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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A003558号 最小数m>0,使得2^m==+-1(mod 2n+1)。 60

%I#294 2023年10月10日16:42:58

%S 1,1,2,3,3,5,6,4,4,9,6,11,10,9,14,5,5,12,18,12,10,7,12,23,21,8,26,20,

%电话:9,29,30,6,6,33,22,35,9,20,30,39,27,41,8,28,11,12,10,36,24,15,50,51,

%U 12,53,18,36,14,44,12,24,55,20,50,7,7,65,18,36,34,69,46

%N最小数m>0,使得2^m==+-1(mod 2n+1)。

%C 2的乘法子序(mod 2n+1)(或sord(2,2n+1))。

%在希尔顿/佩德森参考文献中,这称为2模b的拟阶,其中b=2*n+1,对于n>=1。

%C有关计算此值的复杂性,请参见A002326。

%C也是一副n张牌的所谓“牛奶洗牌”的顺序,它将牌(1,2,…,n)映射到(1,n,2,n-1,3,n-2,…)。见莱维的论文_杰弗里·沙利特(Jeffrey Shallit),2019年6月9日

%C看起来,在基底n Kaprekar映射的迭代下,对于偶数n>2(基底4、6、8、10中的A165012、A165051、A165090、A151949),几乎所有旋回的长度都是a(n/2-1);在附加约束下证明了循环至少包含一个满足“位数(n-1)-位数0=o(总位数)”的元素_Joseph Myers_,2009年9月5日

%C发件人:Gary W.Adamson_,2011年9月20日:(开始)

%Ca(n)可以通过使用x^2-2,种子2*cos(2*Pi/n)的迭代的循环长度来确定;如2011年9月6日A065941评论所示。logistic方程4x*(1-x)的迭代映射同样是混沌的,具有相同的周期长度,但以sin^2(2*Pi/N),N=2n+1启动轨道[Kappraff&Adamson,2004]。通过将牛顿方法应用于i=sqrt(-1)[Strang,also Kappraff and Adamson,2003],可以获得具有相同循环长度的混沌项,从而导致cot(2*Pi/N)轨迹的态射:(x^2-1)/2x。(结束)

%C来自_加里·W·亚当森,2019年9月11日:(开始)

%C使用带种子2*cos(Pi/7)的x^2-2,我们得到周期三轨道1.8019377…->1.24697…->-0.445041…对于奇素数N,轨道项表示正则恒星2N-gon的对角线长度,边是最短值(在本例中为0.445…)(参见“多边形和混沌”,第9页,图4)我们可以通过用最小值进行划分来规范化这些长度,给出14边的3条对角线:(1,2.801937…,4.048917…)。用奇整数(1,3,5)标记按大小排序的项,我们发现对角线长度与对角线公式(sin(j*Pi)/14)/(sin)(Pi/14))一致,其中j=(1,3,5)。(结束)

%C有符号第n行A054142多项式的根相对于运算(-2,x^2)是混沌的,且循环长度为a(n)。示例:从根开始到x^3-5x^2+6x-1=0;(2+2*cos(2*Pi/N)=3.24697…);我们得到了轨道(3.24697…->1.55495…->0.198062…);循环长度为3的多项式的根匹配a(3)=3.-_Gary W.Adamson,2011年9月21日

%C来自Juhani Heino,2015年10月26日:(开始)

%C从数字1和n开始一个序列。对于下一个数字,将前面的数字往后加,直到和为偶数。那么新的数字是sum/2。我猜想序列返回到1,n,a(n)是循环长度。

%C例如:

%C 1,7,4,2,1,7,。。。因此a(7)=4。

%C 1,6,3,5,4,2,1,6,。。。因此a(6)=6。(结束)

%C来自Juhani Heino,2015年11月6日:(开始)

%C对上述猜想的证明:设n=-1/2;因此2n+1=0,因此操作是mod(2n+1)执行的。当成员为偶数时,它被2整除。当它是奇数时,乘以n,有效地除以-2。这都是在新成员m是1的意义上定义得很好。现在看看从奇数成员m开始会发生什么。下一个成员是-m/2。只要有偶数成员,除以2,最后得到奇数-m/(2^k)。现在添加所有以m开头的成员。总和为m/(2^k)。它除以2,所以下一个成员是m/(2^(k+1))。这与定义中的(-m/(2^k))/(-2)相同。

%所以实际上从1开始,总是除以2,尽管符号有时会改变。最终再次达到1。链条可以向后移动,然后2^(循环长度)==+-1(mod 2n+1)。

%C最后,我们处理一个(0):序列1,0以零继续,并且永远不会返回到1。因此,让我们声明周期长度0表示不可用。(结束)

%C来自_加里·W·亚当森,2019年8月20日:(开始)

%C序列中的项可以通过应用加倍序列mod(2n+1)来获得,然后对这些项进行计数,直到下一项==+1(mod 2n+1)。示例:给定25,轨迹为(1,2,4,8,16,7,14,3,6,12)。

%C循环结束,因为下一项为24==-1(mod 25),周期为10。(结束)

%C发件人:Gary W.Adamson_,2019年9月4日:(开始)

%C《多边形与混沌》第13页第7节“混沌与数字”中Kappraff和Adamson的猜想:给定N=2n+1的循环长度,相同的循环长度出现在基4、9、16、25…中。。。,m^2,用于1/N的展开。

%C示例:7的循环长度为3,同样,基4中的1/7的循环时间为0.021021021……基9中1/7的展开式为0.125125125……检查:前几个项为1/9+2/81+5/729=104/279=0.1426611……(接近1/7=0.142857……)。(结束)

%C来自_加里·W·亚当森,2019年9月24日:(开始)

%C以m^2为基数的1/N规则的一个例外:(当N除以m^2,如以49为基数的1/17,=7/49,有理数)。当循环中的所有项都相同时,恒等式在(一些基数)=.a,a,a,…中减少到1/N。。。。以1/N的最小值“a”为例,以基(N-1)^2=.a,a,a,…为推广1/N。。。对于N奇数:

%基底4中的C 1/3=.1、1、1。。。

%基数16中的C 1/5=.3、3、3。。。

%基底36中的C 1/7=.5、5、5。。。

%以64为基数的C 1/9=.7、7、7。。。

%以100为基数的C 1/11=.9、9、9。。。(检查:前三项为9/100+9/(100^2)+9/“(100^3)=0.090909,其中1/11=0.09090909……)。(结束)

%C对于N=2n+1,相应的条目等于N的多项式次数,如(Lang,表2,第46页)所示。如图所示,x^3-3x-1是N=9的最小多项式,具有根(1.87938…,-1.53208…,0.347296…);使用x^2-2匹配2*cos(Pi/9)轨迹的(abs)值。因此,a(4)=3。如果N是素数,表2中所示的多项式与A065941中相同N的多项式相同。如果不同,表2中所示的最小多项式是A065941中的系数_Gary W.Adamson,2019年10月1日

%C 2*cos(Pi/N)轨迹中的项(A187360和(Lang)中最小多项式的根)通过使用运算L(m)2*cos(x)->2*cos(m*x)从加倍轨迹(mod N)中快速获得,其中L(2),二次Lucas多项式(A034807)为x^2-2。关于七角体,使用种子2*cos(Pi/7),我们得到了轨道1.8019…、1.24697…和0.445041。。。。;以周期3循环。所有这些根都可以从Unity的N个根派生出来,并可以映射到Vesica Piscis上。给定单位根(极1角(k*2*Pi/N),k=1,2。。。,(N-1)/2)Vesica-Piscis通过添加1A(0)或(a+b*I)=(1+0i)将左(L)圆上的这些点映射到(R)圆。但此操作与矢量相加相同,其中合成矢量为1+1A(k*(2*Pi/N))。示例:给定左圆上2*Pi/7处的半径,它映射到右圆上的(1+1A(2*Pi%7));或1A(2*Pi/7)-->(1.8019377…A(Pi/7。类似地,1+1A((2)*2*Pi/7))映射到(1.24697…A(2*Pi%7);和1+1A(3*2*Pi/7)映射到(.0440541…A(3*Pi/7)。-_Gary W.Adamson,2019年10月23日

%C发件人:Gary W.Adamson_,2021年12月1日:(开始)

%C关于分离两组:(A014659项是那些N=(2*N+1)、N除以(2^m-1)和(A014657项是那些除以(2*m+1)的N);似乎以下标准适用:给定IcoS(N,1)(参见Lang link“On the Equivalence…”,第16页,定义20),如果奇数项的数量是奇数,则N属于A014659,否则属于A014657。在IcoS(11,1):(1,2,4,3,5)中,三个奇数项表示11是A014657中的一个项。IcoS(15,1)的轨道(1,2,4,7)有两个奇数项,表示15是A014659中的一个项。

%C如果sin(2^m*Pi/N)有负号,那么N在A014659中;否则N在A014657中。当N=15时,m是4,sin(16*Pi/15)是-0.2079116……如果N是11,m是5,sin是0.2817325。(结束)

%C在使用x^2-2的迭代映射上,(Devaney,p.126)指出,我们必须找到取2*cos(Pi)->2*cos(2*Pi)的函数。“然而,我们可以写2*cos(2*Pi)=2*(2*cos^2(Pi)-1)=(2*cos(Pi))^2-2。因此,所需的函数是x^2-2。”关于周期3意味着詹姆斯·约克和T.Y.李的混沌定理,1975年证明;德瓦尼(第133页)说明如果F是连续的,并且我们找到一个周期为3的周期,那么对于这个映射,每个可能的周期都有无穷多个其他的周期。检查:7的x^2-2轨道的周期为3,因此该条目具有所有其他周期的周期点_Gary W.Adamson,2023年1月4日

%D Peter Hilton和Jean Pedersen,《数学挂毯:展示数学的美丽统一》,剑桥大学出版社,2010年,第261-264页。

%D Carl Schick,《Trigometrie und unterhaltsame Zahlentheorie》,博科斯·德鲁克,苏黎世,2003年(ISBN 3-9522917-0-6)。

%D Robert L.Devaney,混沌动力系统、理论与实验第一课程;珀尔修斯出版社,1992年,第121-126页。

%H T.D.Noe,n表,n=0..1000时的a(n)</a>

%H R.Bekes、J.Pedersen和B.Shao,<a href=“http://web.archive.org/web/1id_/http://math.scu.edu/~jpederse/paperss/No.207partitions.pdf“>疯狂茶党循环分区https://www.jstor.org/stable/10.4169/college.math.j.43.1.025“>Jstor</a>。

%H Daniel Gabric和Jeffrey Shallit,<a href=“https://arxiv.org/abs/1906.03689“>边框、回文首字母和方形首字母</a>,arXiv:1906.03689[cs.DM],2019。

%H P.希尔顿和J.佩德森,<a href=“http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v05n1/hiltonPederson.pm.pdf“>关于因子分解2^k+-1,《数学教育》5(1)(1994)29-31。

%H Jay Kappraff和Gary W.Adamson,<a href=“http://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-67.html“>多边形和混沌,桥梁:艺术、音乐和科学中的数学联系,2001年,第67-80页。

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%H H.J.Smith,<a href=“http://harry-j-smith-memory.com/download.html#XICalc“>XICalc-超精度整数计算器。</a>[断开链接?]

%H Gilbert Strang,<a href=“http://www.math.drexel.edu/~tolya/i-strang.pdf“>混沌搜索i”,《大学数学杂志》22,3-12,(1991)http://www.jstor.org/stable/2686733“>[JSTOR]</a>

%H Eric Weisstein的数学世界,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/MultiplicitationOrder.html“>乘法顺序。

%H Eric Weisstein的数学世界,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SuborderFunction.html“>子订单功能</a>

%F a(n)=log_2(A160657(n)+2)-1.-_纳撒尼尔·约翰斯顿,2009年5月22日

%F a(n-1)=card{cos((2^k)*Pi/(2*n-1)):k in n}for n>=1(更多信息,请参见A216066,一个基本相同的序列)_罗曼·维图拉,2012年9月1日

%F a(n)<=n.-查尔斯·格里特豪斯四世,2012年9月15日[对于n>=1]

%F a(n)=min{k>0|q_k=q_0},其中q_0=1和q_k=|2*n+1-2*q_{k-1}|(参见[Schick,p.4];q_k=1表示n=1;q_ k=A010684(k)表示n=2;对于n=3,q_k=A130794(k);q_k=|A154870(k-1)|对于n=4;q_k=|A135449(k)|表示n=5.)-乔纳森·斯科拉,2013年6月29日

%F 2^(a(n))==A332433(n)(mod(2*n+1)),和(2^_Wolfdieter Lang,2020年4月9日

%e a(3)=3,因为f(x)=x^2-2的周期为3,使用种子2*cos(2*Pi/7),其中7=2*3+1。

%e a(15)=5,因为逻辑方程4x*(1-x)的迭代映射具有周期5,使用种子sin^2(2*Pi)/N;N=31=2*15+1。

%p A003558:=程序(n)

%p局部m,mo;

%p如果n=0,则

%p返回0;

%p结束if;

%p代表从1do到m

%p mo:=modp(2^m,2*n+1);

%p如果mo在{1,2*n}中,则

%p返回m;

%p end if;

%p端do:

%p结束过程:

%p序列(A003558(n),n=0..20);#_R.J.Mathar,2014年12月1日

%p f:=进程(n)局部t;

%p t:=数字理论:-mlog(-1,2,n);

%p如果t=FAIL,则数字理论:-order(2,n)else t fi

%p结束过程:

%p0,序列(f(2*k+1),k=1..1000);#_罗伯特·伊斯雷尔(Robert Israel),2015年10月26日

%t子序[a_,n_]:=如果[n>1&&GCD[a,n]==1,Min[MultiplicativeOrder[a,n,{-1,1}]],0];

%t加入[{1},表[子订单[2,2n+1],{n,100}]](*t.D.Noe_,2006年8月2日*)(*由_Winenzo Librandi_修订,2020年4月11日*)

%o(PARI)a(n)={m=1;而(m,如果(2^m)%(2*n+1)==1||(2^m)%(2%n+1)==2*n,返回值(m));m++)}\\阿尔卡恩,2015年11月6日

%o(PARI)isok(m,n)=my(md=Mod(2,2*n+1)^m);(md==1)| |(md==-1);

%o A003558(n)=我的(m=1);而(!isok(m,n),m++);m、 \\_米歇尔·马库斯,2020年5月6日

%o(Python)

%o定义A003558(n):

%o m,k=1,2%(c:=(r:=n<<1)+1)

%o而不是(k==1或k==r):

%o k=2*k%c

%o m+=1

%o 2023年10月9日返回m#Chai Wah Wu_

%Y参见A054142、A065941、A085478、A160657、A179480、A135303(coach编号)、A216371(一个coach的奇数素数)、A000215(Fermat编号)。

%Y A216066是除了偏移之外基本上相同的序列。

%Y参见A329593、A332433(标志)。

%Y参考A014657、A014659。

%K nonn公司

%0、3

%A·N·J·A·斯隆_

%E更多术语摘自Harry J.Smith,2005年2月11日

%E条目由N.J.A.Sloane修订,2006年8月2日,2017年12月10日

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