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革命的固体

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旋转气缸的固体

旋转体是包围回转面通过围绕轴。通过斜面切割获得的旋转实体的一部分它的底部称为有蹄类.

要查找体积通过将一系列薄圆柱壳相加，求出一个旋转体的面积，考虑一个区域的边界为z=f（x），下面由z=克（x），在左边线 x=a，在右边线 x=b。当区域旋转时这个z（z）-轴，结果体积由提供

V=2π_a^bx[f（x）-g（x）]dx。

下表给出了卷各种固体使用圆柱体方法计算的转速。

固体f（x）克（x）体积
圆锥体小时（1-x/r）01/2小时
圆锥截头体{x的h<R_2；h（1-（x-R_2）/（R_1-R_2）），否则01/3pih（R_1^2+R_1R_2+R_2^2）
圆柱小时0皮埃尔^2
扁圆的球体csqrt（1-（x^2）/（a^2））-csqrt（1-（x^2）/（a^2））4/3pia^2c
长形的球体csqrt（1-（x^2）/（a^2））-csqrt（1-（x^2）/（a^2））4/3pia^2c
球平方（r^2-x^2）-平方（r^2-x^2）4/3人^3
圆环体平方码（a^2-（x-c）^2）-平方码（a^2-（x-c）^2）2pi^2a^2c
球形段{h+d表示x<b；sqrt（R^2-x^2）否则d日1/6pih（3a^2+3b^2+h^2）
复球面穹顶{sqrt（R^2-x^2）-（R-h）对于x<c[1+（R/a-1）^（-1）]；否则为sqrt0pi/6[3a^2cpi+4R^3-2sqrt（（a-c-R）（a+c-R））（2a^2+c^2+2R+2R^2）+6a^2csin^（-1）（c/（a-R））]
旋转磁盘的实体

要通过将一系列薄平垫圈相加来求旋转实体的体积，请考虑左边以x=f（z），在右边x=克（z），底部靠线 z=a，顶部靠线 z=b。当区域旋转时这个z（z）-轴，结果体积是

V=piint_a^b{[f（x）]^2-[g（x）]^2}dx。

下表给出了使用垫圈法计算的各种旋转固体的体积。

固体f（x）克（x）体积
桶（椭圆形）平方根（r2^2+（（r1-r2）（r1+r2），（h-2z）^2）/（h^2））01/3hpi（r_1^2+2r_2^2）
桶（抛物线）r2+（（r1-r2）（h-2z）^2）/（h^2）01/（15）马力（3r_1^2+4r_1r_2+8r_2^2）
圆锥体r（1-z/h）01/2小时
圆锥截头体R_1+（R_2-R_1）z/h01/3pih（R_1^2+R_1R_2+R_2^2）
圆柱第页0pir^2小时
扁圆的球体asqrt（1-（z^2）/（c^2））04/3pia^2c
长球体asqrt（1-（z^2）/（c^2））04/3pia^2c
球平方（r^2-z^2）04/3人^3
圆环体c+sqrt（a^2-z^2）c-sqrt（a^2-z^2）2pi^2a^2c
球形的段平方（R^2-z^2）01/6pih（3a^2+3b^2+h^2）
复球面穹顶{c+sqrt（a^2-z^2）用于z<a（R-h）/（R-a）；sqrt0pi/3[2hR^2-（2a^2+c^2+2aR）（R-h）+3a^2csin^（-1）（R-h）/（R-a））]

另请参见

磁盘的方法,壳的方法,垫圈的方法,表面革命,乌古拉,体积

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J.W.哈里斯。和Stocker，H.“旋转固体”§4.10英寸手册数学和计算科学。纽约：Springer-Verlag，第111-113页，1998

参考Wolfram | Alpha

革命的固体

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“革命之实。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SolidofRevolution.html

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