%I M3648#107 2022年5月30日12:28:36

%S 1,4,32416755217612850186241689681926563282944288909131776，

%电话：1421291080908877277668468326446017323176296448297845881388183552，

%电话：20819889496019016089615631251611791304622081254492810311282055577610717440394145143468746342497110224589438255300083712

%N一个N集的子集的标记根树的数目。

%每个节点都是标记集{1，…，n}的子集。如果子集节点为空，则它必须至少有两个子节点。

%C_John W.Layman观察到这是A005264的斯特林变换。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.26。

%H T.D.Noe和Vaclav Kotesovec，n表，n=1..240的a（n）

%H F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/BeFlSa92.pdf“>增加树木的种类，《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，Springer 1992年，第24-48页。

%H F.Chapoton、F.Hivert和J.-C.Novelli，<a href=“http://arxiv.org/abs/1307.0092“>形式分数和树状子操作数的集合运算</A>，arXiv预印本arXiv:1307.0092[math.CO]，2013。

%H D.Dominici，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/0501052“>嵌套导数：计算反函数级数展开式的简单方法，arXiv:math/0501052[math.CA]，2005。

%H L.R.Foulds和R.W.Robinson，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BFb0088905“>《确定系统发育树的渐近数》，《组合数学VII》（纽卡斯尔，1979年8月）第110-126页，R.W.Robinson、G.W.Southern和W.D.Wallis.Lect.Notes in Math.，829。斯普林格，1980年。

%H L.R.Foulds和R.W.Robinson，确定系统发育树的渐近数。，829 (1980), 110-126. （带注释的扫描副本）

%H J.P.Hayes，<a href=“http://dx.doi.org/10.1145/321978.321988“>无扇出布尔函数枚举，J.ACM，23（1976），700-709。

%H F.R.McMorris和T.Zaslavsky，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0025-5564（81）90071-7“>分支系统特征的数量</a>，《数学生物科学》，54（1981），3-10。

%H F.R.McMorris和T.Zaslavsky，<a href=“/A005172/A005172.pdf”>分支特征的数量</a>，数学。《生物科学》，54（1981），3-10。[带注释的扫描副本]

%H István Mezo、Victor H.Moll、JoséL.Ramírez和Diego Villamizar，<a href=“https://arxiv.org/abs/20103.04151“>关于B型的r-Derangements，arXiv:2103.04151[math.CO]，2021。

%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>

%F E.g.F.：-1/2-朗伯W（-exp（-1/2+x）/2）。

%F例如：A（x）=1+积分A（x_Paul D.Hanna，2008年9月6日

%F From _Peter Bala，2011年9月6日：（开始）

%生成函数A（x）=x+4*x^2/2+32*x^3/3！+。。。满足A（0）=0的自治微分方程A'（x）=（1+2*A）/（1-2*A）。因此，反函数A^-1（x）=积分{t=0..x}（1-2*t）/（1+2*t）dt=log（1+2*x）-x。

%F通过使用[Dominici，定理4.1]的方法将上述积分求反，可以得到在x=0时计算的结果A（n）=D^（n-1）（1），其中D表示算子g（x）->D/dx（（1+2*x）/（1-2*x）*g（x。与A032188进行比较。

%F将[Bergeron等人，定理1]应用于结果x=Integral_{t=0..A（x）}1/phi（t）dt，其中phi（t）=（1+2*t）/（1-2*t）=1+4*t+8*t^2+16*t^3+32*t^4+。。。对这个序列的组合解释如下：a（n）给出了n个顶点上的平面递增树的数目，其中每个超度数k>=1的顶点可以用2^（k+1）的方式着色。下面给出了一个示例。（结束）

%F a（n）=和{k=1..n-1}（n+k-1）*求和{j=1..k}（-1）^j/（k-j）*求和{i=0..j}（-1）^i*2^（n-i+j-1）*Stirling1（n-i+j-1，j-i）/（（n-i+/j-1）*i！），n> 1，a（1）=1.-_Vladimir Kruchinin，2012年1月30日

%设p（n，w）=w*Sum_{k=0..n-1}（（-1）^k*E2（n-1，k）*w^k）/（1+w）^（2*n-1），E2是由Knuth定义的二阶欧拉数，然后a（n）=-p（n，-1/2）_Peter Luschny_，2012年11月10日

%F a（n）~（2/（2*log（2）-1））^（n-1/2）*n^（n-1）/exp（n）.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年1月5日

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*（k+1）*x-2*x*（k/1）/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月1日

%F a（n）=2*a（n-1）+和{j=1..n-1}二项式（n，j）*a（j）*a（n-j）对于n>1，a（1）=1.-_Peter Luschny_，2017年5月24日

%F a（1）=1；a（n）=n！*[x^n]经验（x+Sum_{k=1..n-1}a（k）*x^k/k！）。-_伊利亚·古特科夫斯基，2017年10月18日

%电子邮箱+4*x^2+32*x^3+416*x^4+7552*x^5+176128*x^6+5018624*x^7+。。。

%e D^3（1）=32*（12*x^2+28*x+13）/（2*x-1）^6。在x=0时计算得出a（4）=416。

%e发件人_Peter Bala_，2011年9月6日：（开始）

%e a（3）=32:3个顶点上的32个递增平面树，其超度数k的顶点以2^（k+1）颜色出现，如下所示

%e、。

%e 1（x4色）1（x8色）1（x8色）

%e |/\/\

%e 2（x4色）2 3 3 2

%电子|

%e三

%e、。

%e总计：16+8+8=32。（结束）

%p与（组合）；A005172:=n->添加（欧拉2（n-1，k）*2^（2*n-k-2），k=0..n-1）：序列（A005172（n），n=1..16）；#_Peter Luschny_，2012年11月10日

%p A005172_list:=进程（len）局部A，n；A[1]：=1；n从2到len do

%pA[n]：=2*A[n-1]+加法（二项式（n，j）*A[j]*A[n-j]，j=1..n-1）od：

%p转换（A，列表）结束：A005172_list（19）；#_Peter Luschny_，2017年5月24日

%t最大值=16；g[x_]：=-1/2-产品日志[-E^（-1/2+x）/2]；拖放[CoefficientList[Series[g[x]，{x，0，max}]，x]*范围[0，max]！，1] （*_Jean-François Alcover，2011年11月17日，在第一个示例f.*之后）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[-1/2-产品日志[-Exp[-1/2+z]/2]，{z，0，n}]]（*_Michael Somos_，2012年6月7日*）

%ta[1]=1；a[n]：=（总和[（n+k-1）！*总和[（-1）^j/（k-j）*i！），{i，0，j}]，{j，1，k}]，{k，1，n-1}]）；

%t数组[a，20]（*Jean-François Alcover_，2018年6月24日，继_Vladimir Kruchinin_*之后）

%t Eulerian2[n_，k_]：=Eulerian 2[n，k]=如果[k==0，1，如果[k==n，0，EulerianC[n-1，k]（k+1）+Eulerian2[n-1、k-1]（2n-k-1）]]；A005172[n_]：=总和[Eulerian2[n-1，k]2^（2n-k-2），{k，0，n-1}]；表[A005172[n]，{n，19}]（*_Peter Luschny_，2018年6月24日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=0，n，a=1+形式（a*（1+a+x*o（x^n））^2））；n！*polcoeff（a，n）}\\_Paul D.Hanna，2008年9月6日

%o（最大值）a（n）：=如果n=1，则1其他（总和（（n+k-1）*总和（（-1）^j/（k-j）*总和（（-1）^i*2^（n-i+j-1）*stirling1（n-i~+j-1，j-i）/（（n-i＋j-1）*i！），i、 0，j），j，1，k），k，1，n-1））；/*_Vladimir Kruchinin，2012年1月30日*/

%o（鼠尾草）

%o缓存函数

%o定义欧拉2（n，k）：

%o如果k==0：返回1

%o elif k==n：返回0

%o返回eulerian2（n-1，k）*（k+1）+eulerian（n-1、k-1）*（2*n-k-1）

%o A005172=λn：加（eulerian2（n-1，k）*2^（2*n-k-2）for k in（0..n-1））

%o[A005172（n）for n in（1..16）]#_Peter Luschny_，2012年11月10日

%o（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；

%o Q（k）=如果（k>N，1,1-2*（k+1）*x-2*x*（k+1/Q（k+1；

%o gf=1/Q（0）；Vec（gf）\\_Joerg Arndt_2013年5月1日

%Y参考A005640、A032188。

%Y另一版本见A225170。

%K nonn，很好，很容易

%O 1、2

%A _N.J.A.斯隆_