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伪球体


伪球体

伪球是常数负值-高斯曲率 回转面生成牵引线关于它渐近线.它有时也被称为牵引小行星、牵引小行星、反球体或牵引小行星(斯坦豪斯1999年,第251页)。笛卡尔参数化的方程

x个=塞库斯科斯夫
(1)
年=塞库辛夫
(2)
z(z)=乌坦胡
(3)

对于u in(-infty,infty)v英寸[0,2pi).

它可以用隐式笛卡尔形式写成

 z^2=[基准^(-1)(平方((x^2+y^2)/a))-平方(a^2-x^2-y^2,)]^2。
(4)

其他参数化包括

x个=科苏西翁
(5)
年=正弦
(6)
z(z)=cosv+ln[tan(1/2伏)]
(7)

对于u英寸[0,2pi)(0,pi)中的v(灰色等。2006年,第480页)和

x个=φ(v)cosu
(8)
年=φ(v)sinu
(9)
z(z)=磅/平方英寸(v)
(10)

对于u英寸[0,2pi)v in(-infty,infty),哪里

φ(v)={e^v表示v<0;e^(-v)表示v>=0
(11)
磅/平方英寸(v)={sqrt(1-e^(2v))-tanh^(-1)(sqrt
(12)

(灰色等。2006年,第477页)。

在第一个参数化中第一基本形式

E类=坦^2 u
(13)
F类=0
(14)
G公司=秒^2u,
(15)

这个第二基本形式系数

e(电子)=-sechutanhu村
(16)
(f)=0
(17)
克=色呼坦呼,
(18)

和表面面积元素

 dS=sechutanhu。
(19)

这个表面积

 S=2int_0^(2pi)int_0^inftysechutanhududv=4pi,
(20)

这正是通常的情况.

尽管伪球的范围是无限的,但它的范围是有限的体积.通过改变变量可以找到体积z=u-tanhu,给予dz=坦^2udu,并将a代入等式中固体革命的,给予

 V=piint_(-infty)^inftysech^2utah^2udu=2/3pi,
(21)

这正好是平时的一半.

这个高斯意思是曲率

K(K)=-1
(22)
H(H)=1/2(新竹)。
(23)

因此,伪球的体积与同时具有常量消极的 高斯曲率(而不是常数积极的曲率(球体的),从而产生了“伪球体”的名称。伪球体的常数消极的 曲率也使其成为局部局部模型双曲线的几何学,就像圆锥体或圆柱体是欧几里德几何的局部局部模型一样在飞机上。

一个方程式测地线在伪球面上给出通过

 cosh^2u+(v+c)^2=k^2。
(24)

另请参见

漏斗,加布里埃尔的喇叭,双曲线几何,拖拉机

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工具书类

Fischer,G.(编辑)。板82英寸Bildband大学博物馆数学模型。布伦瑞克,德国:Vieweg,第77页,1986年。几何中心。“伪球体。”http://www.geom.umn.edu/zoo/diffgeom/pseudosphere/.灰色,答:。;阿贝纳,E。;和南卡罗来纳州萨拉蒙。现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第三版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第477和480页,2006年。Java视图。“经典微分几何曲面:伪球面。"http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_PseudoSphere.html.斯坦豪斯,H。数学快照,第三版。纽约:多佛,第2511999页。威尔斯,D。这个《企鹅好奇有趣几何词典》。伦敦:企鹅,第199-200页,1991年。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“伪球体。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Pseudosphere.html

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