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基本形式


所谓基本形式有三种。最重要的是第一个和第二个(因为第三个可以用这些来表示)。基本原则形式在确定表面,例如线条元素,地区要素,法曲率,高斯曲率、和平均曲率.让M(M)成为规则曲面具有v(p),w(p)中的点切线空间 M_(p)属于M(M).然后第一基本形式内积切线向量的,

 I(v_(p),w_(p。
(1)

对于R^3中的M,这个第二基本形式是对称的双线性形式切线空间 M_(p),

 II(v_(p),w_(p,
(2)

哪里S公司形状运算符. The第三的基本形式由提供

 III(v_(p),w_(p。
(3)

这个第一第二基本形式满足

I(ax_u+bx_v,ax_u+bx_v)=Ea^2+2标签+Gb^2
(4)
二(ax_u+bx_v,ax_u+bx_v)=ea^2+2fab+gb^2,
(5)

哪里x: U->R^3是一个常规修补程序x(_u)x _ v是的偏导数x个关于参数u个v(v)分别是。他们的比率只是正常的曲率

 kappa(v_(p))=(II(v_
(6)

对于任何非零切线向量.第三基本原则表格是根据第一和第二形式给出的

 III-2HII+KI=0,
(7)

哪里H(H)平均曲率K(K)高斯曲率.

第一基本形式(或线条元素)已给出显式地由黎曼度量

 ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2。
(8)

它决定了弧长曲面上的曲线。系数由下式给出

E类=||x_u||^2=|(partialx)/(partial)|^2
(9)
F类=xu·xv=(partialx)/(partial)·(partial/(partialv)
(10)
克=||x_v||^2=|(partialx)/(partial)|^2。
(11)

还表示了系数g_(uu)=E,g_(紫外线)=F、和g_(vv)=g.英寸曲线的协调(其中F=0),数量

胡=平方根(g_(uu))=平方根(E)
(12)
高电压=sqrt(g_(vv))=sqrt(g)
(13)

被称为比例因子.

第二个基本形式由以下公式明确给出

 教育^2+2fdudv+gdv^2
(14)

哪里

e(电子)=总和_(i)X_i(部分^2x_i)/(部分^2)
(15)
(f)=总和_(i)X_i(部分^2x_i)/(部分)
(16)
克=总和_(i)X_i(部分^2x_i)/(部分^2),
(17)

X _ i方向余弦曲面法线的。第二种基本形式也可以写

e(电子)=-N_u·x_u
(18)
=N·x_(uu)
(19)
(f)=-N_v·x_u
(20)
=N·x_(紫外线)
(21)
=N·x_(vu)
(22)
=-N_u·x_v
(23)
克=-N_v·x_v
(24)
=N·x_(vv),
(25)

哪里N个法向量(格雷1997年,第368页),或

e(电子)=(细节(x_(uu)x_ux_v))/(平方码(EG-F^2))
(26)
(f)=(细节(x_(uv)x_ux_v))/(平方(EG-F^2))
(27)
克=(细节(x_(vv)x_ux_v))/(平方(EG-F^2))
(28)

(格雷,1997年,第379页)。


另请参见

弧长,Area元素,第一基本形式,高斯曲率,测地线,卡勒歧管,线路曲率的,Line元素,平均值曲率,法线曲率,黎曼的公制,比例因子,第二基本形式,表面积,第三基本形式,Weingarten方程

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工具书类

Gray,A.“三种基本形式”,第16.6节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第368-371页和第380-382页,1997年。

参考日期Wolfram|Alpha公司

基本形式

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“基本形式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FundamentalForms.html

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