%I#75 2024年2月21日11:22:46

%S 1,1,2,1,1,3,5,6,5,3,1,1,4,9,16,23,28,30,28,23,16,9,4,11,5,14,30,54，

%电话85120155185205212205185155120,85,54,30,14,5,1,6,20,50104，

%电话：19031447867990811511390160517761886192418861776

%N行读取的三角形，其中第N行（N>=1）给出多项式f（N）*Product_{i=1..N-1}f（2i）展开式中的系数，其中f（k）=（1-x^k）/（1-x）。

%C对于n>=3，该多项式是反射群（或Weyl群，或有限Coxeter群）D_n的Poincaré多项式（或增长级数）。

%C行长度为1、3、7、13、21、31、43、57…：参见A002061。-_米歇尔·马库斯，2013年5月17日

%C反射群D_n的最大元素的渐近增长约为2（n-1/2）（与A000140相比）_米哈伊尔·盖琴科夫（Mikhail Gaichenkov），2019年8月21日

%C行最大值~2^（n-1）*n/（sigma*sqrt（3/Pi）），sigma^2=（4*n^3-3*n^2-n）/36=D_n.-Mikhail Gaichenkov的方差，2023年2月8日

%D N.Bourbaki，《群居与群居》，第4、5和6章，赫尔曼，巴黎，1968年。见第六章第4节，问题10a，第231页，W（t）。

%D J.E.Humphreys，《反射群和考克斯特群》，剑桥，1990年。见第59页的表3.1。

%H Jean-François Alcover，n表，n=1..9020[30行]</a>

%H Marwa Ben Abdelmaksoud和Adel Hamdi，<a href=“https://arxiv.org/abs/1912.08551“>A型和B型的width-k欧拉多项式及其Gamma-正性，arXiv:1912.08551[math.CO]，2019。

%H M.Gaichenkov，<a href=“https://mathoverflow.net/questions/336756/the-growth-of-mamaximum-elements-for-the-reflection-group-d-n“>反射组$D_n$</a>最大元素的增长，MathOverflow，2019。

%H Thomas Kahle和Christian Stump，<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.01389“>计算有限Coxeter群中随机元素的反转和下降</a>，arXiv:1802.01389[math.CO]，2018-2019。

%H M.Rubey，<a href=“http://www.findstat.org/StatisticsDatabase/St001443“>St001443：有限Cartan类型⟶ ℤ</a> ，统计数据库，2019年。

%H<a href=“/index/Gre#GROWTH”>组增长系列的索引条目</a>

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1、2、1；

%e 1、3、5、6、5、3、1；

%e 1、4、9、16、23、28、30、28、23、16、9、4、1；

%e第1、5、14、30、54、85、120、155、185、205、212、205185、155120、85、54、30、14、5、1条；

%e 1、6、20、50、104、190、314、478、679、908、1151、1390、1605、1776、1886、1924、1886，1776、1605，1390，1151，908，679，478，314、190，104，50，20，6，1；

%e 1、7、27、77、181、371、686、1169、1862、2800、4005、5481、7210、9149、11230、13363、15442、17353、18983、20230、21013、21280、21013，20230、18983，17353、15442，13363，11230，9149，7210，5481，4005，2800，1862，1169，686，371，181，77，27，7，1；

%p#D_k的增长级数，截断为M.-N.J.A.Sloane_顺序，2021年8月7日

%p f：=过程（m：：整数）（1-x^m）/（1-x）；结束进程：

%p g：=proc（k，M）局部a，i；全局f；

%pa:=f（k）*mul（f（2*i），i=1..k-1）；

%p系列列表（系列（a，x，M+1））；

%p端程序；

%t t[nn_]：=收割[Do[x=y+y O[y]^（n^2）；v=（1-x^n）乘积[1-x^（2k），{k，1，n-1}]/（1-x）^n//系数列表[#，y]&；母猪[v]，{n，nn}]][[2，1]]；

%t t[6]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2020年3月25日，PARI之后*）

%t t[n_]：=模块[｛x｝，系数列表[产品[1-x^（2k），｛k，1，n-1｝]（1-x^n）/（1-x）^n//扩展，x]]（*_Michael Somos，2021年8月6日*）

%o（PARI）{行（n）=Vec（prod（k=1，n-1，1-x^（2*k））*（1-x^n）/（1-x）^n）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2021年8月6日*/

%群D_n，n=3，…，的Y增长级数，。。。，50:A161435、A162207、A162208、A1622029、A162210、A162211、A162 212、A16 2248、A162288、A162297、A162 300、A162301、A1162321、A162327、A16 2328、A162 346、A162347、A1162359、A162 360、A162364、A162365、A162/366、A162 367、A1六十二368、A16、A16 2370、A162376、A1162377、A162/378、A116237、A162380、A16381、A162381 62384、A162388、A16238、A162392、A16239、A162402、，A162403、A162411、A162421、A1162413、A162 418、A162452、A16245、A162461、A162 469、A162 492。

%Y参考A002061（行长）、A002866（行和）、A333508（中心系数）。

%K nonn，标签

%氧1,3

%约翰·坎农（A John Cannon）和斯隆（_N.J.A.Sloane），2009年11月30日

%E修订人：N.J.A.Sloane，2016年1月10日