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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
A005169号
n枚硬币的喷泉数量。
（原名M0708）
80
1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 15, 26, 45, 78, 135, 234, 406, 704, 1222, 2120, 3679, 6385, 11081, 19232, 33379, 57933, 100550, 174519, 302903, 525734, 912493, 1583775, 2748893, 4771144, 8281088, 14373165, 24946955, 43299485, 75153286, 130440740, 226401112, 392955956, 682038999, 1183789679, 2054659669, 3566196321, 6189714276
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
喷泉是由一排硬币开始形成的，然后在上面堆叠额外的硬币，以便每个新硬币接触前一排的两个硬币。
此外，终止上升的顶点（即峰值和双峰）的高度之和为n的Dyck路径数。例如：a（4）=3，因为我们有UDUUDD、UUDDUD和UDUDUD。 -Emeric Deutsch公司2008年3月22日
还有路径长度为n的有序树的数量（通过标准双射遵循前面的注释）。 -Emeric Deutsch公司2008年3月22日
可能是Jim Propp首先研究的（未发表）。
c（1）=1且c（i+1）<=c（i）+1的n的组成数。（将每行相对于下一行向右滑动1/2步，并计算列数。）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年11月24日
通过对弱单峰的额外要求，我们得到A001524号. -乔格·阿恩特2012年12月9日
参考文献
S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第381页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
阿洛伊斯·海因茨，n=0..4178时的n、a（n）表（T.D.Noe的前501个术语）
彼得·巴拉，一些简单的连分式展开式
P.Flajolet，连分式的组合《离散数学》32（1980），第125-161页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009;见第331页。
Atli Fannar Franklín，反转枚举的模式避免，arXiv:2410.07467[math.CO]，2024。见第2、4页。
Atli Fannar Franklín、Anders Claesson、Christian Bean、Henning au lfarsson和Jay Pantone，通过反演枚举的受限排列，arXiv:2406.16403[cs.DM]，2024。见第2页。
M.L.Glasser、V.Privman、N.M.Svrakic、，Temperley三角晶格紧团簇模型：q级数的精确解《物理学杂志》。A 20（1987），第18号，L1275-L1280。
H.W.Gould、R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1987.
R.K.盖伊，致N.J.A.Sloane的信，1986年9月25日。
R.K.盖伊，给N.J.A.Sloane的信，1987年
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《月刊》第95期（1988年），第8期，第697-712页。[带注释的扫描副本]
R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
Kival Ngaokrajang，初始术语说明
A.M.Odlyzko和H.S.Wilf，编辑角落：喷泉中的n枚硬币阿默尔。数学。月刊，95（1988），840-843。
A.M.Odlyzko，《渐近枚举方法》，R.L.Graham等人编辑，第1063-1229页，《组合数学手册》，1995年；参见示例10.7(pdf格式,秒)
埃里克·魏斯坦的数学世界，Rogers-Ramanujan连分式.
配方奶粉
A005169号（n） =f（n，1），其中f（n、p）=0，如果p>n；1，如果p=n，求和（1<=q<=p+1；f（n-p，q）），如果p<n.f=A168396号.
G.f.：f（t）=总和{k>=0}P[k]，其中P[0]=1，P[n]=t*Sum_{j=0..n-1}P[j]*P[n-j-1]*t^（n-j-1）对于n>=1。 -Emeric Deutsch公司2008年3月22日
G.f.：1/（1-x/（1-x^2/（1-x ^3/（1-x-^4/（1-x^5/（…））））[在Odlyzko/Wilf参考文献的第一页上给出]。 -乔格·阿恩特2011年3月8日
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/G（k/1）；（续分数）。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月29日
G.f.:A（x）=P（x）/Q（x）其中
P（x）=Sum_{n>=0}（-1）^n*x^（n*（n+1））/Product_，
Q（x）=和{n>=0}（-1）^n*x^（n^2）/产品{k=1..n}（1-x^k），
由于Rogers-Ramanujan连续分数恒等式。 -保罗·D·汉纳2011年7月8日
发件人彼得·巴拉2012年12月26日：（开始）
设F（x）表示该序列的o.g.F。对于正整数n>=3，实数F（1/n）具有简单的连分式展开式1+1/（n-2+1/（1+1/1/（1+…）））。示例如下。囊性纤维变性。2011年11月17日和A143951号.
（结束）
a（n）=c*x^（-n）+O（（5/3）^n），其中c=0.312363324596741…和x=A347901型=0.576148769142756……是方程Q（x）=0的最小根，Q（x）见上文（Odlyzko&Wilf 1988）。 -瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年7月18日，2020年9月24日更新
G.f.:G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/（x^；（续分数）。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日
G.f:1-1/x+1/（x*W（0）），其中W（k）=1-x^（2*k+2）/（1-x^；（续分数）。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月16日
例子
有19枚硬币的喷泉示例：
……噢。O O（操作）
……O O O O。O（运行）
.O O O O O O O O 0 O O O
发件人彼得·巴拉2012年12月26日：（开始）
F（1/10）=Sum_{n>=0}a（n）/10^n具有简单的连分式展开式1+1/（8+1/（1+1/。
F（-1/10）=Sum_{n>=0}（-1）^n*a（n）/10^n具有简单的连分式展开式1/（1+1/（9+1/（19+1/（99+1/（1+1/（99+1/（999+1/（1+1/（999+1/（999+1/（9999+1/（1+…））））（））），）））。
（结束）
MAPLE公司
P[0]：=1：对于n到40 do P[n]：=排序（展开（t*（总和（P[j]*P[n-j-1]*t^（n-j-1），j=0..n-1）））结束do:F:=排序（总和（P[k]，k=0..40））：seq（系数（F，t，j），j=0..36）； #Emeric Deutsch公司2008年3月22日
#第二个Maple项目：
A005169号_G： =程序（x，NK）；数字：=250；Q2:=1；
对于从NK到0的k，按-1到0进行Q1：=1-x^k/Q2；Q2:=Q1；od；
Q3:=Q2；S:=1-Q3；
结束：
系列(A005169号_G（x，20），x，21）； #谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月18日
数学
m=36；p[0]=1；p[n_]：=p[n]=展开[t*和[p[j]*p[n-j-1]*t^（n-j-1），{j，0，n-1}]]；f[t]=和[p[k]，{k，0，m}]；系数列表[系列[f[t]，{t，0，m}]，t](*Jean-François Alcover公司，2011年6月21日，之后Emeric Deutsch公司*)
最大值=43；系列[1-折叠[函数[1-x^#2/#1]，1，范围[max，0，-1]]，{x，0，max}]//系数列表[#，x]&(*Jean-François Alcover公司2014年9月16日*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，和[b[n-j，j]，{j，1，最小值[i+1，n]}]；
c[n]：=b[n，0]-b[n-1，0]；
c/@范围[0，50]//累计(*Jean-François Alcover公司2020年11月14日之后阿洛伊斯·海因茨在里面A289080型*)
黄体脂酮素
（PARI）/*使用Glasser，Privman，Svrakic论文第L1278页的g.f*/
N=30；x='x+O（'x^N）；
P（k）=总和（n=0，n，（-1）^n*x^（n*（n+1+k））/prod（j=1，n，1-x^j））；
G=1+x*P（1）/（1-x）*P（一）-x^2*P（二））；
Vec（G）（车辆（G））/*约尔格·阿恩特2011年2月10日*/
（PARI）/*作为连分数：*/
{a（n）=局部（a=1+x，CF）；CF=1+x；对于（k=0，n，CF=1/（1-x^（n-k+1）*CF+x*O（x^n））；a=CF），polceoff（a，n）}/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）/*通过Rogers-Ramanujan连分式恒等式：*/
{a（n）=局部（a=1+x，P，Q）；
P=总和（m=0，平方（n），（-1）^m*x^（m*（m+1））/prod（k=1，m，1-x^k））；
Q=总和（m=0，平方（n），（-1）^m*x^（m^2）/prod（k=1，m，1-x^k））；
A=P/（Q+x*O（x^n））；极系数（A，n）}/*保罗·D·汉纳*/
（哈斯克尔）
a005169 0=1
a005169 n=a168396 n 1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年9月13日；已由更正R.J.马塔尔2013年9月16日
交叉参考
囊性纤维变性。A001524号,A192728号,A192729号,A192730型,A111317号,A143951号,A285903型,A226999型（欧拉逆变换），A291148型（卷积逆）。
的第一列A168396号. -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年11月24日
的对角线A185646号.
的行总和A047998号.的列和A138158号. -Emeric Deutsch公司2008年3月22日
上下文中的序列：A185648号 A228645型 A185649号*A338192型 A129852号 A367666飞机
相邻序列：A005166号 A005167号 A005168号*A005170号 A005171号 A005172号
关键词
非n,容易的,美好的
作者
N.J.A.斯隆
扩展
更多术语来自大卫·W·威尔逊2001年4月30日
状态
经核准的

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上次修改时间：2025年7月11日01:58 EDT。包含385488个序列。
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