搜索： a162327-编号：a162327-
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A161435号
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| Weyl群A_3（或D_3）中长度为n的缩减词的数量。 |
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+10
50
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1, 3, 5, 6, 5, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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a（n）也是截断八面体（晶格a_3*的Voronoi单元）在距给定顶点的边距离n处的顶点数。另请参见中三角形的第4行A008302号-N.J.A.斯隆2015年10月12日，2016年8月26日更正。
如果省略零，这是截断八面体的坐标序列（请参阅Karzes链接）-N.J.A.斯隆2020年1月8日
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参考文献
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N.Bourbaki，Groupes等人。德利，第4、5、6章。（该组在Planche I中定义。）
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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A_m的G.f.是多项式Product_{k=1..m}（1-x^（k+1））/（1-x）。只有有限多个项是非零的。这是一排三角形A008302号.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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数学
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系数列表[级数[（1-x^2）（1-x*3）（1-x ^4）/（1-x）^3，{x，0，20}]，x](*文森佐·利班迪2016年8月23日*）
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,A162208号,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,A162248号,A162288号,A162297号,A162300型,162301年,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,162359英镑,A162360型,A162364号,A162365型,A162366号,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,A162376号,A162377号,A162378号,A162379号,162380英镑,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,162399英镑,A162402号,A162403型,A162411号,A162412号,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,A162461号,A162469号,A162492号; 也A162206号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A162206号
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| 按行读取的三角形，其中第n行（n>=1）给出多项式f（n）*Product_{i=1..n-1}f（2i）展开式中的系数，其中f（k）=（1-x^k）/（1-x）。 |
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+10
50
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1、1、2、1、1、3、5、6、5、3、1、1、4、9、16、23、28、30、28、23、16、9、4、1、1、5、14、30、54、85、120、155、185、205、212、205、185、155、120、85、54、30、14、5、1、6、20、50、104、190、314、478、679、908、1151、1390、1605、1776、1886、1924、1886、1776
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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对于n>=3，该多项式是反射群（或Weyl群，或有限Coxeter群）D_n的Poincaré多项式（或增长级数）。
行最大值~2^（n-1）*n/（sigma*sqrt（3/Pi）），sigma^2=（4*n^3-3*n^2-n）/36=D_n的方差-米哈伊尔·盖琴科夫2023年2月8日
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参考文献
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N.Bourbaki，《群居与群居》，第4、5和6章，赫尔曼，巴黎，1968年。见第六章第4节，问题10a，第231页，W（t）。
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。见第59页的表3.1。
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链接
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马尔瓦·本·阿卜杜勒马库德（Marwa Ben Abdelmaksoud）和阿德尔·哈迪（Adel Hamdi），A型和B型宽k欧拉多项式及其Gamma正性，arXiv:1912.08551[math.CO]，2019年。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 2, 1;
1, 3, 5, 6, 5, 3, 1;
1、4、9、16、23、28、30、28、23、16、9、4、1；
1, 5, 14, 30, 54, 85, 120, 155, 185, 205, 212, 205, 185, 155, 120, 85, 54, 30, 14, 5, 1;
1, 6, 20, 50, 104, 190, 314, 478, 679, 908, 1151, 1390, 1605, 1776, 1886, 1924, 1886, 1776, 1605, 1390, 1151, 908, 679, 478, 314, 190, 104, 50, 20, 6, 1;
1, 7, 27, 77, 181, 371, 686, 1169, 1862, 2800, 4005, 5481, 7210, 9149, 11230, 13363, 15442, 17353, 18983, 20230, 21013, 21280, 21013, 20230, 18983, 17353, 15442, 13363, 11230, 9149, 7210, 5481, 4005, 2800, 1862, 1169, 686, 371, 181, 77, 27, 7, 1;
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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数学
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T[nn_]：=收割[Do[x=y+yO[y]^（n^2）；v=（1-x^n）乘积[1-x^（2k），{k，1，n-1}]/（1-x）^n//系数列表[#，y]&；母猪[v]，{n，nn}]][[2，1]]；
T[n_]：=模[{x}，系数列表[Product[1-x^（2k），{k，1，n-1}]（1-x^n）/（1-x）^n//展开，x]](*迈克尔·索莫斯2021年8月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{行（n）=Vec（prod（k=1，n-1，1-x^（2*k））*（1-x^n）/（1-x）^n）}/*迈克尔·索莫斯2021年8月6日*/
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,A162208号,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,162248英镑,A162288号,A162297号,A162300型,A162301型,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,A162359号,A162360型,A162364号,A162365型,A162366号,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,162376英镑,A162377号,A162378号,A162379号,A162380号,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,A162399号,A162402号,A162403型,A162411号,A162412号,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,162461英镑,A162469号,A162492号.
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 9, 44, 156, 449, 1113, 2463, 4983, 9372, 16587, 27877, 44802, 69231, 103314, 149425, 210075, 287796, 384999, 503812, 645906, 812319, 1003290, 1218116, 1455045, 1711216, 1982655, 2264333, 2550288, 2833809, 3107676, 3364445
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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N.Bourbaki，Groupes等人。德利，第4、5、6章。（该组的定义见Planche IV。）
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1..k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[校正为N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形A162206号.
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MAPLE公司
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A162212g:=进程（m:：整数）
（1-x^m）/（1-x）；
结束进程：
克：=A162212克（k）；
对于从2到2*k-2乘2do的m
g:=g*A162212g（m）；
结束do：
g:=展开（g）；
coefftayl（g，x=0，n）；
结束进程：
f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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数学
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n=9；
x=y+y O[y]^（n^2）；
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,A162208号,A162209号,A162210型,A162211号,2012年12月12日,A162248号,A162288号,A162297号,A162300型,A162301型,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,A162359号,A162360型,A162364号,A162365型,A162366号,A162367号,A162368号,A162369号,162370英镑,A162376号,A162377号,A162378号,A162379号,A162380号,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,A162399号,A162402号,A162403型,A162411号,A162412号,A162413号,A162418号,A162452号,162456英镑,A162461号,A162469号,A162492号; 也A162206号.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 10, 54, 210, 659, 1772, 4235, 9218, 18590, 35178, 63063, 107900, 177243, 280850, 430939, 642364, 932680, 1322068, 1833095, 2490290, 3319525, 4347200, 5599243, 7099950, 8870703, 10928616, 13285169, 15944898, 18904214, 22150426, 25661040, 29403398, 33334708, 37402498
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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N.Bourbaki，《群居与群居》，第4、5和6章，赫尔曼，巴黎，1968年。见第六章第4节，问题10a，第231页，W（t）。
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1..k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[校正为N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形A162206号.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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数学
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x=y+y O[y]^（n^2）；
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,A162208号,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,A162248号,A162288号,A162297号,A162300型,A162301型,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,162347英镑,A162359号,A162360型,A162364号,A162365型,A162366号,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,A162376号,A162377号,A162378号,A162379号,A162380号,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,162392英镑,A162399号,A162402号,A162403型,A162411号,A162412号,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,A162461号,A162469号,A162492号; 也A162206号.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1、11、65、275、934、2706、6941、16159、34749、69927、132991、240900、418187、699193、1130581、1774058、2709201、4036252、5878719、8385597、11733007、16125043、21793619、28997122、38017704、49157086、62730799、79060850
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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N.Bourbaki，《群居与群居》，第4、5和6章，赫尔曼，巴黎，1968年。见第六章第4节，问题10a，第231页，W（t）。
J.E.Humphreys，《反射群和共挤群》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1..k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[校正为N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形A162206号.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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数学
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x=y+y O[y]^（n^2）；
x=。；n=11；系数列表[乘积[1-x^（2k），{k，1，n-1}]（1-x^n）/（1-x）^n//展开，x](*迈克尔·索莫斯2021年8月6日*）
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,2008年12月1日,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,A162248号,1968年12月,A162297号,A162300型,A162301型,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,A162359号,A162360型,A162364号,A162365型,162366英镑,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,A162376号,162377英镑,A162378号,A162379号,A162380号,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,A162399号,A162402号,A162403型,A162411号,2012年12月,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,A162461号,162469英镑,A162492号; 也A162206号.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 12, 77, 352, 1286, 3992, 10933, 27092, 61841, 131768, 264759, 505660, 923857, 1623104, 2753895, 4528612, 7239585, 11280072, 17168009, 25572196, 37340381, 53528488, 75430016, 104604424, 142903123, 192491532, 255865533, 335860592
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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N.Bourbaki，《群居与群居》，第4、5和6章，赫尔曼，巴黎，1968年。见第六章第4节，问题10a，第231页，W（t）。
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1..k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[校正为N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形A162206号.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
结束进程；
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数学
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n=12；
x=y+y O[y]^（n^2）；
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,A162208号,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,A162248号,A162288号,A162297号,A162300型,162301年,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,162359英镑,A162360型,A162364号,A162365型,A162366号,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,A162376号,A162377号,A162378号,A162379号,162380英镑,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,162399英镑,A162402号,A162403型,A162411号,A162412号,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,A162461号,A162469号,A162492号; 也A162206号.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 13, 90, 442, 1728, 5720, 16653, 43745, 105586, 237354, 502113, 1007773, 1931631, 3554746, 6308706, 10837593, 18078112, 29360890, 46535840, 72124195, 109499325, 163097740, 238660747, 343506072, 486827392, 680018170, 937014482, 1274649714
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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N.Bourbaki，Groupes等人。德利，第4、5、6章。（该组的定义见Planche IV。）
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1.k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[由N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形A162206号.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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数学
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n=13；
x=y+y O[y]^（n^2）；
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,2008年12月1日,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,A162248号,1968年12月,A162297号,A162300型,A162301型,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,A162359号,A162360型,A162364号,A162365型,162366英镑,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,A162376号,162377英镑,A162378号,A162379号,A162380号,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,A162399号,A162402号,A162403型,A162411号,2012年12月,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,A162461号,162469英镑,A162492号; 也A162206号.
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 14, 104, 546, 2274, 7994, 24647, 68392, 173978, 411332, 913445, 1921218, 3852849, 7407596, 13716314, 24553984, 42632448, 71994624, 118534456, 190669584, 300196001, 463355582, 702148097, 1045918928, 1533251980
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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N.Bourbaki，Groupes等人。德利，第4、5、6章。（该组的定义见Planche IV。）
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1..k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[校正为N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形A162206号.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
结束进程；
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数学
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n=14；
x=y+y O[y]^（n^2）；
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,A162208号,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,A162248号,A162288号,A162297号,A162300型,A162301型,A162321型,A162327号,162328英镑,A162346号,A162347号,A162359号,A162360型,A162364号,A162365型,A162366号,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,A162376号,A162377号,A162378号,A162379号,A162380号,A162381号,A162384号,162388英镑,A162389号,A162392号,A162399号,A162402号,A162403型,A162411号,A162412号,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,A162461号,A162469号,A162492号; 也A162206号.
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关键词
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经核准的
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1、151119、665、2939、10933、35580、103972、277950、689282、1602727、3523945、7376794、14784390、28500705、53054702、95687240、167682306、286218490、476893794、777106448、1240505775、1942759458、2988915740、4522669833
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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N.Bourbaki，Groupes等人。德利，第4、5、6章。（该组在Planche IV中进行了定义。）
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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链接
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1..k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[校正为N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形2006年12月1日.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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数学
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n=15；
x=y+y O[y]^（n^2）；
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交叉参考
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组D_n，n=3，…，的增长级数，。。。，50:A161435号,A162207号,A162208号,A162209号,1962年2月10日,A162211号,A162212号,A162248号,A162288号,A162297号,162300澳元,A162301型,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,A162359号,A162360型,A162364号,A162365型,A162366号,A162367号,162368英镑,A162369号,A162370型,A162376号,A162377号,A162378号,162379英镑,A162380号,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,A162399号,A162402号,A162403型,A162411号,A162412号,A162413号,162418英镑,A162452号,A162456号,A162461号,A162469号,A162492号; 也2006年12月1日.
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非n
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作者
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经核准的
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1, 17, 152, 952, 4691, 19363, 69615, 223839, 656013, 1777469, 4501652, 10749780, 24374702, 52784014, 109694031, 219658751, 425310726, 798645125, 1458198664, 2594648817, 4508215686, 7662320971, 12759278753, 20845394645, 33454765680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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N.Bourbaki，Groupes等人。德利，第4、5、6章。（该组的定义见Planche IV。）
J.E.Humphreys，《反思小组和考克塞特小组》，剑桥，1990年。参见庞加莱多项式。
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配方奶粉
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D_k的增长级数是多项式f（k）*Prod_{i=1..k-1}f（2*i），其中f（m）=（1-x^m）/（1-x）[校正为N.J.A.斯隆2021年8月7日]。这是一排三角形A162206号.
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MAPLE公司
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f:=过程（m:：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：
g:=proc（k，M）局部a，i；全局f；
a： =f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；
系列列表（系列（a，x，M+1））；
终末程序；
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交叉参考
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群D_n，n=3，…，的生长级数，。。。，50:A161435美元,A162207号,A162208号,A162209号,A162210型,A162211号,A162212号,A162248号,A162288号,A162297号,A162300型,A162301型,A162321型,A162327号,A162328号,A162346号,A162347号,A162359号,A162360型,162364英镑,A162365型,A162366号,A162367号,A162368号,A162369号,A162370型,A162376号,A162377号,A162378号,A162379号,A162380号,A162381号,A162384号,A162388号,A162389号,A162392号,A162399号,A162402号,162403英镑,A162411号,A162412号,A162413号,A162418号,A162452号,A162456号,A162461号,A162469号,A162492号; 也A162206号.
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