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球面谐波

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球面谐波Y_l^m（θ，φ）是解的角度部分拉普拉斯方程在里面球形的协调其中方位对称性不存在。必须小心识别所使用的符号惯例。在本条目中，θ作为极坐标（纵坐标）θ在[0，pi]中,和φ作为方位（纵向）坐标phi英寸[0,2pi）这是物理学中通常使用的惯例，如Arfken（1985）和沃尔夫拉姆语言（在数学文献中，θ通常表示纵向坐标和φ纵坐标）。实现球面谐波在中Wolfram语言作为球形谐波Y[我,米,θ,φ].

球面谐波满足球面调和微分方程，由拉普拉斯的方程式在里面球面坐标.写作F=Phi（φ）Theta（θ）在这个方程式中给出

（Phi（φ））/（sintheta）d/（dtheta）（正弦（dtheta）/（dteta））+（θ（Theta））/。
(1)

乘以sin^2theta/（ThetaPhi）给予

[（正弦）/（θ（θ））d/（dtheta）（正弦（dtheta）/（dthta））+l（l+1）sin^2θ]+1/（Phi（Phi））（d^2 Phi（φ））/（dphi^2）=0。
(2)

使用变量分离通过将φ-从属的常数的部分给出

1/（Phi（φ））（d^2Phi（Phi））/（dphi^2）=-m^2，
(3)

有解决方案的

Phi（φ）=Ae^（-imphi）+Be^（imphi）。
(4)

接通电源(三)进入(2)给出了θ-从属的部分，其解决方案为

Theta（θ）=P_l^m（costheta），
(5)

哪里m=-l,-（1-1）,..., 0, ...,l-1号机组,我和P_l ^m（z）是一个相关的勒让德多项式.然后通过组合定义球面谐波Phi（φ）和θ（θ）,

Y_l^m（θ，φ）=sqrt（（2l+1）/（4pi）（（l-m）！）/（（l+m）！）P_l^m（costheta）e^（imphi），
（6）

标准化的选择应确保

int_0^（2pi）int_0^piY_l^m（θ，φ）Y^__（l^'）^（m^'）（θ=int_0^（2pi）int_（-1）^1Y_l^m（θ，φ）Y^__（l^'）^（m^'）（θ、φ）d（costheta）dphi=delta_（mm^'）delta_（ll^'）
(7)

（阿夫肯1985年，第681页）。在这里，z（z）^_表示复共轭和增量（mn）是克罗内克三角洲有时（例如，Arfken1985年）Condon-Shortley阶段 （-1）^m在球谐函数的定义之前。

球面谐波有时被分离为真实的和假想部分,

Y_l^m^s（θ，φ）=sqrt（（2l+1）/（4pi）（（l-m）！）/（（l+m）！）P_l^m（cosheta）sin（mphi）
(8)
Y_l^m^c（θ，φ）=sqrt（（2l+1）/（4pi）（（l-m）！）/（（l+m）！）P_l^m（cosheta）cos（mphi）。
(9)

球谐函数服从

Y_l^（-l）（θ，φ）=1/（2^ll！）平方（（2l+1）！）/（4pi））罪^lthetae^（-ilphi）
(10)
Y_l^0（θ，φ）=平方（（2l+1）/（4pi））P_l（costheta）
(11)
Y_l^（-m）（θ，φ）=（-1）^mY^__l^m（θ，φ），
(12)

哪里P_l（x）是一个勒让德多项式.

球谐函数的积分由下式给出

int_0^（2pi）int_0^piY_（l_1）^（m_1）（θ，φ=平方（（（2l_1+1）（2l_2+1）（2 l_3+1））/（4pi））（l_1 l_2 l_3；0 0）（l~1 l_2 l_3；m_1 m_2 m_3），
(13)

哪里（l1 l2 l3；m1 m2 m3）是一个维格纳3j个-符号（这是相关的到Clebsch-Gordan系数).特殊情况包括

int_0^（2pi）int_0^piY_L^M（θ，φ）Y_0^0（θ=1/（平方米（4pi））
(14)
int_0^（2pi）int_0^piY_L^M（θ，φ）Y_1^0（θ、φ）Y^__（L+1）^M（theta，φ）sinthetadtadphi=平方（3/（4pi））平方（（（L+M+1）（L-M+1））/（（2L+1）（2L+3））
(15)
int_0^（2pi）int_0^piY_L^M（θ，phi）Y_1^1（θ，phi）Y^__（L+1）^（M+1）（θ，phi）sinthetadthetaphi=平方（3/（8pi））平方（（L+M+1）（L+M2））/（（2L+1）（2L+3））
(16)
int_0^（2pi）int_0^piY_L^M（θ，φ）Y_1^1（θ=-平方（3/（8pi））平方（（L-M）（L-M-1））/（（2L-1）（2L+1））
(17)

（阿夫肯1985年，第700页）。

球面谐波球形谐波ReIm

上图显示了|Y_l^m（θ，φ）|^2（顶部），R[Y_l^m（θ，φ）]^2（左下角），以及I[Y_l^m（θ，φ）]^2（右下角）。前几个球面谐波是

Y_0^0（θ，φ）=1/21/（平方米（pi））
(18)
Y_1^（-1）（θ，φ）=1/2sqrt（3/（2pi））sinthetae^（-iphi）
(19)
Y_1^0（θ，φ）=1/2节（3/pi）服装
(20)
Y_1^1（θ，φ）=-1/2sqrt（3/（2pi））sinthetae^（iphi）
（21）
Y_2^（-2）（θ，φ）=1/4sqrt（（15）/（2pi））sin^2thetae^（-2iphi）
(22)
Y_2^（-1）（θ，φ）=1/2sqrt（（15）/（2pi））sinthetacothetae（-iphi）
(23)
Y_2^0（θ，φ）=1/4平方米（5/pi）
(24)
Y_2^1（θ，φ）=-1/2sqrt（（15）/（2pi））sinthetacothetae（iphi）
(25)
Y_2^2（θ，φ）=1/4sqrt（（15）/（2pi））sin^2thetae^（2iphi）
(26)
Y_3^（-3）（θ，φ）=1/8sqrt（（35）/pi）sin^3thetae^（-3iphi）
(27)
Y_3^（-2）（θ，φ）=1/4sqrt（（105）/（2pi））sin^2thetacothethetae^（-2iphi）
(28)
Y_3^（-1）（θ，φ）=1/8sqrt（（21）/pi）sintheta（5cos^2θ-1）e^（-ifi）
(29)
Y_3^0（θ，φ）=1/4平方米（7/pi）（5 cos^3 theta-3 costheta）
(30)
Y_3^1（θ，φ）=-1/8sqrt（（21）/pi）sintheta（5cos^2θ-1）e^（iphi）
(31)
Y_3^2（θ，φ）=1/4sqrt（（105）/（2pi））sin^2thetacothethetae^（2iphi）
（32）
Y_3^3（θ，φ）=-1/8sqrt（（35）/pi）sin^3thetae^（3iphi）。
(33)

根据以下条款编写笛卡尔坐标,

e^（iphi）=（x+iy）/（平方（x^2+y^2））
(34)
θ=sin^（-1）（平方（（x^2+y^2）/（x^2+y^2+z^2））
（35）
=cos^（-1）（z/（平方（x^2+y^2+z^2））），
（36）

所以

Y_0^0（θ，φ）=1/21/（平方米（pi））
(37)
Y_1^0（θ，φ）=1/2平方（3/pi）z/（平方（x^2+y^2+z^2））
(38)
Y_1^1（θ，φ）=-1/2平方（3/（2pi））（x+iy）/（平方（x^2+y^2+z^2））
(39)
Y_2^0（θ，φ）=1/4平方英尺（5/pi）（（3z^2）/（x^2+y^2+z^2）-1）
(40)
Y_2^1（θ，φ）=-1/2平方（（15）/（2pi））（z（x+iy））/（x^2+y^2+z^2）
（41）
Y_2^2（θ，φ）=1/4平方（（15）/（2pi））（（x+iy）^2）/（x^2+y^2+z^2）。
（42）

这个分区谐波定义为形式的

P_l^0（costheta）=P_l（costherta）。
(43)

这个tesseral谐波那些是吗属于表格

sin（mphi）P_l^m（cosheta）
（44）
cos（mphi）P_l^m（cosheta）
(45)

对于我=米.这个扇形谐波是属于表格

sin（mphi）P_m^m（cosheta）
(46)
cos（mphi）P_m^m（cosheta）。
(47)

另请参见

关联勒让德多项式,Condon Shortley阶段,相关系数,拉普拉斯系列,扇形谐波,固体谐波,球面谐波加法定理,球形的谐波微分方程,球形的调和闭包关系,表面谐波,Tesseral谐波,矢量球面谐波,分区谐波

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Polynomials/SphericalHarmonicY/,http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/SphericalHarmonicYGeneral/

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参考Wolfram | Alpha

球面谐波

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“球面调和。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html

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