公司,E.“千年问题:黎曼假设”http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Official_Problem_Description.pdf.博文,J.和Bailey,D。数学实验:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,第66-68页,2003年。Boutin,C.“普渡数学家黎曼假设的索赔证明。“普渡新闻稿,2004年6月8日。http://news.uns.purdue.edu/uns/html4ever/2004/040608.DeBranges.Riemann.html.布伦特,钢筋混凝土。“关于临界带中Riemann-Zeta函数的零点。”数学。计算。 33, 1361-1372, 1979.布伦特,R.P。;厢式货车de Lune,J.等人。;te Riele,H.J。J。;和D.T.Winter。“在零点上临界带中的Riemann-Zeta函数。二、。"数学。计算。 39,681-688, 1982.考德威尔,C.K。“主要链接++。”http://primes.utm.edu/links/theory/consuctions/Riemann/.粘土数学研究所。“黎曼假设。”http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis网站/.康利,J.B.公司。“黎曼-泽塔函数的零点至少有五分之二是在关键线上。"牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 20, 79-81, 1989.科里,J.B.公司。“超过五分之二的黎曼-泽塔函数零点是在关键线上。"J.reine angew。数学。 399, 1-26, 1989.科里,J.B.公司。“黎曼假设。”不是。阿默尔。数学。Soc公司。 50,341-353, 2003.http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf.科里,J.B.公司。和Li,X.-J.“关于Zeta的一些正性条件的注记”-L(左)-功能。"1998年12月3日。http://arxiv.org/abs/math.NT/9812166.索尔达斯,G。;Smith,W。;和Varga,R.S。“莱默零对,德布鲁恩·纽曼常数和黎曼假设。"施工。大约。 10, 107-129,1994德比郡,J。Prime(主要)迷恋:伯恩哈德·里曼和数学中最伟大的未解决问题。纽约:企鹅出版社,第371-372页,2004年。de Branges,L.“黎曼整函数希尔伯特空间的假设。"牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 15,1-17, 1986.de Branges,L.“欧拉产品的融合”J.函数。分析。 107, 122-210, 1992.de Branges,L.“A公司暗示黎曼假设的猜想。"J.函数。分析。 121,117-184, 1994.de Branges,L.“为黎曼的证明道歉假设。“2003年3月18日。http://www.math.purdue.edu/ftp_pub/branges/apology.pdf.Branges,L.《黎曼-泽塔函数》,2004年5月24日。http://www.math.purdue.edu/ftp_pub/branges/riemannzeta.pdf.索托,M。这个初级阶段的音乐:探索数学中最大的奥秘。纽约:Harper-Collins,2003年。爱德华兹,H.M。黎曼氏Zeta函数。纽约:多佛,2001年。M.埃希勒。介绍代数数和函数理论。纽约:学术出版社,1966古尔登,X。“The10^(13)黎曼-泽塔函数的第一个零和零超大高度计算。" 2004.http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf.格兰维尔,A.《基本可能性和量子混沌》,2002年。http://www.msri.org/communications/emissary/pdfs/EmissarySpring02.pdf.哈迪,G.H.公司。拉马努扬:关于他的生活和工作所建议主题的十二讲,第三版。纽约:切尔西,1999年。哈维尔,J.“黎曼假设”和“为什么”黎曼假设重要吗?“§16.10和16.11伽马射线:探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿:普林斯顿大学出版社,第202-207页,2003雅各比,M.A。生活天才之后纽约:Grand Central出版社,2008年。“将军”,S.G.公司。《黎曼假设》第13.2.9条手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿:Birkhäuser,第161页,1999年。拉加里亚斯,J.C.公司。“一个等价于黎曼假设的初等问题”2000年8月22日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0008177.Lionnais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,第25页,1983年。莱文森,N.“超过三分之一的黎曼齐塔函数零点开启σ=1/2."高级数学。 13第383-436页,1974年。莱文森,N.“至少有三分之一的黎曼齐塔函数零点处于开启状态σ=1/2."程序。美国国家科学院。科学。美国 71,1013-10151974b。A.Odlyzko“The10^(20)黎曼-泽塔函数的零点和7000万它的邻居。"小E.佩格。和Weisstein,E.W。“七个数学提示。"数学世界头条新闻。2004年11月8日。http://mathworld.wolfram.com/news/2004-11-08/seventidbits/#3.黎曼,G.F.公司。B。“安扎尔·德·普里姆扎赫伦(Anzahl der Primzahlen unter gegebenen)是我们的朋友格里斯。"莫纳茨伯。柯尼格尔。普劳斯。阿卡德。威斯。柏林, 671-680,1859年11月。重印于达斯Kontinuum和Andere专题论文(编辑H.Weyl)。纽约:切尔西,1972年。在爱德华兹,H.M。附录。黎曼氏Zeta函数。纽约:多佛,第299-305页,2001年。罗宾,G.“Grandes valeurs de la function somme des diviseurs et hythose de黎曼。"数学杂志。Pures应用程序。 63, 187-213, 1984.罗克摩尔,D。跟踪黎曼假设:寻找素数隐藏定律的探索。纽约:Vintage,2006年。萨巴赫,K。Riemann博士零:寻找价值100万美元的数学最大问题的解决方案。大西洋图书,2002年。关于黎曼齐塔函数的零点挪威船级社-阿卡德。奥斯陆1942年第10期。新泽西州斯隆。答:。顺序A002410号/M4924 in“在线整数序列百科全书。"Smale,S.“数学下个世纪的问题。"数学。智能手机 20,2号,7-15, 1998.下个世纪的数学问题数学:2000年前沿与展望(编辑V.Arnold,M.Atiyah,P.Lax,和B.Mazur)。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,2000年。斯蒂尔特杰斯,T。C.R.A.S.公司。1885te Riele,H.J。J。“勘误表to:关于临界条带中Riemann-Zeta函数的零点。二、。"数学。计算。 46, 771, 1986.van de Lune,J.和te Riele,H.J。J。“关于临界带中黎曼-齐塔函数的零点。III。”数学。计算。 41, 759-767, 1983.van de Lune,J。;特瑞尔,H·J。J。;和D.T.Winter。“关于黎曼泽塔的零点关键地带的功能。四、 “”数学。计算。 46, 667-681,1986瓦尔迪,I。计算数学娱乐。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1991年。货车,美国。数学软件正在运行。纽约:W.H。弗里曼,第33页,1991年。韦尔,答:。苏尔-莱斯-库伯斯-阿尔热布里克斯和莱斯-瓦里塞斯-奎斯-恩德-杜瓦森特(Sur les courbes algébriques et les variétès qui'en déduisent)。巴黎,1948年。威尔斯,D。这个《企鹅好奇有趣数字词典》。英国米德尔塞克斯:企鹅图书,第28页,1986年。齐塔电网主页。http://www.zetagrid.net/.

引用如下:

莱恩·古德曼埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“黎曼假设”摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Riemann假设.html

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