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| A005169号 |
| n枚硬币的喷泉数量。
（原名M0708）
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79
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1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 15, 26, 45, 78, 135, 234, 406, 704, 1222, 2120, 3679, 6385, 11081, 19232, 33379, 57933, 100550, 174519, 302903, 525734, 912493, 1583775, 2748893, 4771144, 8281088, 14373165, 24946955, 43299485, 75153286, 130440740, 226401112, 392955956, 682038999, 1183789679, 2054659669, 3566196321, 6189714276
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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喷泉是由一排硬币开始，然后在上面堆叠额外的硬币，使每一枚新硬币接触前一排的两枚硬币而形成的。
此外，终止上升的顶点（即峰值和双峰）的高度之和为n的Dyck路径数。例如：a（4）=3，因为我们有UDUUDD、UUDDUD和UDUDUD-Emeric Deutsch公司2008年3月22日
可能是Jim Propp首先研究的（未发表）。
c（1）=1且c（i+1）<=c（i）+1的n组分的数量。（将每一行相对于下面的行向右滑动1/2步，然后计算列数。）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年11月24日
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参考文献
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S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第381页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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P.Flajolet，连分式的组合《离散数学》32（1980），第125-161页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第331页。
H.W.Gould、R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1987.
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
A.M.Odlyzko，《渐近枚举法》，R.L.Graham等人编辑，第1063-1229页，《组合数学手册》，1995年；参见示例10.7(pdf格式,秒)
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配方奶粉
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A005169号（n） =f（n，1），其中f（n、p）=0，如果p>n；1，如果p=n，求和（1<=q<=p+1；f（n-p，q）），如果p<n.f=A168396号.
G.f.：f（t）=总和{k>=0}P[k]，其中P[0]=1，P[n]=t*Sum_{j=0..n-1}P[j]*P[n-j-1]*t^（n-j-1）对于n>=1-Emeric Deutsch公司2008年3月22日
G.f.：1/（1-x/（1-x^2/（1-x^3/（1-x^4/（1-x^5/（…））））[在Odlyzko/Wilf参考文献的第一页上给出]-乔格·阿恩特2011年3月8日
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/G（k/1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年6月29日
G.f.:A（x）=P（x）/Q（x）其中
P（x）=和{n>=0}（-1）^n*x^（n*（n+1））/产品{k=1..n}（1-x^k），
Q（x）=和{n>=0}（-1）^n*x^（n^2）/产品{k=1..n}（1-x^k），
由于Rogers-Ramanujan连续分数恒等式-保罗·D·汉纳，2011年7月8日
发件人彼得·巴拉，2012年12月26日：（开始）
设F（x）表示该序列的o.g.F。对于正整数n>=3，实数F（1/n）具有简单的连分式展开式1+1/（n-2+1/（1+1/1/（1+…）））。示例如下。囊性纤维变性。A111317号和A143951号.
（结束）
a（n）=c*x^（-n）+O（（5/3）^n），其中c=0.312363324596741…和x=A347901型=0.576148769142756……是方程Q（x）=0的最小根，Q（x）见上文（Odlyzko&Wilf 1988）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年7月18日，2020年9月24日更新
G.f.：G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/（x^（k+1）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日
G.f:1-1/x+1/（x*W（0）），其中W（k）=1-x^（2*k+2）/（1-x^；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月16日
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例子
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有19枚硬币的喷泉示例：
……噢。O O（操作）
……O O O O。O（运行）
.O O O O O O O O 0 O O O
发件人彼得·巴拉，2012年12月26日：（开始）
F（1/10）=Sum_{n>=0}a（n）/10^n具有简单的连分式展开式1+1/（8+1/（1+1/。
F（-1/10）=Sum_{n>=0}（-1）^n*a（n）/10^n具有简单的连分式展开式1/（1+1/（9+1/（19+1/（99+1/（1+1/（99+1/（999+1/（1+1/（999+1/（999+1/（9999+1/（1+…））））（））），）））。
（结束）
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MAPLE公司
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P[0]：=1：对于n到40 do P[n]：=排序（展开（t*（总和（P[j]*P[n-j-1]*t^（n-j-1），j=0..n-1）））结束do:F:=排序（总和（P[k]，k=0..40））：seq（系数（F，t，j），j=0..36）#Emeric Deutsch公司2008年3月22日
#第二个Maple项目：
对于从NK到0的k，按-1到0进行Q1：=1-x^k/Q2；Q2:=Q1；od；
Q3:=Q2；S： =1-Q3；
结束时间：
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数学
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b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，和[b[n-j，j]，{j，1，最小值[i+1，n]}]；
c[n]：=b[n，0]-b[n-1，0]；
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黄体脂酮素
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（PARI）/*使用Glasser，Privman，Svrakic论文第L1278页的g.f*/
N=30；x='x+O（'x^N）；
P（k）=总和（n=0，n，（-1）^n*x^（n*（n+1+k））/prod（j=1，n，1-x^j））；
G=1+x*P（1）/（1-x）*P（一）-x^2*P（二））；
Vec（G）（车辆（G））/*乔格·阿恩特2011年2月10日*/
（PARI）/*作为连分数：*/
{a（n）=局部（a=1+x，CF）；CF=1+x；对于（k=0，n，CF=1/（1-x^（n-k+1）*CF+x*O（x^n））；a=CF），polceoff（a，n）}/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）/*通过Rogers-Ramanujan连分式恒等式：*/
{a（n）=局部（a=1+x，P，Q）；
P=总和（m=0，平方（n），（-1）^m*x^（m*（m+1））/prod（k=1，m，1-x^k））；
Q=总和（m=0，sqrtint（n），（-1）^m*x^（m^2）/prod（k=1，m，1-x^k））；
A=P/（Q+x*O（x^n））；波尔科夫（A，n）}/*保罗·D·汉纳*/
（哈斯克尔）
a005169 0=1
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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