搜索： 编号：a003558
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A003558号
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| 最小数m>0，使得2^m==+-1（mod 2n+1）。 |
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+0
60
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1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 4, 4, 9, 6, 11, 10, 9, 14, 5, 5, 12, 18, 12, 10, 7, 12, 23, 21, 8, 26, 20, 9, 29, 30, 6, 6, 33, 22, 35, 9, 20, 30, 39, 27, 41, 8, 28, 11, 12, 10, 36, 24, 15, 50, 51, 12, 53, 18, 36, 14, 44, 12, 24, 55, 20, 50, 7, 7, 65, 18, 36, 34, 69, 46
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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2的乘法子序（mod 2n+1）（或sord（2，2n+1））。
在希尔顿/佩德森参考文献中，这称为2模b的准阶，其中b=2*n+1，n>=1。
此外，一副n张牌的所谓“牛奶洗牌”的顺序，它将牌（1,2，…，n）映射到（1，n，2，n-1,3，n-2，…）。见莱维的论文-杰弗里·沙利特2019年6月9日
a（n）可以通过使用x^2-2，种子2*cos（2*Pi/n）的迭代循环长度来确定；如所示A065941号2011年9月6日的评论。logistic方程4x*（1-x）的迭代映射同样是混沌的，具有相同的周期长度，但以sin^2（2*Pi/N），N=2n+1启动轨道[Kappraff&Adamson，2004]。通过将牛顿方法应用于i=sqrt（-1）[Strang，也是Kappraff和Adamson，2003]，可以获得具有相同循环长度的混沌项，从而得到cot（2*Pi/N）轨迹的态射：（x^2-1）/2x。（结束）
使用带种子2*cos（Pi/7）的x^2-2，我们得到了周期三轨道1.8019377…->1.24697…->-0.445041…对于奇素数N，轨道项表示正则恒星2N-gons的对角线长度，边是最短值（在本例中为0.445…）（参见“多边形和混沌”，第9页，图4）我们可以通过用最小值进行划分来规范化这些长度，给出14边的3条对角线：（1,2.801937…，4.048917…）。用奇整数（1，3，5）标记按大小排序的项，我们发现对角线长度与对角线公式（sin（j*Pi）/14）/（sin）（Pi/14））一致，其中j=（1,3,5）。（结束）
有符号第n行的根A054142号多项式相对于运算（-2，x^2）是混沌的，其周期长度为a（n）。示例：从根开始到x^3-5x^2+6x-1=0；（2+2*cos（2*Pi/N）=3.24697…）；我们得到了轨道（3.24697…->1.55495…->0.198062…）；循环长度为3的多项式的根与a（3）=3匹配-加里·亚当森2011年9月21日
以数字1和n开始一个序列。对于下一个数字，将前面的数字往后加，直到总和为偶数。那么新的数字是sum/2。我猜想序列返回到1，n，a（n）是循环长度。
例如：
1,7,4,2,1,7,... 因此a（7）=4。
1,6,3,5,4,2,1,6,... 因此a（6）＝6。（结束）
上述猜想的证明：设n=-1/2；因此2n+1＝0，因此操作是mod（2n+1）执行的。当构件是偶数时，它被2除尽。当它是奇数时，乘以n，有效地除以-2。这都是在新成员m是1的意义上定义得很好。现在看看从奇数成员m开始会发生什么。下一个成员是-m/2。只要有偶数成员，除以2，最后得到奇数-m/（2^k）。现在添加所有以m开头的成员。总和为m/（2^k）。它被2除，所以下一个成员是m/（2^（k+1））。这与定义中的（-m/（2^k））/（-2）相同。
所以实际上从1开始，总是除以2，尽管符号有时会改变。最终再次达到1。链条可以向后移动，然后2^（循环长度）==+-1（mod 2n+1）。
最后，我们处理一个（0）：序列1，0继续为零，从不返回到1。因此，让我们声明周期长度0表示不可用。（结束）
序列中的项可以通过应用加倍序列mod（2n+1）来获得，然后对项进行计数，直到下一个项＝＝+1（mod 2n+1）。示例：给定25，轨迹为（1，2，4，8，16，7，14，3，6，12）。
周期结束，因为下一项为24==-1（mod 25），周期为10。（结束）
Kappraff和Adamson在《多边形与混沌》第13页第7节“混沌与数字”中的猜想：给定N=2n+1的循环长度，相同的循环长度存在于基4、9、16、25。。。，m^2，用于1/N的展开。
示例：7的循环长度是3，同样，基4中的1/7也是：0.021021021……基9中1/7的展开式是0.125125125……检查：前几个项是1/9+2/81+5/729=104/279=0.1426611……（接近1/7=0.142857……）。（结束）
以m^2为基数的1/N规则的一个例外：（当N除以m^2，如以49为基数的1/17，=7/49，有理数）。当循环中的所有项都相同时，恒等式在（一些基数）=.a，a，a，…中减少到1/N。。。。以1/N的最小值“a”为例，以基（N-1）^2=.a，a，a，…为推广1/N。。。对于N奇数：
1/3英寸底座4=.1、1、1。。。
1/5英寸底座16=.3、3、3。。。
1/7英寸底座36=.5、5、5。。。
以64为基数的1/9=.7、7、7。。。
1/11英寸底座100=.9、9、9。。。（检查：前三项为9/100+9/（100^2）+9/“（100^3）=0.090909，其中1/11=0.09090909……）。（结束）
对于N=2n+1，相应条目等于N的多项式次数，如（Lang，表2，第46页）所示。如图所示，x^3-3x-1是N=9的最小多项式，具有根（1.87938…，-1.53208…，0.347296…）；使用x^2-2匹配2*cos（Pi/9）轨迹的（abs）值。因此，a（4）＝3。如果N是素数，表2中所示的多项式与中相同N的多项式相同A065941号如果不同，表2中所示的最小多项式是A065941号. -加里·亚当森2019年10月1日
2*cos（Pi/N）轨迹中的项（根到最小多项式A187360型和（Lang）），通过使用运算L（m）2*cos（x）->2*cos（m*x）从加倍轨迹（mod N）快速获得，其中L（2），二次Lucas多项式(A034807号)是x^2-2。关于七角体，使用种子2*cos（Pi/7），我们得到了轨道1.8019…、1.24697…和0.445041。。。。；以周期3循环。所有这些根都可以从Unity的N个根派生出来，并可以映射到Vesica Piscis上。给定单位根（极1角（k*2*Pi/N），k=1，2。。。，（N-1）/2）Vesica-Piscis通过添加1A（0）或（a+b*I）=（1+0i）将左（L）圆上的这些点映射到（R）圆。但此操作与矢量相加相同，其中合成矢量为1+1A（k*（2*Pi/N））。示例：给定左圆上2*Pi/7处的半径，它映射到右圆上的（1+1A（2*Pi%7））；或1A（2*Pi/7）-->（1.8019377…A（Pi/7。类似地，1+1A（（2）*2*Pi/7））映射到（1.24697…A（2*Pi%7）；和1+1A（3*2*Pi/7）映射到（.0445041…A（3*1I/7）-加里·亚当森2019年10月23日
如果sin（2^m*Pi/N）有负号，那么N是inA014659号; 否则N为inA014657号当N=15时，m为4，sin（16*Pi/15）为-0.207916…如果N为11，m为5，sin（32*Pi/11）为0.2817325。（结束）
在使用x^2-2的迭代映射上，（Devaney，p.126）指出，我们必须找到取2*cos（Pi）->2*cos（2*Pi）的函数。“然而，我们可以写2*cos（2*Pi）=2*（2*cos^2（Pi）-1）=（2*cos（Pi））^2-2。因此，所需的函数是x^2-2。”关于周期3意味着詹姆斯·约克和T.Y.李的混沌定理，1975年证明；德瓦尼（第133页）说明如果F是连续的，并且我们找到一个周期为3的周期，那么对于这个映射，每个可能的周期都有无穷多个其他的周期。检查：7的x^2-2轨道的周期为3，因此该条目具有所有其他周期的周期点-加里·亚当森2023年1月4日
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参考文献
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彼得·希尔顿和让·佩德森，《数学挂毯：展示数学的美丽统一》，剑桥大学出版社，2010年，第261-264页。
Carl Schick，《Trigometrie und unterhaltsame Zahlentheorie》，博科斯·德鲁克，苏黎世，2003年（ISBN 3-9522917-0-6）。
Robert L.Devaney，混沌动力系统、理论与实验第一课程；珀尔修斯出版社，1992年，第121-126页。
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链接
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丹尼尔·加布里奇和杰弗里·沙利特，边框、回文前缀和方形前缀，arXiv:1906.03689[cs.DM]，2019年。
杰伊·卡普拉夫（Jay Kappraff）和加里·亚当森（Gary W.Adamson），多边形和混沌《桥梁：艺术、音乐和科学中的数学联系》，2001年，第67-80页。
奥利维尔·马丁（Olivier Martin）、安德鲁·奥德利斯科（Andrew M.Odlyzko）和斯蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram），元胞自动机的代数性质《数学物理通信》，第93卷，第2期，1984年6月，第219-258页，附录B第C部分sord_N（2）。此外第三作者的副本（和文本).
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配方奶粉
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a（n-1）=卡片{cos（（2^k）*Pi/（2*n-1））：k在n}中表示n>=1（参见A216066型，一个基本相同的序列）-罗曼·维图拉2012年9月1日
a（n）=min{k>0|q_k=q_0}，其中q_0=1，q_k=|2*n+1-2*q_{k-1}|（参见[Schick，第4页]；q_k=1表示n=1；q_k=A010684号（k） 对于n=2；q_k（_k）=A130794号（k） 对于n=3；q_k（_k）=|A154870号（k-1）|对于n=4；问题_k=|A135449号（k） |对于n=5。）-乔纳森·斯科拉2013年6月29日
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例子
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a（3）=3，因为f（x）=x^2-2的周期为3，使用种子2*cos（2*Pi/7），其中7=2*3+1。
a（15）=5，因为使用种子sin^2（2*Pi）/N，逻辑方程4x*（1-x）的迭代映射具有周期5；N=31=2*15+1。
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MAPLE公司
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局部m，mo；
如果n=0，则
返回0；
结束条件：；
对于1 do中的m
mo：=modp（2^m，2*n+1）；
如果mo在{1,2*n}中，那么
返回m；
结束条件：；
结束do:
结束进程：
f： =proc（n）局部t；
t： =数字理论：-mlog（-1，2，n）；
如果t=FAIL，则numtheory:-order（2，n）else t fi
结束进程：
0，seq（f（2*k+1），k=1..1000）#罗伯特·伊斯雷尔2015年10月26日
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数学
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子序[a_，n_]：=如果[n>1&&GCD[a，n]==1，Min[MultiplicativeOrder[a，n，{-1，1}]]，0]；
联接[{1}，表[子顺序[2，2n+1]，{n，100}]](*T.D.诺伊2006年8月2日*）（*修订人文森佐·利班迪，2020年4月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={m=1；while（m，如果（2^m）%（2*n+1）==1||（2^ m）%\\阿尔图·阿尔坎2015年11月6日
（PARI）isok（m，n）=my（md=Mod（2，2*n+1）^m）；（md==1）| |（md==-1）；
（Python）
m、 k=1，2%（c：=（r：=n<<1）+1）
而不是（k==1或k==r）：
k=2*k%c
m+=1
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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