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A005172号 n个集合的子集的标记根树的数目。
(原名M3648)
+0
10
1, 4, 32, 416, 7552, 176128, 5018624, 168968192, 6563282944, 288909131776, 14212910809088, 772776684683264, 46017323176296448, 2978458881388183552, 208198894960190160896, 15631251601179130462208, 1254492810303112820555776, 107174403941451434687463424, 9711022458989438255300083712 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
每个节点都是标记集{1,…,n}的子集。如果子集节点为空,则它必须至少有两个子节点。
约翰·莱曼观察到这是A005264号.
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,剑桥,第2卷,1999年;参见问题5.26。
链接
T.D.Noe和Vaclav Kotesovic,n=1时的n,a(n)表。.240(T.D.Noe的条款1..30)
F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷,J.-C.Raoult编辑,施普林格1992年,第24-48页。
F.Chapoton、F.Hivert和J.-C.Novelli,形式分数和树状子运算的集合运算,arXiv预印本arXiv:1307.0092[math.CO],2013。
D.多米尼克,嵌套导数:计算反函数级数展开的一种简单方法,arXiv:math/0501052[math.CA],2005年。
L.R.Foulds和R.W.Robinson,确定系统发育树的渐近数目《组合数学VII》(纽卡斯尔,1979年8月)第110-126页,R.W.Robinson、G.W.Southern和W.D.Wallis编辑。莱克特。数学笔记。,829.施普林格,1980年。
L.R.Foulds和R.W.Robinson,确定系统发育树的渐近数目,数学课堂笔记。,829 (1980), 110-126. (带注释的扫描副本)
J.P.Hayes,无扇出布尔函数的枚举J.ACM,23(1976),700-709。
F.R.McMorris和T.Zaslavsky,分支系统字符数,数学。《生物科学》,54(1981),3-10。
F.R.McMorris和T.Zaslavsky,分支系统字符数,数学。《生物科学》,54(1981),3-10。[带注释的扫描副本]
伊斯特万·梅佐(István Mezo)、维克托·莫尔(Victor H.Moll)、何塞·拉米雷斯(JoséL.Ramírez)和迭戈·维拉米扎(Diego Villamizar),关于B型r-降阶,arXiv:2103.04151[math.CO],2021。
配方奶粉
例如:-1/2-LambertW(-exp(-1/2+x)/2)。
例如:A(x)=1+积分A(x-保罗·D·汉纳2008年9月6日
发件人彼得·巴拉2011年9月6日:(开始)
生成函数A(x)=x+4*x^2+32*x^3/3!+。。。满足A(0)=0的自治微分方程A'(x)=(1+2*A)/(1-2*A)。因此,反函数A^-1(x)=积分{t=0..x}(1-2*t)/(1+2*t)dt=log(1+2*x)-x。
A(x)的展开式可以通过使用[Dominici,定理4.1]的方法将上述积分求反得到在x=0时计算的结果A(n)=D^(n-1)(1),其中D表示算子g(x)->D/dx((1+2*x)/(1-2*x)*g(x))。与进行比较A032188号.
将[Bergeron等人,定理1]应用于结果x=Integral_{t=0..A(x)}1/phi(t)dt,其中phi(t)=(1+2*t)/(1-2*t)=1+4*t+8*t^2+16*t^3+32*t^4+。。。对这个序列的组合解释如下:a(n)给出了n个顶点上的平面递增树的数目,其中每个超度数k>=1的顶点可以用2^(k+1)的方式着色。下面给出了一个示例。(结束)
a(n)=和{k=1..n-1}(n+k-1)*求和{j=1..k}(-1)^j/(k-j)*求和{i=0..j}(-1)^i*2^(n-i+j-1)*Stirling1(n-i+j-1,j-i)/((n-i+/j-1)*i!),n> 1,a(1)=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月30日
设p(n,w)=w*Sum_{k=0..n-1}((-1)^k*E2(n-1,k)*w^k)/(1+w)^(2*n-1),E2是由Knuth定义的二阶欧拉数,然后a(n)=-p(n,-1/2)-彼得·卢什尼2012年11月10日
a(n)~(2/(2*log(2)-1))^(n-1/2)*n(n-1)/exp(n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月5日
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1-2*(k+1)*x-2*x*(k+1)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日
a(n)=2*a(n-1)+和{j=1..n-1}二项式(n,j)*a(j)*a(n-j)对于n>1,a(1)=1-彼得·卢什尼,2017年5月24日
a(1)=1;a(n)=n!*[x^n]exp(x+Sum_{k=1..n-1}a(k)*x^k/k!)-伊利亚·古特科夫斯基2017年10月18日
例子
x+4*x^2+32*x^3+416*x^4+7552*x^5+176128*x^6+5018624*x^7+。。。
D^3(1)=32*(12*x^2+28*x+13)/(2*x-1)^6。在x=0时计算得出a(4)=416。
发件人彼得·巴拉2011年9月6日:(开始)
a(3)=32:3个顶点上的32个递增平面树,其阶数为k的顶点为2^(k+1)色
.
1(x4色)1(x8色)1
| / \ / \
2(x4色)2 3 3 2
|
3
.
总计:16+8+8=32。(结束)
MAPLE公司
with(组合);A005172号:=n->加(欧拉2(n-1,k)*2^(2*n-k-2),k=0..n-1):序列(A005172号(n) ,n=1..16)#彼得·卢什尼2012年11月10日
A005172号_列表:=proc(len)局部A,n;A[1]:=1;n从2到len do
A[n]:=2*A[n-1]+加法(二项式(n,j)*A[j]*A[n-j],j=1..n-1)od:
转换(A,列表)结束:A005172号_列表(19)#彼得·卢什尼2017年5月24日
数学
最大值=16;g[x_]:=-1/2-产品日志[-E^(-1/2+x)/2];拖放[CoefficientList[Series[g[x],{x,0,max}],x]*范围[0,max]!,1](*Jean-François Alcover公司,2011年11月17日,第一次之后,例如f.*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!系列系数[-1/2-产品日志[-Exp[-1/2+z]/2],{z,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2012年6月7日*)
a[1]=1;a[n]:=(总和[(n+k-1)!*总和[(-1)^j/(k-j)*i!),{i,0,j}],{j,1,k}],{k,1,n-1}]);
数组[a,20](*Jean-François Alcover公司2018年6月24日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
Eulerian2[n_,k_]:=欧拉2[n,k]=如果[k==0,1,如果[k==n,0,Eulerian 2[n-1,k](k+1)+欧拉2[n-1,k-1](2n-k-1)]];A005172号[n]:=和[Eulerian2[n-1,k]2^(2n-k-2),{k,0,n-1}];表[A005172号[n] ,{n,19}](*彼得·卢什尼,2018年6月24日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=0,n,a=1+整数形式(a*(1+a+x*O(x^n))^2);n!*polceoff(a,n)}\\保罗·D·汉纳2008年9月6日
(最大值)a(n):=如果n=1,则1其他(总和((n+k-1)*总和((-1)^j/(k-j)*sum((-1)^i*2^(n-i+j-1)*stirling1(n-i+j-1,j-i)/((n-i+j-1)*i!),i、 0,j),j,1,k),k,1,n-1))/*弗拉基米尔·克鲁奇宁,2012年1月30日*/
(鼠尾草)
@缓存函数
定义eulerian2(n,k):
如果k==0:返回1
elif k==n:返回0
返回eulerian2(n-1,k)*(k+1)+eulerian(n-1、k-1)*(2*n-k-1)
A005172号=λn:加(eulerian2(n-1,k)*2^(2*n-k-2)for k in(0..n-1))
[A005172号(n) 对于(1..16)中的n#彼得·卢什尼2012年11月10日
(PARI)N=66;x='x+O('x^N);
Q(k)=如果(k>N,1,1-2*(k+1)*x-2*x*(k+1/Q(k+1;
gf=1/Q(0);Vec(玻璃纤维)\\乔格·阿恩特2013年5月1日
交叉参考
囊性纤维变性。A005640号A032188号.
请参见A225170型用于其他版本。
关键词
非n美好的容易的
作者
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已批准
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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日07:27。包含371265个序列。(在oeis4上运行。)