黎曼假设

黎曼假说首次发表于1859年黎曼的开创性论文（黎曼1859），黎曼假说是一个深刻的数学猜想，它表明黎曼zeta函数零点，即的值除,,,……这样（其中是黎曼-泽塔函数)所有人都在撒谎“临界线"（其中表示实部属于).

一种更一般的说法称为广义黎曼假设推测两者都不是黎曼zeta函数也没有Dirichlet L系列用0表示实部大于1/2。

传说中，在赫尔维茨去世后，在他的图书馆里发现的黎曼作品集的副本，将自动翻开黎曼假设所在的页面（爱德华兹2001年，第ix页）。

长期以来，人们一直认为黎曼的假设是黎曼深刻直觉的结果，但C·L·L对他的论文进行了审查。西格尔表示Riemann对黎曼zeta函数 到几个十进制数字（Granville 2002；Borwein和Bailey 2003，第68页）。

到目前为止，黎曼假设一直抵制着所有证明它的尝试。斯蒂尔特杰斯（1885）发表了一份声明，声称已经证明了默滕斯猜想具有,这一结果比黎曼假说更为有力，也正是由此得出的。然而，证据本身从未发表过，也没有在Stieltjes的论文中发现他去世后（德比郡，2004年，第160-161页和250页）。此外Mertens猜想已被证明是错误的，这一说法完全无效。在20世纪40年代末，H.Rademacher错误地证明了黎曼的错误该假设在时间杂志，即使证据有瑕疵Siegel出土（Borwein and Bailey 2003，p.97；Conrey 2003）。德布兰格斯写了许多论文，讨论了广义的黎曼假设（de Branges，1986年、1992年、1994年），事实上声称证明广义黎曼假设（de Branges 20032004；Boutin 2004），但没有实际的这些论文中似乎有证据。此外，Conrey和Li（1998）证明了德布兰奇方法的反例，这基本上意味着理论的发展由德布兰斯是不可行的。

黎曼假设的证明是希尔伯特的问题和第1个斯梅尔的问题.

2000年，粘土数学研究所(http://www.claymath.org/)提供了100万美元的奖金(http://www.claymath.org/millennium/Rules_etc/)证明黎曼假设。有趣的是，反驳Riemann的假设（例如，通过使用计算机实际从批评的线)，没有获得100万美元的奖金。

黎曼假设经过计算测试，第一次被证明是正确的布伦特的零等。（1982），覆盖零在该地区). S.Wedeniuski使用了齐塔电网(http://www.zetagrid.net/)来证明第一个万亿()非平凡的零位于临界线.古尔登（2004）然后使用Odlyzko和Schönhage的更快方法验证前10万亿()的非平凡零功能在于批评的线该计算验证了黎曼假设至少是正确的为所有人不到2.4万亿。下表总结了这些结果，其中表示克氏点.

黎曼假设等价于以下语句：Dirichlet eta函数（又名交替ζ函数）

掉进临界带钢 躺在批评的线 .

维纳表明素数定理字面上等同于断言黎曼zeta函数 上没有零（哈代1999年，第34和58-60页；哈维尔2003年，第195页）。

1914年，哈代证明了无限的的值数可以找到其中的和（哈维尔2003年，第213页）。然而，目前还不清楚如果全部的非平凡根满足Selberg（1942）表明非平凡的零位于临界线、和Conrey（1989）证明这一比例至少为40%（Havil 2003，第213页）。

AndréWeil证明了黎曼假设对场函数是正确的（Weil 1948，Eichler 1966，Ball and Coxeter 1987）。1974年，Levinson（1974ab）表明至少1/3的根必须躺在批评的线（Le Lionnais 1983），这一结果已经提高到40%（瓦尔迪1991年，第142页）。众所周知，零在线.这是因为对于所有复数,

1和复共轭 围绕这条线对称放置。

2.根据定义（1）黎曼-泽塔函数满足，因此如果是零，也是，从那时起.

众所周知，非平凡零点对称地放置在临界线 ，由函数方程得出的结果以及直线的对称性。如果是一个重要的零，那么也是零（根据函数方程），然后是另一个零。但是和围绕直线对称放置，自，如果，然后黎曼假设等价于，其中是德布鲁伊恩·纽曼常数（索达斯等。1994). 它也相当于断言对于一些常量,

哪里是对数积分和是素数计数功能（Wagon 1991）。另一个等效形式表示

哪里

和是小数部分（Balazard和Saias，2000年）。

通过修改Robin（1984）的标准，Lagarias（2000）表明Riemann假设等价于以下陈述：

为所有人,仅等式用于，其中是一个谐波数和是除数函数（哈维尔2003年，第207页）。上图显示了这两个函数（左图）及其差异（右图绘图）高达1000。

对于由下列等式定义的函数场的零点位置，黎曼假设也有一个有限的模拟

这个由威尔提出的假设类似于通常的黎曼假设。特定情况下的解决方案数量高斯知道（3,3）、（4,4）和（2,4）。

菲尔兹奖得主恩里科·波比耶里（Enrico Bombieri）表示，“黎曼假设的失败将对素数的分布造成破坏”（哈维尔2003，第205页）。

在罗恩·霍华德2001年的电影中美丽的心灵约翰·纳什（拉塞尔·克劳饰演）的尝试受到阻碍通过服用药物治疗精神分裂症来解决黎曼假设。

在第一季中“首要嫌疑人“（2005）电视犯罪剧编号3RS,数学天才Charlie Eppes意识到角色Ethan的女儿被绑架了因为他接近于解决黎曼假设，据称这将允许犯罪者基本上破坏了所有的互联网安全。

在小说中天才之后的生活（雅各比2008），主角西奥多·米德·费格利（Theodore“Mead”Fegley）（年仅18岁，大学四年级）试图证明高年级研究项目的黎曼假说。他还使用克雷超级计算机计算黎曼-泽塔函数的几十亿个零点。在几个梦里书中的序列，米德与伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）就问题和一般数学。