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提示
(问候来自百科全书行上的整数序列!)
A005169号 喷泉的数量。
(原名M0708)
77
1,1,1,1,1,2,3,5,9,15,26,45,78,135 135,234,406 406,704,1222,2120,2120,3679,6385 6385,11081,19232 19232,33379 57933 57933,100550,174519,302903,525734,912493,15883775 27748893274771144,828108888,43373165,2494696955,4329946955,432999485,7515328286,1304404404407402262264011112,392955956,682038999,11837378967679,205659669,3566659669 35663566356673737127272727399327295595759575939396189714276号 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

一个喷泉是从一排硬币开始,然后在上面叠加额外的硬币,这样每一个新硬币接触到前一行的两个硬币。

也是终止上一步的顶点高度之和(即峰值和双上升)为n的Dyck路径数。例如:a(4)=3,因为我们有UDUUDD、UUDDUD和UDUDUDUD。-德国金刚砂2008年3月22日

还有路径长度为n的有序树的数量(通过标准双射从前面的注释中得到)。-德国金刚砂2008年3月22日

可能是由Jim Propp(未发表)首先研究的。

c(1)=1且c(i+1)<=c(i)+1的n的组成数。(相对于下一行,每行向右滑动1/2步,并计算列数。)-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2009年11月24日

对弱单峰的附加要求A0524年. -乔尔阿恩特2012年12月9日

参考文献

S、 R.芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第381页。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..4178的n,a(n)表(T.D.Noe的前501个术语)

P、 巴拉,一些简单的连分式展开式

P、 弗莱约特,连分式的组合方面离散数学32(1980),第125-161页。

P、 弗莱约特和R.塞吉威克,解析组合学,2009年;见第331页。

M、 L.Glasser,V.Privman,N.M.Svrakic,Temperley三角格点紧团簇模型:q级数的精确解. J、 物理。A 20(1987年),第18号,L1275-L1280。

H、 W.古尔德,R.K.盖伊和N.J.A.斯隆,通信1987年。

R、 K.盖伊,给N.J.A.斯隆的信1986年9月25日。

R、 K.盖伊,写给N.J.A.Sloane的信,1987年

R、 K.盖伊,强大的小数定律,艾默尔。数学。《95月刊》(1988年),第8期,697-712页。

R、 K.盖伊,强大的小数定律. 阿默尔。数学。《95月刊》(1988年),第8期,697-712页。[带注释的扫描副本]

R、 K.盖伊和N.J.A.斯隆,通信1988年。

Kival Ngaokrajang先生,初始条款说明

A、 M.奥德莱兹科和H.S.威尔夫,编辑角:喷泉里的n枚硬币,艾默尔。数学。月刊,95年(1988年),840-843年。

A、 M.Odlyzko,渐近枚举方法,R.L.Graham等人编辑的1063-1229页,《组合学手册》,1995年;参见示例10.7(pdf格式,ps公司)

埃里克·韦斯坦的数学世界,罗杰斯·拉马努扬续分数.

公式

A005169号(n) =f(n,1),其中f(n,p)=0,如果p>n,则为1;如果p<n,求和(1<=q<=p+1;f(n-p,q)),如果p<n.f=邮编:A168396.

G、 f.:f(t)=和{k>=0}P[k],其中P[0]=1,P[n]=t*Sum{j=0..n-1}P[j]*P[n-j-1]*t^(n-j-1),n>=1。-德国金刚砂2008年3月22日

G、 f.:1/(1-x/(1-x^2/(1-x^3/(1-x^4/(1-x^5/(…)))))[在Odlyzko/Wilf参考文献的第一页给出]。-乔尔阿恩特2011年3月8日

G、 f.:1/G(0),其中G(k)=1-x^(k+1)/G(k+1);(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月29日

G、 f.:A(x)=P(x)/Q(x),其中

P(x)=和{n>=0}(-1)^n*x^(n*(n+1))/积(k=1..n}(1-x^k),

Q(x)=和{n>=0}(-1)^n*x^(n^2)/积(k=1..n}(1-x^k),

由于罗杰斯·拉马努詹的持续分数身份。-保罗·D·汉娜2011年7月8日

彼得·巴拉2012年12月26日:(开始)

设F(x)表示这个序列的o.g.F。对于正整数n>=3,实数F(1/n)的简单连分式展开式为:1+1/(n-2+1/(1+1/(n-2+1/(n-2+1/(1+1/(n^2-2+1/(1+1/(n^2-2+1/(1+……))(1/);对于正整数n>=3的,实数F(1/n)具有简单的连分式展开式1/(1+1/(n-1+1/(1+1+1/(n-1+1+1/(n-1+1/(n^2-1+1/(n^2-1+1//(n^2-1+1/(1+1+1/(n^2-1/(n))))))))))。示例如下。囊性纤维变性。A111317号A143951号.

(结束)

a(n)=c*x^(-n)+O((5/3)^n),其中c=0.312363324596741。。。x=0.576148769142756。。。是方程Q(x)=0的最低根,Q(x)见上文(Odlyzko&Wilf 1988)。-瓦茨拉夫·科特索维奇,2013年7月18日,于2020年9月24日更新

G、 f.:G(0),其中G(k)=1-x^(k+1)/(x^(k+1)-1/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日

G、 f.:1-1/x+1/(x*W(0)),其中W(k)=1-x^(2*k+2)/(1-x^(2*k+1)/W(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月16日

例子

有19枚硬币的喷泉示例:

... 哦。

.. 哦,哦,哦。O

. 哦,哦,哦,哦,哦

彼得·巴拉2012年12月26日:(开始)

F(1/10)=Sum{n>=0}a(n)/10^n具有简单的连分式展开式1+1/(8+1/(1+1/(98+1/(1+1/(98+1/(1+1/(98+1/(1+1/(998+1/(1+…)))))。

F(-1/10)=Sum{n>=0}(-1)^n*a(n)/10^n具有简单的连分式展开式1/(1+1/(9+1/(99+1/(1+1/(99+1/(999+1/(1+1/(999+1/(9999+1/(1+…))))))。

(结束)

枫木

P[0]:=1:对于n到40 do P[n]:=排序(展开(t*(sum(P[j]*P[n-j-1]*t^(n-j-1),j=0..n-1)))结束do:F:=排序(sum(P[k],k=0..40)):seq(coeff(F,t,j),j=0..36)#德国金刚砂2008年3月22日

#第二个枫树计划:

A005169号_G: =proc(x,NK);位数:=250;Q2:=1;

对于k从NK乘以-1到0,d1:=1-x^k/Q2;Q2:=Q1;od;

Q3:=Q2;S:=1-Q3;

结束:

系列(A005169号_G(x,20),x,21)#谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月18日

数学

m=36;p[0]=1;p[n_x]:=p[n]=展开[t*Sum[p[j]*p[n-j-1]*t^(n-j-1),{j,0,n-1}];f[t_u]=Sum[p[k],{k,0,m}];系数列表[系列[f[t],{t,0,m}],t](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年6月21日,之后德国金刚砂*)

{1,系数[1],最大值[1],最大值(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2014年9月16日*)

黄体脂酮素

用玻璃纸做的*/

N=30;x='x+O('x^N);

P(k)=和(n=0,n,(-1)^n*x^(n*(n+1+k))/生产(j=1,n,1-x^j));

G=1+x*P(1)/((1-x)*P(1)-x^2*P(2));

Vec(克)/*乔尔阿恩特2011年2月10日*/

(平价)/*作为连分式:*/

{a(n)=局部(a=1+x,CF);CF=1+x;对于(k=0,n,CF=1/(1-x^(n-k+1)*CF+x*O(x^n));a=CF;polcoeff(a,n)}/*保罗·D·汉娜*/

(PARI)/*由Rogers Ramanujan继续分数单位:*/

{a(n)=局部(a=1+x,P,Q);

P=总和(m=0,平方(n),(-1)^m*x^(m*(m+1))/生产(k=1,m,1-x^k));

Q=总和(m=0,平方(n),(-1)^m*x^(m^2)/prod(k=1,m,1-x^k));

A=P/(Q+x*O(x^n));波尔科夫(A,n)}/*保罗·D·汉娜*/

(哈斯克尔)

a005169 0=1

a005169 n=a168396 n 1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年9月13日;更正人R、 J.马萨2013年9月16日

交叉引用

囊性纤维变性。A001524号,邮编:A192728,邮编:A192729,A192730号,A111317号,A143951号,A285903号,A226999号(逆欧拉变换),A291148(卷积逆)。

第一列邮编:A168396. -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2009年11月24日

对角线邮编:A185646.

行总和A047998号. 列和邮编:A138158. -德国金刚砂2008年3月22日

上下文顺序:邮编:A185648 A228645号 邮编:A185649*邮编:A129852 A0654年 A067847号

相邻序列:A005166号 A005167号 A005168号*A005170型 A005171号 A005172号

关键字

,容易的,美好的,改变

作者

N、 斯隆

扩展

更多条款来自大卫·W·威尔逊2001年4月30日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年10月1日13:04。包含337443个序列。(运行在oeis4上。)