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对数


对数日志_bx对于基础 b条和一个数字x个定义为反向功能b条权力 x个即。,b^x因此,对于任何x个b条,

 x=log_b(b^x),
(1)

或同等标准,

 x=b^(log_bx)。
(2)
对数

对于任何基础,对数函数有一个奇点x=0在上图中,蓝色曲线是的对数基础2 (log_2x=lgx),黑色曲线是基础 e(电子)(该自然的对数 log_ex=lnx),红色曲线是基础10(第常见的对数即。,log_(10)x=logx).

注意,当对数基础表示为10对数在这本书中,关于计算器和初等代数微积分教科书、数学家和高等数学课本统一使用符号对数意思是液化天然气,因此使用对数_(10)x意思是说普通对数.极度小心因此在查阅文献时需要。

由于数字理论家(例如Ivić2003)通常使用符号,情况变得更加复杂对数kx表示嵌套的自然对数 自然对数。。。ln_()_(k)x.

Wolfram语言,底的对数b条实现为日志[b条,x个],同时日志[x个]提供了自然对数即。,日志[E类,x个],其中E类Wolfram语言的符号e(电子).

而三角函数的幂是用如下符号表示的正弦^kx,对数^kx不太常用于表示法(对数)^k.

对数用于科学和工程的许多领域,其中的量在很大范围内变化。例如,声音响度的分贝尺度、地震震级的里氏尺度和恒星亮度的天文尺度都是对数尺度。

衍生品和不定积分属于日志_bz由提供

d/(dz)log_bz=1/(zlnb)
(3)
intlog_bzdz=(z(lnz-1))/(lnb)+C。
(4)
LogReImAbs公司
分钟 马克斯
重新
伊姆河 由webMathematica提供支持

对数也可以定义为复杂的参数,如上所示。如果取对数作为正向函数,则取这个基础到给定的权力就是那个时候调用了反对数.

对于x=对数,|_x个_|被称为特征,x-|_x_|被称为尾数.

对数的除法和乘法恒等式可以从恒等式中导出

 xy=b^(log_bx)b^。
(5)

具体来说,对于x、 y,n>0,

log_b(xy)=log_bx+log_by
(6)
log_b(x/y)=日志_bx-log_by
(7)
日志bx^n=nlog_bx。
(8)

有许多属性可以用来改变一个对数基础另一个,包括

一=a^(log_ab/log_ab)
(9)
=(a)(log_ab))
(10)
=b^(1/log_ab)
(11)
对数(_ba)=1/(log_ab)
(12)
日志_bx=log_b(y^(log_yx))
(13)
=日志yxlog_by
(14)
日志_bx=(log_nx)/(log_nb)
(15)
一个^x=b^(x/log_ab)
(16)
=b^(xlog_ba)。
(17)

对数的一个有趣特性来自于寻找一个数字年这样的话

 log_b(x+y)=-log_b(x-y)
(18)
 x+y=1/(x-y)
(19)
 x^2-y^2=1
(20)
 y=平方(x^2-1),
(21)

所以

 log_b(x+sqrt(x^2-1))=-log_b(x-sqrt。
(22)

另一个持有任意身份的相关身份0<c<a由提供

 log((a+sqrt(a^2-c^2))/c)=1/2 log(a+sqlt(a^2-c^2,)/(a-sqrt,a^2-c,2))。
(23)

数字表单的 日志_ ab不合理的如果一b条整数其中一个有首要的另一方缺乏的因素。A.贝克在年向前迈出了重要一步超越的证明数和超越性的理论属于表格 α-β对于阿尔法贝塔 代数数.


另请参见

反对数,底座,普通对数,科罗拉多地峡,e(电子),指数功能,调和对数,液化天然气,自然对数,对数级数,对数,纳皮尔语对数,自然对数,嵌套对数,电源 在数学世界课堂上探索这个主题

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Abramowitz,M.和Stegun,I.A。(编辑)。《对数函数》§4.1手册《数学函数与公式、图形和数学表》,第9次印刷。纽约:多佛,第67-69页,1972年。Beyer,W.H。“对数。”CRC公司标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第159-160页和2211987年。康威,J.H。和盖伊·R·K。“对数。”这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第248-2521996页。伊维奇,A.“关于Erdős涉及最大素因子的问题n个2003年11月5日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0311056.帕帕斯,T.“地震和对数。”这个数学的乐趣。加利福尼亚州圣卡洛斯:Wide World Publ/利乐,第20-21页,1989Spanier,J.和Oldham,K.B。“对数函数单位(x).“Ch.25英寸功能地图集。华盛顿特区:《半球》,第225-232页,1987年。

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“对数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/对数.html

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