A174266-OEIS公司

A174266号

行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（3*n+1，i）*二项法（k+3-i，3）^n，0<=k<=3*（n-1）。

1, 1, 9, 9, 1, 1, 54, 405, 760, 405, 54, 1, 1, 243, 6750, 49682, 128124, 128124, 49682, 6750, 243, 1, 1, 1008, 83736, 1722320, 12750255, 40241088, 58571184, 40241088, 12750255, 1722320, 83736, 1008, 1, 1, 4077, 922347, 45699447, 789300477, 5904797049, 21475242671, 40396577931, 40396577931, 21475242671, 5904797049, 789300477, 45699447, 922347, 4077,1

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,3

发件人亚希亚·卡卢恩2014年1月30日：（开始）

一般来说，设b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。

利用这些系数，我们可以计算：和{i=1..n}二项式（i+e-1，e）^p=和{i=0..e*（p-1）}b（i，e，p）*二项式。

例如，A086020号（n） =和{i=1..n}二项式（2+i，3）^2=T（2,0）*二项式。（结束）

T（n，k）是1…n的3个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素。 -安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日

链接

安德鲁·霍罗伊德，n=1..1335时的n，a（n）表

刘飞虎、辛国策、张晨，阶多项式的埃尔哈特多项式：OEIS上组合序列的解释，arXiv:2412.18744【math.CO】，2024年。见第12页。

配方奶粉

T（n，k）=[x^k]（1-x）^（3*n+1）*（和{k>=0}（k*（k+1）*。

T（n，k）=T（n、3*n-k）。

发件人亚希亚·卡卢恩2014年1月30日：（开始）

和{i=1..n}二项式（2+i，3）^p=和{i=0..3*p-3}T（p，i）*二项式。

二项式（n，3）^p=Sum_{i=0..3*p-3}T（p，i）*binominal（n+i，3*p）。（结束）

发件人Sergii Voloshyn公司，2024年12月18日：（开始）

设E是算子（x^2）D*（1/x）*D*（x^ 2）*D，其中D表示导数算子D/dx。则（1/6^n）*E^n（x^2/（1-x）^4）=（第n行生成多项式）/（1-x。

例如，当n=3时，我们有1/216*E^3（x^2/（1-x）^4）=x^2（1+243x+6750x^2+49682x^3+128124x^4+128124x^5+49682x ^6+6750 x^7+243x^8+x^9）/（1-x）^13。（结束）

例子

三角形开始：

1, 9, 9, 1;

1, 54, 405, 760, 405, 54, 1;

1, 243, 6750, 49682, 128124, 128124, 49682, ... ;

1, 1008, 83736, 1722320, 12750255, 40241088, 58571184, ... ;

1, 4077, 922347, 45699447, 789300477, ... ;

1, 16362, 9639783, 1063783164, 38464072830, ... ;

1, 65511, 98361900, 23119658500, 1641724670475, ... ;

1, 262116, 992660346, 484099087156, 64856779908606, ... ;

...

111222的T（2,1）=9个排列有1个世系：112221、112212、112122、122211、122112、121122、222111、221112、211122。 -安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日

数学

（*第一个程序*）

p[n_，x_]：=p[n，x]=（1-x）^（3*n+1）*Sum[（二项式[k+1，3]）^n*x^k，{k，0，无穷}]/x^2；

表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，10}]//展平（*由修正G.C.格鲁贝尔2022年3月26日*）

（*第二个节目*）

T[n_，k_]：=T[n，k]=和[（-1）^（k-j+1）*二项式[3*n+1，k-j+1]*（j*（j^2-1）/2）^n，{j，0，k+1}]/（3^n）；

表[T[n，k]，{n，10}，{k，3*n-2}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2022年3月26日*）

黄体脂酮素

（PARI）T（n，k）={sum（i=0，k，（-1）^i*二项式（3*n+1，i）*二项式（k+3-i，3）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日

（鼠尾草）

@缓存函数

定义T（n，k）：返回（1/3^n）*总和（（-1）^（k-j+1）*二项式（3*n+1，k-j+1

压扁（[[T（n，k）代表k in（1..3*n-2）]代表n in（1..10）]）#G.C.格鲁贝尔2022年3月26日

交叉参考

列k=0..9为A000012号,A289254型,A151632号,A151633号,A151634号,A151635号,A151636号,A151637号,A151638号,A151639号.

行总和为A014606号.

e=1..6的类似三角形：A173018型（或A008292号),A154283号，这个序列，236463元,A237202型,A237252型.

囊性纤维变性。A060187号,A174264号.

上下文中的序列：A197350型 A197364号 A338217*A351722型 A334425飞机 A280554型

相邻序列：A174263号 A174264号 A174265号*A174267号 A174268号 A174269号

关键词

非n,标签

作者

罗杰·巴古拉2010年3月14日

扩展

编辑人安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日

状态

经核准的