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旋转曲面


旋转曲面是表面通过旋转二维曲线围绕一个轴。生成的曲面因此总是具有方位对称性。旋转曲面的示例包括这个苹果表面,圆锥体(不包括底座),圆锥形截头体(不包括末端),圆柱(不包括末端),达尔文-德Sitter球体,加布里埃尔号角,双曲面,柠檬表面,扁圆的球体,抛物面,长形的球体,伪球,,球体、和圆环体(及其泛化环形的).

通过旋转曲线获得的旋转曲面的面积元素y=f(x)>0x=ax=b关于x-轴

数据集_x=2个皮衣
(1)
=2piysqrt(1+y^('2))dx,
(2)

所以表面积是

S_x(_x)=2piint_a^bf(x)平方(1+[f^'(x)]^2)dx
(3)
=2piint_a^bysqrt(1+((dy)/(dx))^2)dx
(4)

(《使徒行传》1969年,第286页;卡普兰1992年,第251页;安东1999年,第380页)。如果曲线由参数化指定(x(t),y(t)),通过旋转曲线获得的表面积关于x-轴对于t英寸[a,b]如果x(t)>0在此间隔中,由以下公式给出

 S_x=2π_a^乘以(t)sqrt(((dx)/(dt))^2+((dy)/(dt))^2)dt。
(5)

同样,通过旋转曲线获得的旋转曲面面积x=克(y)>0y=cy=d关于-轴已给出通过

y(_y)=2piint_c^dg(y)平方(1+[g^'(y)]^2)dy
(6)
=2piint_c^dxsqrt(1+((dx)/(dy))^2)天
(7)

(安东1999年,第380页)。如果曲线由参数化指定(x(t),y(t)),获得的表面积通过围绕-轴对于t在[c,d]中如果y(t)>0在此间隔中,由以下公式给出

 S_y=2piint_c^dy(t)平方(((dx)/(dt))^2+((dy)/(dt))。
(8)
旋转曲面

下表给出了侧面的表面积S公司对于一些常见的旋转曲面哪里第页表示半径(指圆锥体、圆柱体、球体或区域),R_1级R_2级圆台的内外半径,小时高度,e(电子)这个椭圆度球体,一c(c)赤道半径和极半径(对于球体)或圆形截面的半径和旋转半径(对于圆环体)。

旋转曲面的标准参数化由下式给出

x(u,v)=φ(v)cosu
(9)
y(u,v)=φ(v)sinu
(10)
z(u,v)=磅/平方英寸(v)。
(11)

对于这样参数化的曲线,第一个基本的形式

E类=φ^2
(12)
F类=0
(13)
G公司=φ^('2)+psi ^('2)。
(14)

无论在何处φφ^('2)+psi ^('2)非零,则曲面为正则曲面,第二个曲面为基本的形式

e(电子)=-(φ|psi^')/(平方(φ^('2)+psi^('2)))
(15)
如果=0
(16)
克=(sgn(phi)(phi^('')psi^'-phi^'psi^('')))/(sqrt(phi^('2)+psi^('2)))。
(17)

此外,该装置法向量

 N^^(u,v)=(sgn(phi))/(sqrt(phi('2)+psi('2,
(18)

主曲率

kappa_1=g/g=(sgn(φ)
(19)
卡帕_2=e/e=-(psi^')/(|phi|sqrt(phi^('2)+psi^('2)))。
(20)

这个高斯意思是曲率

K(K)=(-psi^('2)φ^('')+φ^‘psi^‘psi’(''))/(φ
(21)
H(H)=(φ(φ^(''')psi^'-φ^‘psi^(''))-psi
(22)

(Gray 1997)。

帕普斯质心定理给出体积旋转实体的横截面地区乘以质心旋转时所移动的距离。


另请参见

苹果表面,类儿茶素,圆锥体,圆锥果,圆柱,达尔文-德Sitter球体,八个曲面,加布里埃尔的喇叭,双曲线,柠檬表面,子午线,最小旋转曲面,扁球体,帕普斯质心定理,抛物面,半岛表面,延长球体,伪球体,辛克莱的肥皂膜问题,革命的固体,球体,球体,表面平行旋转的,环形线圈,圆环体,波纹状 在数学世界课堂上探索这个主题

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工具书类

H·安东。《微积分:新视野》,第6版。纽约:Wiley,1999年。阿波斯托·T·M·。微积分,第2版,第2卷:多元微积分和线性代数及其应用微分方程和概率。马萨诸塞州沃尔瑟姆:布莱斯德尔,1969年。灰色,A.《革命表面》第20章现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第457-480页,1997年。Hilbert,D.和Cohn-Vossen,圆柱、圆锥、圆锥截面及其旋转曲面§2英寸几何形状和想象力。纽约:切尔西,第7-11页,1999年。卡普兰,西。高级微积分,第三版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1992年。克莱西格,E.公司。有差别的几何学。纽约:多佛,第131页,1991年。

参考Wolfram | Alpha

旋转曲面

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“革命的表面。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html

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