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谐波级数


这个系列

 sum_(k=1)^infty1/k
(1)

称为调和级数。它可以显示给偏离使用整体试验通过与函数的比较1/x(1/x)然而,分歧很大慢。调和级数的发散性首先由妮可·德·奥雷斯梅证明(约1323-1382年),但被误放了几个世纪(哈维尔,2003年,第23页;德比郡2004年,第9-10页)。1647年,彼得罗·蒙戈利(Pietro Mengoli)和约翰(Johann)再次证明了这一结果伯努利于1687年创作,雅各布·伯努利随后不久创作(德比郡,2004年,第9-10页)。

进步表单的

 1/(a_1),1/(a_1+d),1/(a_1+2d),。。。
(2)

有时也称为调和级数(Beyer 1987)。

Oresme的证明通过取2、4、8、16……将调和项分组。。。项(在前两个之后),并注意每个此类块的总和大于1/2,

sum_(k=1)^(infty)1/k=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...
(3)
>1+1/2+1/2+1/2+...,
(4)

由于1/2的无穷和发散,调和级数也是如此。

调和级数的推广

 zeta(n)=sum_(k=1)^infty1/(k^n)
(5)

被称为黎曼-泽塔函数.

调和级数的前几个项之和由n个第个谐波

H_ n=总和(k=1)^(n)1/k
(6)
=γ+psi0(n+1),
(7)

哪里伽马射线Euler-Mascheroni常数psi0(x)迪伽马功能.

的唯一值n个对于其中H_ n是一个常规数字n=1、2和6(哈维尔2003年,第24-25页)。

需要的术语数量H_ n超过1、2、3。。。是1、4、11、31、83、227、616、1674、,4550, 12367, 33617, 91380, 248397, ... (组织环境信息系统A004080号;DeTemple和Wang,1991年)。使用分析形式表明2.5×10^8按条件计算,总数仍不到20。此外,为了达到大于100的总和1.509×10^(43)需要术语!写得很清楚术语数量为

 15092688622113788323693563264538101449859497
(8)

(Boas and Wrench 1971;Gardner 1984,第167页)。更一般地说,需要等于或超过的术语数10^1,10^2,10^3, ... 是1236715092688622113788323693563264538101449859497,1.10611511...×10^(434), ... (组织环境信息系统A096618号).

这个素数调和级数

 sum_(k=1)^infty1/(p_k)
(9)

接管全部素数 p_k(_k)也与渐近行为背离(Wells 1986,p.41)

 sum_(p素数)^x1/p=lnlnx+B_1+o(1),
(10)

(哈代1999年,第50页),其中B_1Mertens常数.

令人惊讶的是交替级数

 sum_(k=1)^infty((-1)^(k-1))/k=ln2
(11)

收敛到2的自然对数。交替级数部分和的显式公式如下所示

 sum_(k=1)^n((-1)^(k-1))/k=ln2+1/2(-1)*n[psi_0(1/2+1/2n)-psi_0(1+1/2n。
(12)

加德纳(1984)指出,这个级数永远不会达到整数和。

谐波系列

调和级数的部分和与两个相关级数一起绘制在上图的左图中。

和声系列BorweinSum

不知道该系列

 sum_(n=1)^infty((2/3+1/3sinn)^n)/n
(13)

收敛(博尔文等。2004年,第56页)。之后10^7术语,该级数大约等于2.163。


另请参见

交变谐波级数,算术级数,伯努利氏悖论,书籍堆叠问题,欧拉总和,Kempner系列,马德隆常量,Mertens常数,q个-谐波系列,齐普夫定律 在数学世界课堂上探索这个主题

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阿夫肯,G。物理学家数学方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第279-280页,1985阿塔纳索夫,K.T.’关于调和级数的注释。"牛市。Number Th.相关主题 10, 10-20, 1986.Beyer,W.H。(编辑)。CRC公司标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第8页,1987博厄斯,R.P。和扳手,J.W。谐波级数。"阿默尔。数学。每月 78, 864-870, 1971.博文,J。;Bailey,D。;和Girgensohn,R。实验数学:发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利:A K Peters,2004J.德比郡。底漆迷恋:伯恩哈德·里曼和数学中最伟大的未解决问题。纽约:企鹅出版社,第8-9页,2004年。德坦普尔,D.W。和王,S.-H.“调和级数部分和的半整数近似”数学杂志。分析。申请。 160, 149-156, 1991.M.加德纳。这个科学美国人的第六本数学游戏书。伊利诺伊州芝加哥:大学芝加哥出版社,第165-172页,1984年。G.H.哈代。拉马努扬:《关于他的生活和工作所建议的主题的十二讲》,第三版。纽约:切尔西,1999年。哈维尔,J.“谐波系列”,第2章在里面伽马射线:探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿:普林斯顿大学出版社,第21-25页,2003P.霍夫曼。这个只爱数字的人:保罗·埃尔德的故事与数学探索真相。纽约:Hyperion,第217页,1998年。Honsberger,R。《有趣的系列》第10章数学宝石II。华盛顿特区:数学。美国协会。,第98-103页,1976年。罗森鲍姆,B.“问题E46的解决方案。”阿默尔。数学。每月 41, 48,1934P.M.舒特勒。E.公司。“欧拉常数,斯特林常数近似和黎曼-泽塔函数。"内部。数学杂志。编辑科学。技术。 28, 677-688, 1997.新泽西州斯隆。答:。顺序A004080号在线百科全书整数序列的。"威尔斯,D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯:企鹅图书,第41页,1986年。

参考Wolfram | Alpha

谐波级数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“谐波级数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html

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