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向量在形式上被定义为向量空间.在常见的向量空间 R^n（R ^n）（即欧几里德n个-空间),向量由下式给出n个坐标，可以指定为（A_1、A_2、…、A_n）。向量有时由它们具有的坐标数，因此是一个二维向量（x_1，x_2）通常称为双向量n个-维向量通常称为n个-向量,等等。

向量可以相加(矢量加法)，减去(矢量减法)并倍增通过标量(标量乘法).矢量乘法不是唯一定义的，而是许多不同类型的产品，例如点积,交叉积,和张量直积可以定义用于向量对。

一个点的向量A类到某一点B类表示为AB^->,和一个向量v（v）可以表示为v ^->,或更常见的，v（v）.重点A类通常称为向量的“尾部”，并且B类称为向量的“头”。一个单位向量长度称为单位矢量并且使用表示一帽子,v（v）^^.

当按组件写出时，表示法x个通常指x=（x_1，x_2，…）另一方面，当用下标书写时，符号x_1（或第1版)通常指x_1=（x_1，y_1，z_1，…）.

任意向量可以转换为单位向量除以规范（即长度；即幅度），

|v|=平方（v_1^2+v_2^2+…+v_n^2），
（1）

给

v^^=（v）/（|v|）。
(2)

A类零矢量，表示0，是长度为0的向量，因此所有分量都相等到零。

由于向量在下保持不变翻译，通常考虑尾部比较方便A类例如，在定义矢量附加和标量乘法.

向量也可以定义为n个数字A（_A）,...,自动（_n）根据规则进行转换

A_i^'=A_（ij）A_j，
(3)

哪里爱因斯坦总和符号已经已使用，

a_（ij）=（部分x_i^'）/（部分x_j）
(4)

是常数（对应于方向余弦)，对原始坐标和转换坐标进行偏导数轴，和i、 j=1,...,n个（阿夫肯1985年，第10页）。这使得向量a张量属于张量等级一个。一个向量n个称为的组件n个-向量，和a标量因此可以认为是一个1-向量（或0-张量秩 张量).向量在以下情况下不变翻译和他们反转时反转符号。类似向量但不反转符号的对象反转时称为伪向量.为了区分矢量来自伪向量，前者有时是打电话极向量.

向量表示为Wolfram语言作为数字列表{a1级,a2级, ...,一个}.矢量加法就是那个时候简单地用加号写，例如。，{a1级,a2级, ...,一个}+{b1号机组,b2型, ...,十亿},和标量乘法表示为将标量放在向量旁边（带或不带可选星号），秒{a1级,a2级, ...,一个}.

让n个^^成为单元矢量定义于球面坐标通过

n^^=[costhetasinphi；sinthetainsphi；cosphi]。
(5)

然后是x个-组件的n个^^在表面上单元球由提供

<n_x>=（int_0^（2pi）int_0^pi（costhetasinphi）sinphidphidtheta
(6)
=1/（4pi）[sintheta]0^（2pi）int_0^（2-pi）sin^2phidphi
(7)
=0
（8）

更一般地，

<n_i>=0
(9)

对于i=x,年，或z（z）（索引为1、2、3），以及

<n_in_j>=1/3增量_（ij）
（10）
<n_in_jn_k>=0
(11)
<n_in_kn_ln_m>=1/（15）（增量k增量lm+增量il增量km+增量im增量kl）。
(12)

给定向量一,b条,c（c）,d日,数量的平均值单元球由提供

<（a·n^^）^2>=1/3a^2
(13)
<（a·n ^^）（b·n ^^）>=1/3a·b
(14)
<（a·n^^）n^^>=1/3年
(15)
<（轴^^）^2>=2/3a^2
(16)
<（轴^^）·（轴^）>=2/3a·b，
(17)

和

=1/（15）[（a·b）（c·d）+（a·c）（b·d）]，
(18)

哪里增量（ij）是克罗内克三角洲,a·b是一个点积、和爱因斯坦总和已使用。

A类地图 f： R^n|->R^n分配每个x个一向量函数 f（x）称为矢量场.

另请参阅

列向量,逆变向量,协变向量,方向,四矢量,头部,亥姆霍兹定理,列表,n个-薄纱,n个-矢量,Null向量,一种形式,相量,极地的矢量,伪矢量,行矢量,标量,尾部,张索尔,单位矢量,矢量添加,矢量基础,矢量捆绑,矢量差,矢量字段,向量函数,矢量震级,向量范数,矢量空间,矢量减法,矢量总和,零矢量 在数学世界课堂上探索这个主题

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Arfken，G.《向量分析》第1章数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第1-84页，1985R·阿里斯。矢量，张量和流体力学基本方程。纽约：多佛，1989年。克劳，医学博士。A类向量分析的历史：向量系统概念的演变。纽约：多佛，1985年。吉布斯，J.W。和E.B.威尔逊。矢量分析：一本供数学和物理学生使用的教科书，成立在J.Willard Gibbs的讲座上。纽约：多佛，1960年。杰弗里斯，H.和Jeffreys，B.S。“标量和向量”第2章方法数学物理第三版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第56-851988页。马斯登，J.E。和Tromba，A.J。矢量微积分，第4版。纽约：W.H。弗里曼，1996年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H.“向量和张量形式主义”，第1.5节方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第44-54页，1953年。谢伊，H.M.公司。分区，梯度、卷曲和所有这些：向量微积分的非正式文本。纽约：诺顿，1973年。施瓦茨，M。；格林，S。；和W.A.Rutledge。矢量几何和物理应用分析。纽约：哈珀兄弟，1960明镜，M.R。Schaum的向量分析理论和问题概述及张量分析导论。纽约：Schaum，1959年。魏斯坦，E.W。“关于矢量的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Vectors.html.沃尔夫拉姆，美国。A类新型科学。伊利诺伊州香槟市：Wolfram Media，p1168,2002

参考Wolfram | Alpha

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“矢量”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Vector.html

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