这个系列
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称为调和级数。它可以显示给偏离使用整体试验通过与函数的比较然而,分歧很大慢。调和级数的发散性首先由妮可·德·奥雷斯梅证明(约1323-1382年),但被误放了几个世纪(哈维尔,2003年,第23页;德比郡2004年,第9-10页)。1647年,彼得罗·蒙戈利(Pietro Mengoli)和约翰(Johann)再次证明了这一结果伯努利于1687年创作,雅各布·伯努利随后不久创作(德比郡,2004年,第9-10页)。
进步表单的
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(2)
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有时也称为调和级数(Beyer 1987)。
Oresme的证明通过取2、4、8、16……将调和项分组。。。项(在前两个之后),并注意每个此类块的总和大于1/2,
由于1/2的无穷和发散,调和级数也是如此。
调和级数的推广
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被称为黎曼-泽塔函数.
调和级数的前几个项之和由第个谐波数
哪里是Euler-Mascheroni常数和是迪伽马功能.
的唯一值对于其中是一个常规数字是、2和6(哈维尔2003年,第24-25页)。
需要的术语数量超过1、2、3。。。是1、4、11、31、83、227、616、1674、,4550, 12367, 33617, 91380, 248397, ... (组织环境信息系统A004080号;DeTemple和Wang,1991年)。使用分析形式表明按条件计算,总数仍不到20。此外,为了达到大于100的总和需要术语!写得很清楚术语数量为
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(8)
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(Boas and Wrench 1971;Gardner 1984,第167页)。更一般地说,需要等于或超过的术语数,,, ... 是1236715092688622113788323693563264538101449859497,, ... (组织环境信息系统A096618号).
这个素数调和级数
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接管全部素数 也与渐近行为背离(Wells 1986,p.41)
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(10)
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(哈代1999年,第50页),其中是Mertens常数.
令人惊讶的是交替级数
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(11)
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收敛到2的自然对数。交替级数部分和的显式公式如下所示
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(12)
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加德纳(1984)指出,这个级数永远不会达到整数和。
调和级数的部分和与两个相关级数一起绘制在上图的左图中。
不知道该系列
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收敛(博尔文等。2004年,第56页)。之后术语,该级数大约等于2.163。
另请参见
交变谐波级数,算术级数,伯努利氏悖论,书籍堆叠问题,欧拉总和,Kempner系列,马德隆常量,Mertens常数,q个-谐波系列,齐普夫定律 在数学世界课堂上探索这个主题
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工具书类
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谐波级数
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“谐波级数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html
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