%I#33 2022年3月27日03:47:33

%S 1,1,9,9,1,1,54405760405,54,124367504968212812412449682，

%电话6750243，11008837361722320127502554024108858571184021088，

%U 127502551722320837361008,1407792234745699447789300477590479704921475242671403965779314036577931214752426715904797049789300477456994479223474077,1

%N按行读取的不规则三角形：T（N，k）=Sum_{i=0..k}（-1）^i*二项式（3*N+1，i）*二项式（k+3-i，3）^N，0<=k<=3*（N-1）。

%C发件人：Yahia Kahloune_，2014年1月30日：（开始）

%一般来说，设b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。然后T（n，k）=b（k、3、n）。

%利用这些系数，我们可以计算：和{i=1..n}二项式（i+e-1，e）^p=和{i=0..e*（p-1）}b（i，e，p）*二项式。

%C例如，A086020（n）=和{i=1..n}二项式（2+i，3）^2=T（2,0）*二项式*n）。

%C（结束）

%C T（n，k）是1。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素_安德鲁·霍罗伊，2020年5月6日

%H Andrew Howroyd，n表，n=1..1335的a（n）</a>

%F T（n，k）=[x^k]（1-x）^（3*n+1）*（和{k>=0}（k*（k+1）*。

%F（n，k）=T（n，3*n-k）。

%F From _Yahia Kahloune_，2014年1月30日：（开始）

%F和{i=1..n}二项式（2+i，3）^p=和{i=0..3*p-3}T（p，i）*二项式。

%F二项式（n，3）^p=Sum_{i=0..3*p-3}T（p，i）*binominal（n+i，3*p）。（结束）

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1、9、9、1；

%e 1、54、405、760、405和54、1；

%e 1、243、6750、49682、128124、128、124、49、682；

%电子邮箱：11008、83736、1722320、12750255、40241088、58571184；

%电子邮箱：14077、922347、45699447、789300477；

%电子邮箱：16362、9639783、1063783164、38464072830；

%e 165511、98361900、23119658500、1641724670475；

%电子邮箱：1，262116，992660346，484099087156，64856779908606；

%e。。。

%e具有1个下降的111222的T（2,1）=9个排列是：112221、112212、112122、122211、122112、121122、222111、221112、211122_安德鲁·霍罗伊，2020年5月7日

%t（*第一个程序*）

%tp[n_，x_]：=p[n，x]=（1-x）^（3*n+1）*Sum[（二项式[k+1，3]）^n*x^k，{k，0，无穷}]/x^2；

%t表[系数表[p[x，n]，x]，{n，10}]//压扁（*由G.C.Greubel_修正，2022年3月26日*）

%t（*第二个程序*）

%tT[n_，k_]：=t[n，k]=和[（-1）^（k-j+1）*二项式[3*n+1，k-j+1]*（j*（j^2-1）/2）^n，{j，0，k+1}]/（3^n）]；

%t表[t[n，k]，{n，10}，{k，3*n-2}]//扁平（*_G.C.格鲁贝尔，2022年3月26日*）

%o（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项（3*n+1，i）*二项

%o（鼠尾草）

%o@CachedFunction

%o定义T（n，k）：返回（1/3^n）*总和（（-1）^（k-j+1）*二项式（3*n+1，k-j+1

%o压扁（[[T（n，k）for k in（1..3*n-2）]for n in（1..10）]）#_G.C.Greubel_，2022年3月26日

%Y列k=0..9为A000012、A289254、A151632、A15163/3、A1511634、A1512635、A151neneneej、A15163、A15167、A151628和A151639。

%Y行总和为A014606。

%Y e=1..6:A173018（或A008292），A152483，此序列，A236463，A237202，A237252的类似三角形。

%Y参考A060187、A174264。

%K nonn，标签

%氧1,3

%A _Roger L.Bagula，2010年3月14日

%E编辑：Andrew Howroyd_，2020年5月6日