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基本形式

所谓的基本形式有三种。最重要的是第一个和第二个（因为第三个可以用这些来表示）。基本原则形式在确定表面，例如线条元素,地区要素,法曲率,高斯曲率、和平均曲率.让M（M）成为规则曲面具有v（p），w（p）中的点切线空间 M_（p）属于M（M）.然后第一基本形式是内积切线向量的，

I（v_（p），w_（p。
(1)

对于R^3中的M,这个第二基本形式是对称的双线性形式切线空间 M_（p）,

II（v_（p），w_（p，
(2)

哪里S公司是形状运算符. The第三的基本形式由提供

III（v_（p），w_（p。
(3)

这个第一和第二基本形式满足

I（ax_u+bx_v，ax_u+bx_v）=Ea^2+2标签+Gb^2
(4)
II（ax_u+bx_v，ax_u+bx_v）=ea^2+2fab+gb^2，
(5)

哪里x： U->R^3是一个常规修补程序和x（_u）和x _ v是的偏导数x个关于参数u个和v（v）分别是。他们的比率只是正常的曲率

kappa（v_（p））=（II（v_
(6)

对于任何非零切线向量.第三基本原则表格是根据第一和第二形式给出的

III-2HII+KI=0，
(7)

哪里H（H）是平均曲率和K（K）是高斯曲率.

第一基本形式（或线条元素)已给出显式地由黎曼度量

ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2。
(8)

它决定了弧长曲面上的曲线。系数由下式给出

E类=||x_u||^2=|（partialx）/（partial）|^2
(9)
F类=xu·xv=（partialx）/（partial）·（partial/（partialv）
(10)
G公司=||x_v||^2=|（partialx）/（partial）|^2。
(11)

还表示了系数g_（uu）=E,g_（紫外线）=F、和g_（vv）=g.英寸曲线的协调（其中F=0)，数量

胡=平方根（g_（uu））=平方根（E）
(12)
高电压=平方（g_（vv））=平方（g）
(13)

被称为比例因子.

第二个基本形式由以下公式明确给出

教育^2+2fdudv+gdv^2
(14)

哪里

e（电子）=总和_（i）X_i（部分^2x_i）/（部分^2）
(15)
（f）=sum_（i）X_i（局部^2x_i）/（局部）
(16)
克=总和_（i）X_i（部分^2x_i）/（部分^2），
(17)

和X _ i是方向余弦曲面法线的。第二种基本形式也可以写

e（电子）=-N_u·x_u
(18)
=N·x_（uu）
(19)
（f）=-N_v·x_u
(20)
=N·x_（紫外线）
(21)
=N·x_（vu）
(22)
=-N_u·x_v
(23)
克=-N_v·x_v
(24)
=N·x_（vv），
(25)

哪里N个是法向量（格雷1997年，第368页），或

e（电子）=（细节（x_（uu）x_ux_v））/（平方码（EG-F^2））
(26)
（f）=（细节（x_（uv）x_ux_v））/（平方（EG-F^2））
(27)
克=（细节（x_（vv）x_ux_v））/（平方（EG-F^2））
(28)

（格雷1997年，第379页）。

另请参见

弧长,Area元素,第一基本形式,高斯曲率,测地线,卡勒歧管,线路曲率的,Line元素,平均值曲率,法线曲率,黎曼（Riemannian）公制,比例因子,第二基本形式,表面积,第三基本形式,Weingarten方程

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工具书类

Gray，A.“三种基本形式”，第16.6节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第368-371页和第380-382页，1997年。

参考日期Wolfram|Alpha公司

基本形式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“基本形式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FundamentalForms.html

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