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导数


a的导数功能表示无穷小函数相对于其变量之一的变化。

函数的“简单”导数(f)关于变量x个表示为f^'(x)

 (df)/(dx),
(1)

通常内嵌编写为df/dx(df/dx)当对时间求导时,通常用牛顿公式表示上点符号流数,

 (dx)/(dt)=x^。。
(2)

莱布尼茨的“d-ism”df/dt(df/dt)最终赢得了与“衰老”的符号战牛顿通量记谱法(P.Ion,pers.comm.,2006年8月18日)。

当采用导数时n个时间,符号f^((n))(x)

 (d^nf)/(dx^n)
(3)

使用,与

 x ^。,x ^。。,x^。。。,
(4)

等,相应的通量符号。

当函数f(x,y,…)取决于多个变量偏导数

 (partialf)/(partialx),(partial ^2f)/(partialxpartialy)等。
(5)

可用于指定一个或多个变量的导数。

函数的导数f(x)关于变量x个定义为

 f^'(x)=lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h,
(6)

但也可以计算得更加对称

 f^'(x)=lim_(h->0)(f(x+h)-f(x-h))/(2h),
(7)

前提是已知存在衍生工具。

需要注意的是,上述定义指的是“实际”导数,即仅限于沿真实的然而,这种限制是人为的,衍生品是最自然的定义在复平面,它们有时在哪里明确称为复导数为了存在复杂的导数相同的必须获得结果对于在复杂的飞机令人惊讶的是,几乎所有数学中的重要函数满足此属性,这相当于表示它们满足柯西-黎曼方程

这些考虑可能会给学生带来困惑,因为初等微积分课文通常只考虑“实”导数,从不提及复杂导数、变量或函数的存在。例如,教科书相反的例子,“导数”(读作:复杂的导数)d|z|/dz绝对值功能|z(z)|不存在,因为在复杂的飞机,导数的值取决于导数的方向被拿走了(所以Cauchy-Riemann方程不能且不保持)。然而真实的衍生工具(即限制沿方向的导数实轴)可以为以下点定义x=0作为

 对于x<0,(d|x|)/(dx)={-1;对于x=0,未定义;对于x>0,为1。
(8)

由于计算机代数语言和程序(如Wolfram语言一般交易对于复数变量(即导数的定义总是指复杂的衍生工具),d|x|/dx日正确返回未经此类软件评估的值。

如果存在一阶导数,则二阶导数可定义为

 f^('')(x)=lim_(h->0)(f^'(x+h)-f^'(x))/h
(9)

更对称地计算为

 f^('')(x)=lim_(h->0)(f(x+2h)-2f(x+h)+f(x))/(h^2),
(10)

再次假设已知存在二阶导数。

注意,为了使限额存在lim_(h->0^+)lim_(h->0^-)必须存在并且相等,因此功能必须是连续的。然而,连续性是必要的但是 足够的可微性的条件。自从一些不连续的功能可以集成,从某种意义上说,可以整合的功能比可以区分的功能“更多”。在给斯蒂尔特杰斯的信中,赫米特写道:“我对这种可悲的无导数函数瘟疫。"

导数向任意方向的三维推广称为方向导数.英寸一般来说,导数是存在于光滑函数之间的数学对象在歧管上。在这种形式主义中,导数通常被组合成“切线贴图."

表演数值微分在很多方面都比数字的集成。这是因为while数字的集成只需要被集成函数的良好连续性,数值微分需要更多复杂的属性,如Lipschitz类。

一些简单函数的简单导数如下:

日/(dx)x^n=nx^(n-1)
(11)
d/(dx)lnx=1/x(1/x)
(12)
d/(dx)sinx=科斯
(13)
d/(dx)cosx=-正弦
(14)
d/(dx)坦克=秒^2x
(15)
日/(dx)cscx=-cscxcotx公司
(16)
d/(dx)秒=secxtanx公司
(17)
d/(dx)成本=-csc ^2倍
(18)
日期/(dx)e^x=电子^x
(19)
日期/(dx)a^x=(lna)一个^x
(20)
d/(dx)sin^(-1)x=1/(平方(1-x^2))
(21)
d/(dx)cos^(-1)x=-1/(平方(1-x^2))
(22)
d/(dx)tan^(-1)x=1/(1+x^2)
(23)
d/(dx)胶辊^(-1)x=-1/(1+x^2)
(24)
d/(dx)秒^(-1)x=1/(xsqrt(x^2-1))
(25)
日/(dx)csc ^(-1)x=-1/(xsqrt(x^2-1))
(26)
d/(dx)正弦=coshx公司
(27)
日/(dx)成本=辛克斯
(28)
d/(dx)棕褐色=秒^2x
(29)
d/(dx)cothx=-csch ^2倍
(30)
d/(dx)秒x=-第十次
(31)
日/(dx)cschx=-cschxcothx公司
(32)
d/(dx)snx=cnxdnx公司
(33)
天/(dx)cnx=-snxdnx公司
(34)
d/(dx)dnx=-k^2snxcnx。
(35)

哪里sn(x)=sn(x,k),cn(x)=cn(x,k),等等雅各比椭圆函数、和乘积规则商法則被广泛用于扩张衍生品。

计算某些函数组合的导数有许多重要规则。和的导数等于导数的和,因此

 (f+…+h)^'=f^'++h ^’。
(36)

此外,如果c(c)是一个常量,

 d/(dx)[cf(x)]=cf^'(x)。
(37)

这个乘积规则用于微分状态

 d/(dx)[f(x)g(x)]=f(x,
(38)

哪里f^'表示的导数(f)关于x个此派生规则可以迭代应用,以生成产品的派生规则例如,

[fgh]^’=(fg)小时
(39)
=fgh^'+(fg^'+f^'g)小时
(40)
=f^'gh+fg^'h+fgh^'。
(41)

这个商法則对于导数状态

 d/(dx)[(f(x))/(g(x)]=(g(x)f^'(x)-f(x)g^'(x))/
(42)

权力规则给予

 d/(dx)(x^n)=nx^(n-1)。
(43)

计算导数的其他非常重要的规则是链式法则,其中规定y=y(u),

 (dy)/(dx)=(dy),
(44)

或者更一般地说,对于z=z(x(t),y(t))

 (dz)/(dt)=(partialz)/,
(45)

哪里partialz/partialx表示偏导数

其他衍生工具恒等式包括

 (dy)/(dx)=((dy)/(dt))/((dx)/(dt))
(46)
 (dy)/(dx)=1/((dx)/(dy))。
(47)

如果F(x,y)=C,其中C是一个常数,那么

 dF=(partialF)/(partialy)dy+(partial)/(partialx)dx=0,
(48)

所以

 (dy)/(dx)=-((partialF)/。
(49)

反函数的导数恒等式包括

(dx)/(dy)=1/((dy)/(dx))
(50)
(d^2x)/(dy^2)=-(d^2年)/(dx^2)((dy)/(d x))^(-3)
(51)
(d^3x)/(dy^3)=[3((d^2y)/(dx^2))^2-(d^3y)/。
(52)

向量函数的向量导数

 X(t)=[X_1(t);X_2(t));|;X_k(t)]
(53)

可以由定义

 (dX)/(dt)=[(dX_1)/。
(54)

这个n个的th导数x^nf(x)对于n=1, 2, ...

日/(dx)[xf(x)]=f(x)+xf^'(x)
(55)
(d^2)/(dx^2)[x^2 f(x)]=2f(x)+4xf^'(x)+x^2f^(')(x)
(56)
(d^3)/(dx^3)[x^3f(x)]=6f(x)+18xf^'(x)+9x^2f^(')(x)+x^3f^。
(57)

这个n个系数三角形的第几行1; 1, 1; 2, 4, 1; 6, 18, 9, 1; ... (组织环境信息系统A021009型)拉盖尔多项式的 L_n(x)

法迪布鲁诺公式给出了n个第个的导数作文 f(克(吨))

1996年6月2日的漫画FoxTrot公司Bill Amend(1998年修正案,第19页;Mitchell 2006/2007)将以下衍生工具作为“硬”测试这道题是为数学补习课准备的,但意外地交给了普通人类别:

 d/(du){(u^(n+1))/((n+1。
(58)
1996年6月2日,Bill Amend创作的FoxTrot连环画。经作者许可复制。

另请参阅

Blancmange函数,微积分,卡拉斯气味衍生物,柯西-黎曼方程,链式规则,逗号导数,复数导数,复杂可区分的,对流导数,协变导数,明确完整的,可区分的,有差别的微积分,区别,定向导数,欧拉-拉格朗日导数,法迪布鲁诺公式,有限差异,通量,分数的微积分,Fréchet导数,函数导数,隐性的区别,不定积分,积分,谎言衍生物,对数导数,数字区别,品切尔导数,权力规则,产品规则,q个-衍生产品,规则,施瓦西导数,总计导数,维尔斯特拉斯函数 在MathWorld课堂上探讨这个主题

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。带公式、图形和数学表的数学函数手册,第9版。纽约:多佛,第11页,1972年。修正案,B。营地福克斯特罗。密苏里州堪萨斯城:Andrews McMeel,第19页,1998年。安东,H。微积分:《新视野》,第6版。纽约:Wiley,1999年。calc101.com.“逐步区别。"http://www.calc101.com/webMathematica/MSP/calc101/WalkD拜尔,重量小时。“衍生品。”CRC公司标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第229-232页,1987A·格里万克。原则算法微分技术。宾夕法尼亚州费城:SIAM,2000年。米切尔,C.W.公司。Jr.(小)。在“媒体剪辑”中(编辑M.Cibes和J.Greenwood)。数学。教师 100,3392006年12月/2007年1月。新泽西州斯隆。答:。顺序A021009型在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

导数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“衍生产品”来源数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Derivative.html

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