0,4个

一个喷泉是从一排硬币开始，然后在上面叠加额外的硬币，这样每一个新硬币接触到前一行的两个硬币。

也是终止上一步的顶点高度之和（即峰值和双上升）为n的Dyck路径数。例如：a（4）=3，因为我们有UDUUDD、UUDDUD和UDUDUDUD。-德国金刚砂2008年3月22日

还有路径长度为n的有序树的数量（通过标准双射从前面的注释中得到）。-德国金刚砂2008年3月22日

可能是由Jim Propp（未发表）首先研究的。

c（1）=1且c（i+1）<=c（i）+1的n的组成数。（相对于下一行，每行向右滑动1/2步，并计算列数。）-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2009年11月24日

对弱单峰的附加要求A0524年. -乔尔阿恩特2012年12月9日

S、 R.芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第381页。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

阿洛伊斯·P·海因茨，n=0..4178的n，a（n）表（T.D.Noe的前501个术语）

P、 巴拉，一些简单的连分式展开式

P、 弗莱约特，连分式的组合方面离散数学32（1980），第125-161页。

P、 弗莱约特和R.塞吉威克，解析组合学，2009年；见第331页。

M、 L.Glasser，V.Privman，N.M.Svrakic，Temperley三角格点紧团簇模型：q级数的精确解. J、 物理。A 20（1987年），第18号，L1275-L1280。

H、 W.古尔德，R.K.盖伊和N.J.A.斯隆，通信1987年。

R、 K.盖伊，给N.J.A.斯隆的信1986年9月25日。

R、 K.盖伊，写给N.J.A.Sloane的信，1987年

R、 K.盖伊，强大的小数定律，艾默尔。数学。《95月刊》（1988年），第8期，697-712页。

R、 K.盖伊，强大的小数定律. 阿默尔。数学。《95月刊》（1988年），第8期，697-712页。[带注释的扫描副本]

R、 K.盖伊和N.J.A.斯隆，通信1988年。

Kival Ngaokrajang先生，初始条款说明

A、 M.奥德莱兹科和H.S.威尔夫，编辑角：喷泉里的n枚硬币，艾默尔。数学。月刊，95年（1988年），840-843年。

A、 M.Odlyzko，渐近枚举方法，R.L.Graham等人编辑的1063-1229页，《组合学手册》，1995年；参见示例10.7(pdf格式,ps公司)

埃里克·韦斯坦的数学世界，罗杰斯·拉马努扬续分数.

A005169号（n） =f（n，1），其中f（n，p）=0，如果p>n，则为1；如果p<n，求和（1<=q<=p+1；f（n-p，q）），如果p<n.f=邮编：A168396.

G、 f.：f（t）=和{k>=0}P[k]，其中P[0]=1，P[n]=t*Sum{j=0..n-1}P[j]*P[n-j-1]*t^（n-j-1），n>=1。-德国金刚砂2008年3月22日

G、 f.：1/（1-x/（1-x^2/（1-x^3/（1-x^4/（1-x^5/（…）））））[在Odlyzko/Wilf参考文献的第一页给出]。-乔尔阿恩特2011年3月8日

G、 f.：1/G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/G（k+1）；（连分式）。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月29日

G、 f.：A（x）=P（x）/Q（x），其中

P（x）=和{n>=0}（-1）^n*x^（n*（n+1））/积（k=1..n}（1-x^k），

Q（x）=和{n>=0}（-1）^n*x^（n^2）/积（k=1..n}（1-x^k），

由于罗杰斯·拉马努詹的持续分数身份。-保罗·D·汉娜2011年7月8日

从彼得·巴拉2012年12月26日：（开始）

设F（x）表示这个序列的o.g.F。对于正整数n>=3，实数F（1/n）的简单连分式展开式为：1+1/（n-2+1/（1+1/（n-2+1/（n-2+1/（1+1/（n^2-2+1/（1+1/（n^2-2+1/（1+……））（1/）；对于正整数n>=3的，实数F（1/n）具有简单的连分式展开式1/（1+1/（n-1+1/（1+1+1/（n-1+1+1/（n-1+1/（n^2-1+1/（n^2-1+1//（n^2-1+1/（1+1+1/（n^2-1/（n））））））））））。示例如下。囊性纤维变性。A111317号和A143951号.

（结束）

a（n）=c*x^（-n）+O（（5/3）^n），其中c=0.312363324596741。。。x=0.576148769142756。。。是方程Q（x）=0的最低根，Q（x）见上文（Odlyzko&Wilf 1988）。-瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年7月18日，于2020年9月24日更新

G、 f.：G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/（x^（k+1）-1/G（k+1））；（连分式）。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日

G、 f.：1-1/x+1/（x*W（0）），其中W（k）=1-x^（2*k+2）/（1-x^（2*k+1）/W（k+1））；（连分式）。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月16日

有19枚硬币的喷泉示例：

... 哦。哦

.. 哦，哦，哦。O

. 哦，哦，哦，哦，哦

从彼得·巴拉2012年12月26日：（开始）

F（1/10）=Sum{n>=0}a（n）/10^n具有简单的连分式展开式1+1/（8+1/（1+1/（98+1/（1+1/（98+1/（1+1/（98+1/（1+1/（998+1/（1+…）））））。

F（-1/10）=Sum{n>=0}（-1）^n*a（n）/10^n具有简单的连分式展开式1/（1+1/（9+1/（99+1/（1+1/（99+1/（999+1/（1+1/（999+1/（9999+1/（1+…））））））。

（结束）

P[0]：=1:对于n到40 do P[n]：=排序（展开（t*（sum（P[j]*P[n-j-1]*t^（n-j-1），j=0..n-1）））结束do:F:=排序（sum（P[k]，k=0..40））：seq（coeff（F，t，j），j=0..36）#德国金刚砂2008年3月22日

#第二个枫树计划：

A005169号_G： =proc（x，NK）；位数：=250；Q2：=1；

对于k从NK乘以-1到0，d1：=1-x^k/Q2；Q2：=Q1；od；

Q3：=Q2；S:=1-Q3；

结束：

系列(A005169号_G（x，20），x，21）#谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月18日

m=36；p[0]=1；p[n_x]：=p[n]=展开[t*Sum[p[j]*p[n-j-1]*t^（n-j-1），{j，0，n-1}]；f[t_u]=Sum[p[k]，{k，0，m}]；系数列表[系列[f[t]，{t，0，m}]，t](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年6月21日，之后德国金刚砂*)

{1，系数[1]，最大值[1]，最大值(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2014年9月16日*）

用玻璃纸做的*/

N=30；x='x+O（'x^N）；

P（k）=和（n=0，n，（-1）^n*x^（n*（n+1+k））/生产（j=1，n，1-x^j））；

G=1+x*P（1）/（（1-x）*P（1）-x^2*P（2））；

Vec（克）/*乔尔阿恩特2011年2月10日*/

（平价）/*作为连分式：*/

{a（n）=局部（a=1+x，CF）；CF=1+x；对于（k=0，n，CF=1/（1-x^（n-k+1）*CF+x*O（x^n））；a=CF；polcoeff（a，n）}/*保罗·D·汉娜*/

（PARI）/*由Rogers Ramanujan继续分数单位：*/

{a（n）=局部（a=1+x，P，Q）；

P=总和（m=0，平方（n），（-1）^m*x^（m*（m+1））/生产（k=1，m，1-x^k））；

Q=总和（m=0，平方（n），（-1）^m*x^（m^2）/prod（k=1，m，1-x^k））；

A=P/（Q+x*O（x^n））；波尔科夫（A，n）}/*保罗·D·汉娜*/

（哈斯克尔）

a005169 0=1

a005169 n=a168396 n 1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年9月13日；更正人R、 J.马萨2013年9月16日

囊性纤维变性。A001524号,邮编：A192728,邮编：A192729,A192730号,A111317号,A143951号,A285903号,A226999号（逆欧拉变换），A291148（卷积逆）。

第一列邮编：A168396. -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2009年11月24日

对角线邮编：A185646.

行总和A047998号. 列和邮编：A138158. -德国金刚砂2008年3月22日

上下文顺序：邮编：A185648 A228645号 邮编：A185649*邮编：A129852 A0654年 A067847号

相邻序列：A005166号 A005167号 A005168号*A005170型 A005171号 A005172号

不,容易的,美好的,改变

N、 斯隆

更多条款来自大卫·W·威尔逊2001年4月30日

经核准的