话题
搜索

托里拆利小号


加布里埃尔斯·霍恩

加布里埃尔的号角,也叫托里切利的小号,是回转面函数的y=1/x关于x个-轴对于x> =1因此,它由参数给出方程

x(u,v)=单位
(1)
y(u,v)=(acosv)/u
(2)
z(u,v)=(asinv)/u。
(3)

这个表面令人惊讶的是它(a=1为了方便起见)有有限的,有限的 体积

V(V)=int_1^输入^2dx
(4)
=像素_1^infty(dx)/(x^2)
(5)
=圆周率,
(6)

但是无限的 表面积,自从

S公司=int_1^infty2piysqrt(1+y^'^2)dx
(7)
>2像素_1^inftyydx
(8)
=2像素_1^英寸(dx)/x
(9)
=2pi[lnx]_1^输入
(10)
=2pi[输入-0]
(11)
=infty公司。
(12)

这导致了一个自相矛盾的结果,即虽然加布里埃尔的号角可以填满圆周率油漆的立方单位无限的平方单位数需要油漆覆盖其表面!

The coefficients of the第一基本形式是,

E类=1+(a^2)/(u^4)
(13)
F类=0
(14)
G公司=(a^2)/(u^2)
(15)

和的第二基本形式

e(电子)=-(2a)/(usqrt(a^2+u^4))
(16)
(f)=0
(17)
克=(au)/(sqrt(a^2+u^4))。
(18)

这个高斯意思是曲率

K(K)=-(2u^6)/((a^2+u^4)^2)
(19)
小时=(u^7-a^2u^3)/(2a(a^2+u^4)^(3/2))。
(20)

高斯曲率可以隐式表示为

 K(x,y,z)=-(2x^2)/(2a^2+x^4+(y^2+z^2)^2)。
(21)

另请参见

漏斗,伪球体

与Wolfram一起探索| Alpha

引用如下:

埃里克·W·韦斯坦。《加布里埃尔的号角》数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GabrielsHorn.html

主题分类