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p-adic数


A类第页-adic数是理性领域这样的话同余权力固定的首要的 第页与所谓的"第页-阿迪奇公制。"

任何非零 有理数 x个可以表示为

 x=(p^ar)/s,
(1)

哪里第页是一个质数,第页秒整数可除尽的通过第页、和一是独一无二的整数。然后定义这个第页-adic范数属于x个通过

 |x | p=p^(-a)。
(2)

还定义第页-阿迪奇规范

 |0 | p=0。
(3)

这个第页-自由基可能是亨塞尔(1897)在一篇论文中首先介绍的代数数的发展幂级数.第页-然后将adic数推广到估价由KürscháK于1913年创作。哈斯(1923)随后制定了哈斯原理,其中是的主要应用之一局部场理论。斯科利姆的第页-阿迪奇方法,用于攻击特定丢番图碱方程,是的另一个强大应用程序第页-adic数。另一个应用是定理谐波数 H_n(H_n)永远不会整数(除了氢-1). 类似的应用程序就是证明von Staudt-Clausen定理使用这个第页-阿迪奇估价,尽管技术细节有些困难。还有另一个应用程序Mahler-Lech定理.

理性的 x个具有“本质上”独特的第页-adic展开(“本质上”,因为零项可以始终在开头添加)

 x=总和(j=m)^inftya_jp^j,
(4)

具有米一个整数,阿吉这个整数介于0和之间第1页包含,和在何处收敛关于第页-阿迪奇估价。如果x=0阿姆=0,那么这种扩张是独一无二的。Burger and Struppeck(1996)表明第页首要的n个正整数,

 |不|_p=p^(-(n-A_p(n))/(p-1)),
(5)

其中第页-阿迪奇扩展n个

 n=a_0+a_1p+a_2p^2++a_Lp^L,
(6)

 A_p(n)=A_0+A_1++a_L。
(7)

对于足够大的n个,

 |不|_p<=p^(-n/(2p-2))。
(8)

这个第页-阿迪奇估价问导致第页-阿迪奇米制的

 d(x,y)=|x-y|p,
(9)

这反过来又导致第页-adic拓扑。可以看出,理性加在一起使用第页-阿迪奇公制,不要形成完成 米制的空间因此,可以建造该空间的完工属于第页-adic数问题_p定义为该已完成空间。

就像实数是否完成了理性 问相对于通常的绝对估值|x-y坐标|,的第页-adic数是问关于第页-adic估价|x轴|p. The第页-adic数在求解中很有用丢番图碱方程例如,方程式X^2=2很容易证明在现场没有解决方案2-adic数(我们只需对双方进行估值)。因为2-adic数字包含有理数作为子集,我们可以立即看到等式在中没有解决方案理性.所以我们有非理性的直接证明平方米(2).

这是在求解这些类型的方程时使用的一个常见参数:为了证明方程在问,我们表明它在延伸领域。再举一个例子,考虑X^2+1=0。此方程在中没有解问因为它在现实中没有解决方案对、和问是的子集对.

现在考虑相反的情况。假设我们有一个方程在对而且在所有问题_p对于每个首要的 第页.我们能得出这样的结论吗问? 不幸的是,总的来说,答案是不是,但有些方程的答案是肯定的。这样的方程式据说满足了Hasse原理.


另请参阅

Ax-Kochen同构定理,丢番图方程,最大的除法指数,谐波数,哈斯原理,本地字段,马勒-莱克定理,第页-adic整数,第页-阿迪奇标准,产品配方,估价,估价理论,Staudt-Clausen定理

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参考Wolfram | Alpha

p-adic数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“p-adic数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html

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