猫道、沙阶和帕斯卡金字塔

整数序列杂志，第3卷（2000年），第00.1.6条

猫道、沙阶和帕斯卡金字塔

理查德·盖伊
数学与统计系
卡尔加里大学
加拿大阿尔伯塔省卡尔加里T2N 1N4
电子邮件地址：rkg@cpsc.ucalgary.ca

摘要：1991年，作者研究了一类格点路径以一种不寻常的方式与加泰罗尼亚数字联系在一起。不久之后，这些结果的组合证明由独立的Kreattehaler和Sagan，并作为附录包含在这里。还有一个广泛的注释书目。

编辑注释：虽然整数序列百科全书包含大量参考文献，最初写于1991年，以前从未有过已发布。此更新版本包含在整数日记帐序列应编辑的邀请。

1.简介

比尔·桑兹[9，在陈述问题时没有结果（1）]注意到不同步行次数n个格子之间的台阶点，每个点位于N、S、E或W方向，从原点开始保持在上半平面，是

并要求提供简短的证据。需要的是一个简单的“选择”论点。这是顺序A001700号英寸[10]：我的第一个尝试是通过公式归纳

因为走了很长一段路n个是四步中的一步N、S、E或W方向，超过步行距离n个-1，除了如果步行距离较长，则不允许向南走n个-1终止于这个x个-轴，众所周知，这种行走的次数是n个-第个加泰罗尼亚数字。

但确实如此不众所周知！这在31人中没有发生Kuchinski列出的症状[6]我们也不能马上查看walks和任何表现形式。然而，首先让我们假设这是真的，并且（1）与保持n个-1代替n个.然后

eqnarray24

什么是众所周知，步行次数为2n个步骤，每个N或E，从（0,0）到(n个,n个)不穿过对角线的年=x个,或步行2次n个+从（0,0）到的2步(n个+1,n个+1）其中严格保持在对角线上方，的n个-第个加泰罗尼亚数字。这显然与2次步行的次数相同n个上的步骤积极的x个-轴，从原点开始和结束。

2.一维问题

让我们来看看这个一维模拟的Sands问题。我们可以展示行走次数，周(n个,x个)，第页，共页n个单位步数，从开始（0,0）和结束于(x个,0),，在“Pascal半三角形”中（图1）。

图36
图1：行走次数，周(n个,x个)，正面x个-轴。

柱x个=0和x个=1包含加泰罗尼亚数字，序列A000108号，正如已经获得的；柱x个=3（顺序A002057号)也发生在划分多边形时[1]. 柱x个=2,4,6,8,10,12为序列A000245型,A000344号,A000588号,A001392号,A000589号,A000590号英寸[10]：他们是拉普拉斯变换系数：更精确地说，周(2n个,2k个)表示为[7]由，定义如下：

大概有一个类似的公式周(2n个+1,2k个+1); 比较方程式（11）。柱x个=5、7、9为序列A003517号,A003518号,A003519号.图1中右侧所示的行和是中心二项式系数，A001405号.（图1中的数字三角形现在形成序列A008315号和A052173号英寸[10]，这里指的是加泰罗尼亚三角。另请参见序列A047072号.)

凯利论文中的第一张表格[1]表示的是的分区第页-gon进入k个通过不相交的对角线进行分割。他的专栏k个=1是我们的主对角线，而他的列k个=2是我们的第三对角线（从(n个,x个) = (4,0)). 一般来说，他的专栏k个我们的对角线是从（2）开始的吗k个，0），除了他的条目包含额外因子(x个+k个-2)!/(x个+1)!(k个-2)!, 广义加泰罗尼亚语数字：事实上x个=k个-2是的.凯利将他的结果到[4]和[11]：后一篇论文给出了一些历史，提到了特尔奎姆、拉梅、罗德里格斯、比奈和加泰罗尼亚语。

我们省略了周(n个,x个)从我们的表格中：很明显周(n个,x个)=0，如果n个和x个奇偶性相反，或者如果x个>n个.它不是很难找到前几个对角线的公式：

事实上，对于中的所有条目，都有一个相对简单的公式图1：

哪里的确，公式（4）也适用于如果我们采取合理的方式，上述假冒案例解释为如果第页<0，或如果n个<第页，或者如果第页是不是整数。我们应该这样做：注意通常的公式，例如

（13）在这些情况下仍然有效。公式（4）很容易被证明诱导，自

eqnarray88号

我们提到的众所周知的结果是特例

总数，周(n个)，长度为n个是

eqnarray100

哪里n个-2k个=0或1，根据n个偶数或奇数：即。

这里很明显，偶数长度的步行次数只有两倍（奇数）长度小于1的行走次数：

对于奇数长度的行走，是否有一个简单的“choice”参数？如果你``知道“”加泰罗尼亚数字结果，然后我们可以使用类似于公式（2）：

eqnarray埃克纳雷116

但这有一种循环的气氛，或者最多可以使用用大锤敲开螺母。

3.二维问题

回到原来的问题：如果我们深入研究，我们可以解决它细节超出大多数人的期望。数字，,的人行道n个从（0,0）到的步骤(x个,年)，保留在半平面，可能会在“帕斯卡半金字塔”中展出其层如图2所示。

图124

图2：Pascal半金字塔的层：的值.

如果我们对图2各层中的行求和，我们就得到了数字，，共条步行道n个从（0,0）开始到距离结束的步数年来自x个-轴。如图3所示。我们将看到特殊情况是，正如我们已经了解的那样，

图247

图3：图2的行和：的值.

（图2中的数字三角形现在形成序列A039598号和A050166号英寸[10].)

反过来，图3的行和是总数，，第页，共页沙地步行长度n个它们列于图3的第二列，我们将确认我们之前的另一项声明：

冒着失去一些有趣的启发式的风险，我们再次跳到结论

哪里,.

明显的对称性反映在公式（9）中，自从改变了符号x个等同于交换第页和秒也很明显
（a）如果n个+x个+年那就奇怪了第页,秒不是整数，并且
（b）如果|x个|+年>n个，则至少有一个第页,秒为负值，
所以在这两种情况下，

我们可以从递归（10）归纳地证明（9），它表明最后一步是N、S、E或W：

注意，五项中三个参数的总和都是相同的平价。如果这是奇数，那么所有项都是零。但如果(第页,秒)是整数，然后是四项的对应值（10）右边是

(第页,秒), (第页-1,秒-1), (第页-1,秒), (第页,秒-1)

如果我们假设公式（9）适用于n个-1代替n个，然后（10）收益率

eqnarray埃克纳雷282

经过一些或多或少繁琐的操作，它变成了公式（9），取决于一个人的创造力或符号操纵者。

要查找，总和（9）超过x个:

eqnarray公司304

两个括号是和，共在里面的扩展，因此

可以改写为

将此与（4）进行比较后，我们发现

当然，完成奇数长度一维行走的次数，在距原点奇数距离处。

特别是，（7）与从（0,0）到的行走次数相同(n个,n个+1）从一个向北的台阶开始，不越过这条线从头到尾连接，周(2n个+1,1），即

eqnarray330型

的(n个+1）第个加泰罗尼亚数字。

最后，求和（11）年=0至年=n个给出了（8）。

4.在正象限行走

我们可以就不会迷路的步行提出类似的问题在正象限之外。这样的行走次数现在形成一个``帕斯卡四棱锥“，如图4所示。

图339

图4：Pascal四分锥的层：值.

图4中的条目同样没有动机，由

哪里,和以前一样。通知交换x个和年保持秒修复并替换第页通过n个-第页所以对称性

遵循对称

我们可以像我们证明的那样证明（12），因为也满足关系（10）。

一个惊人的巧合是

是2上的不等哈密顿根映射数k个顶点（顺序A000356号英寸[10])尽管是塔特[12]没有给出以加泰罗尼亚语数字表示的公式。还有其他机会吗为了一个纯粹的组合证明？

图462

图5：图4的行总和：的值.

图5是通过对图4中的行求和得到的，我们可以发现，在正象限中完成的行走次数距离年来自x个-轴，通过求和（12）x个=0至x个=n个-年.

方程式477

如果n个-年是偶数，但最后一个词替换为

如果n个-年很奇怪。

放置n个-年= 2k个或2k个+1和

特别是，如果年= 0,

eqnarray508号

根据n个= 2k个或n个= 2k个+1，其中是k个-第个加泰罗尼亚数字。

（图5的前几列产生序列A005558号,A005559号,A005560美元,A005561号,A005562号;三角形本身给出A052174号.)

5.曼哈顿指标

对于在正象限行走，它更自然、对称询问在不同距离处终止的步行次数原点，使用“曼哈顿公制”，x个+年=n个-2秒图6显示图4中对角线的和。

图522

图6：图4的对角线和：.

图6中的条目为

eqnarray539号

除以下较小值外秒，截断的二项式展开式不似乎有一个简单的闭合形式：

eqnarray550型

一个有趣的好奇心是（序列A036799号和A000337号)是该属的两倍(n个+2） -多维立方体[8，或参见中的定理14三].

步行总次数，(A005566号)，图6中的左侧列有，另一方面，相对简单的公式

这似乎又需要一个简单的证明。

图6中的列给出了顺序A005568号和A005569号;对角线给出A000079号,A036799号和A005567美元;三角形本身就形成了A052175号和A052176号.

如果二维行走没有限制，即如果可能会在x个-和年-轴，那么它是公平的很容易看出它们的长度n个，从（0,0）到(x个,年)，是

哪里第页和秒与之前相同，但使用绝对值计算的值x个和年.

当然，步行总长度n个是.

6.三维问题

虽然我们肯定还没有找到最具美学意义的证据最终结果的相对简单性促使我们问发生在三维空间。让是的行走次数n个步数，从（0,0,0）开始，沿N、S、E、W、向上或向下方向至(x个,年,z（z）)永远不会低于(x个,年)-平面。我们不会的试图描绘四维“帕斯卡半金字塔”，但它的层数总和现在给出，终止的行走次数在高处z（z）位于(x个,年)-平面，这满足递归

可用于生成图7的阵列。

图7中的每个条目是该条目的四倍总和上面和入口的两个邻居，例如。

图581
图7：三维漫游：值.

（图7中的行总和给出A005573号;这些列给出了A005572号,A052177号和A052178号;三角形本身就形成了A052179号.)

我们再次隐瞒了发现通式的细节，并且归纳证明：这些细节似乎比之前，我们没有发现加泰罗尼亚数字的明显表现。最简单的表达式我们迄今为止发现的不是封闭形式：

哪里以及系数属于形状

当然，对于较小的值，也有封闭形式的表达式属于五:

eqnarray公司607

我们尚未找到的闭合表达式，总数散步n个不低于(x个,年)-飞机，我们也没有有机会审查这份文件[5]其中可能包含一个表达式，可能以其他方式与本文重叠。总计数量n个-台阶走进来d日尺寸，无限制，为当然，.

7.附录

本附录来源于与Christian Kratethaler和布鲁斯·萨根（Bruce Sagan）和裁判对原作的报告（1991年）这份手稿的版本。

克里斯蒂安·克拉蒂海尔写道：“。。。格路类你已经考虑过了“以前似乎没有接受过治疗”。上另一方面，他和裁判都指出公式（15）出现了在定理2中[第1页]. 裁判还注意到公式（4）为英寸[铁]公式（9）、（11）、（12）和，很容易遵循（15）和反射原理。然而，令人兴奋的消息是Kratethaler供应几乎所有公式的组合证明对于，布鲁斯·萨根也给出了非常相似的证明。这个仍然缺少的主要项目是公式的组合证明.

证据在下文中进行了解释，也出现在

Richard K.Guy、Christian Krattenthaler和Bruce Sagan，《晶格之路》，反射和变维投影，Ars Combinatorica公司,34(1992) 3-15;先生 93i个:05008.

另请参阅：问题1517的解决方案，数学难题,17#4（1991年4月）119-122。

1.证明（15）.设置“NSEW”路径之间的对应关系，第页、和对(,)“NE”路径的：如果米-第个步骤属于第页是N、S、E、W，然后是米-第步，共步分别为N、 E、E、N和是N、E、N、E。然后是的“NSEW”路径n个从（0，0）到的步骤(x个,年)与对(,)“NE”路径的，其中从（0，0）运行到(第页,n个-第页)和从（0，0）到(秒,n个-秒)，其中和和以前一样。

[代数细节：如果N、S、E、W步数分别为一,b条,c（c）,d日，然后n个=一+b条+c（c）+d日,x个=c（c）-d日,年=一-b条,第页=b条+c（c）,n个-第页=一+d日,秒=b条+d日,n个-秒=一+c（c）和第页,秒如前所述。]

但从（0，0）到(k个,我)是，因此从（0，0）到的NSEW路径数(x个,年)是

即公式（15）。

2.（9）的证明。计算NSEW路径n个从（0，0）到的步骤(x个,年)不低于x个-轴，使用反射原则。我们必须减去穿过x个-轴。这些都有一个第一点，比如P（P），为此年= -1.关联初始部分操作在队列中年=-1，给出1-1交叉路径之间的对应关系x个-轴和路径（0，-2）到(x个,年). 它们的数量与路径已经计数，除了年被替换为年+2，即。，第页和秒每个都减少了1。由此得出公式（9）：

3.（12）的证明反射也可用于计数保持在正象限的NSEW路径。第二次释放x个=-1和包含-排除原则表明数字是

#{从（0，0）到的路径(x个,年)} -#{从（0，-2）到的路径(x个,年)} -#{从（-2，0）到的路径(x个,年)} +#{从（-2，-2）到的路径(x个,年)}

它很容易操作到公式（12）中。

4.（11）的证明.要计算沙子类型的路径，第页,哪个在高度结束年，使用与NE路径的另一个对应关系，长度的两倍。如果米-第步，共步第页为N、S、E、W，然后是（2米-1） -th和2米-第步，共步分别是NN、EE、NE、EN。这将在NSEW路径之间建立一个双射n个步骤从（0，0）到高度年不穿过x个-轴和NE路径从（0，0）到(n个-年,n个+年)不越界的年=x个-1.要列举这些，请再次使用反射原理。这条路越过这条线年=x个-1有第一分问对于其中年=x个-2.反射该部分运营质量这条线路上有这样一条路年=x个-2.这给与NE路径2的对应n个步骤从（2，-2）到(n个-年,n个+年)他的号码是。这确认了显示在公式（11）之前的公式。要看到（11）本身，请连接a到路径起点的单个N阶然后再次应用反射原理。

请注意，如果我们还将最后一个E步骤连接到路径我们明白了沙型路径的数量n个步距（0，0），其中完成x个-轴与NE行走次数相同（0，-1）至(n个+1,n个)不越界的年=x个-1，还有这个众所周知.

5.（1）的证明.首先使用的对应关系4以映射第页（砂类，n个从（0，0）到高度的步数年，不穿过x个-轴）到（NE路径，2n个+距离（0，-1）1步至(n个-年,n个+年)，不交叉年=x个-1). 考虑最后一次会议的点具有年=x个-1.下一步是N步，我们将其更改为E步骤，获得从（0，-1）到的新路径(n个-年+1,n个+年-1). 重复此过程，这次考虑到与线路的最后交会点年=x个-2.接下来考虑这条线年=x个-3和c.之后年将我们到达的路径从（0，-1）更改为(n个,n个). 因为这在NE路径之间设置了一个2的双射n个+1步数从（0，-1）开始，但不跨越该线年=x个-1和NE从（0，-1）到的路径(n个,n个)（最后的会面点成为第一交叉点！），我们得到了n个步骤，

8.注释书目

项目按作者姓名的字母顺序列出。那些有纯数字标签，例如。，1.阿瑟·凯利（Arthur Cayley）是1991年原始文章的参考文献。

方括号中的项目是本方的评论作者或引用自数学评论.

答：。D.André，解决问题的直接方法M。伯特兰，C.R.学院。科学。巴黎 105(1887)436-437; 杰布赫19, 200.

[参见。地下一层和泽.]

答2：。乔治·E·安德鲁斯，加泰罗尼亚数字，q个-加泰罗尼亚数字和超几何级数，J.组合理论系列。A类 44(1987) 267-273; 先生88英尺:05015.

[加泰罗尼亚数字可以定义为（1）的解,,n个> 0. 作者介绍了一个新的q个-猫的模拟,…和更一般的数字并给出了两个证明,n个> 0. 他还建立了显式公式他注意到他的q个-猫是只有已知的q个-猫的模拟，两者都有一个简单的表示为有限乘积并满足精确q个-模拟第页，共页（1）。他也会翻译和作为某些分区数的生成函数。穆拉德·E.H.伊斯梅尔]

B1。T.Bertrand，解决问题，C.R.学院。科学。巴黎 105(1887) 369.

[参见。A1类和泽.]

B2中。M.T.L.Bizley，数字新公式的推导从（0,0）到的最小格路径(公里,千牛顿)只是t吨与线路接触我的=nx（纳克斯）没有比这更高的分数了线路；格罗斯曼路径数公式的证明可能会碰到但不会超过这条线，J.Inst.Actuar公司。,80(1954) 55-62; 先生15，846天。

[写入对于具有t吨触点（如上所述）在标题和后面第五集团，写入

那么作者的新公式可以表述为

对应的公式，即

相当于格罗斯曼公式。。。J.里奥丹][大概是求和结束了t吨.]

B3页。David Blackwell和J.L.Hodges，初级路径计数，阿默尔。数学。每月,74(1967) 801-804;Zbl.公司。155，第29页c。

[考虑一个序列, ...,包含条目,然后让是部分和。作者提供两个已知定理的基本组合证明关于此类序列相对于两个序列的枚举参数：总和以及领先优势或指数数量我对于这两者和为非负。H.H.克拉波]

加利福尼亚州。L.Carlitz和J.Riordan，二元晶格置换数字及其q个-概括，杜克大学数学。J。,31(1964) 371-388; 先生29#5752.

[二元晶格置换可以用作为从（0,0）到点的路径的二维晶格(米,n个)（其中)条件是具有最小长度，即。，米+n个，并且它不包含点(一,b条)带有一<b条。它也可以被描述为选举两名候选人A类,B类经最后表决(n个,米),也就是说，没有一个部分结果是多数对于B类（在论文中，不太准确地说部分结果正确预测了获胜者）。数字确定了这种二元晶格排列1887年J.Bertrand[地下一层，请参阅妈妈]作为

作者认为并证明这一点这n个次多项式的特征是那个有表单，其中还是一个n个次多项式；实际上，。导出了许多关系对于生成函数.

作者认为这些公式是特例(q个=1）第页，共页一q个-概括。他们定义了n个次多项式根据存在的条件, ...,使得

哪里表示.系数我们从几个方面研究了这一多项式。

{评论员评论道具有以下功能组合解释：它是所有，其中, ...,是整数根据条件,, ...,.}N.G.de Bruijn公司]

1Arthur Cayley，关于多边形的分割，程序。伦敦数学。Soc公司。 22（1891）237-262=科勒。数学。论文13(1897) 93-113.

词。J.Cigler，关于加泰罗尼亚家庭的一些评论，欧洲人J.Combin。,8(1987) 261-267; 先生89安:05010.

[作者首先给出了一个简单的证明，即第页-加泰罗尼亚数字是括号的方式数一个第页-的ary积(第页-1)n个+1个因素，或等效的数量第页-杏树n个点。接下来，他用Dvoretzky-Motzkin循环引理的变体，即第页-杏树n个点和从一个点到它的边我第个子树，其中，是.从此处公式he推导出非负路径数从（0,0）至(rn公司，0）具有k个+1峰值，使用步长（1,1）和（1,1-第页),是广义Runyon数最后，他讨论了这些结果、非交叉分区和斯伯纳定理。伊拉·盖塞尔]

C0。E.Csáki，关于一维随机游走，马扎尔·图德。阿卡德。马特·库塔托国际有限公司。,6(1961), 281-286; 先生26#5642.

[考虑一个离散的一维随机游走，其中通常的符号，，并让是通过该点的通道数k个散步j个步骤。写入. The证明了以下结果。（i）对于，并且是如果我=0.（ii）对于固定正偶数k个,（iii）对于固定正奇数k个,.证据完全组合。J.吉利斯]

C1。Endre Csáki和Sri Gopal Mohanty，一些联合发行对于条件随机游走，加拿大。J.统计。 14(1986)19-28; 先生8.7万:60168.

[最大值、最小值及其指数的联合分布为为某些称为Bernoulli的条件随机游动确定远足和伯努利蜿蜒。当地的分布这些过程的时间由生成函数处理技术。也给出了极限分布，前提是布朗漂移和曲流的部分结果。对于例如，作者推测了联合极限分布本地时间和这两个进程的最大值。对无条件随机行走和伯努利大桥。G.卢查德（布鲁塞尔）]

C2中。Endre Csáki，斯里兰卡Gopal Mohanty&Jagdish Saran，On在平面上随机行走，Ars Combin公司。 29(1990) 309-318.

C3。E.Csáki和I.Vincze，关于高尔顿试验，马扎尔·图德。阿卡德。马特·库塔托国际有限公司。,6(1961), 97-109; 先生26#3138.

[作者给出了相对波数的概率以总和的顺序指向水平线的第一我随机序列的成员n个+1和n个-1个，哪里我= 1, 2, ..., 2n个，在和的联合概率分布上述波数和高尔顿统计在具有极限分布的序列中。然后他们给波浪数的联合概率分布相对于高度k个>水平线和超过该高度所花费的时间长度，用具有极限的定义明确的序列中的正成员分配。他们建议根据这些进行统计测试两样本问题中的定理。C.林下（东京）]

补体第四成份。E.Csáki和I.Vincze，关于一些相关分布根据弧线定律（俄罗斯摘要），马扎尔·图德。阿卡德。马特·库塔托国际有限公司。,8(1963), 281-291; 先生29#4078.

[一些结果扩展了评审员和Feller的结果，以及由E.S.Andersen推广，给出了。组合公式是通过一对一的对应获得的，从中可以得到渐近的已计算。例如，让,我= 0, 1, 2, ..., 成为有赌注的铸币游戏中的连续和,,然后让表示索引的数量我对于其中之一或但是，其中k个是非负整数；然后

显示器2436

K.L.Chung公司

判定元件。Nachum Dershowitz和Schmuel Zaks，循环引理和一些应用程序，欧洲人J.Combin。,11(1990) 35-40.

D1。Duane W.DeTemple和Jack M.Robertson，同样可能修复图中的长度路径，Ars Combin公司。 17(1984) 243-254;先生86小时:60103.

[给出了原始论文中的方程式（15）。][作者研究了唯一的随机过程实现是一组给定长度的路径连接两个给定图的给定顶点，其属性为所有这些路径都同样可能发生。有一个应用于实验设计。G.R.格栅（布里斯托尔）]

D2。Duane W.DeTemple、C.H.Jones和Jack M.Robertson，晶格路径计数公式的修正，Ars Combin公司。 25(1988) 167-170; 先生89个:05017.

[给出了原始论文中的方程式（15）。][输入第1页，DeT&R给出了公式

对于平面长度中的晶格路径数d日，使用正负坐标方向上的单位步长，从起点到终点(一,b条)哪一个触线x个=基尔只有在初始点。在本文件中作者注意到，如果d日=一+b条,一-千字节= 1,或k个= 1; 在其他情况下，这是一个上限。

作者使用循环排列或“穿透”的方法分析“”是由于数字电视.一种方法，可以产生精确的，但这类问题的复杂公式在G1号.伊拉·盖塞尔]

2C.Domb，关于晶体中的合作现象理论，物理学进展 9(1960) 149-361.

数字。A.Dvoretzky&Th.Motzkin，安排问题，杜克大学数学。J。,14(1947) 305-313; 先生9，75e。

[……在选举中，候选人P（P）和问接收第页和q个分别投票；需要的概率是投票比例P（P）到那些问将，贯穿始终计数，大于（大于或等于）.]

E.公司。O.Engleberg，关于限制性随机行走，J.应用。概率,2(1965) 396-404;先生32#475.

[受限制的随机行走在一条线上（垂直于方便性）带有单位升降和规定的数字每个。用Feller的术语[铁]这样的散步是一种从（0,0）到的多边形路径(n个+米,n个-米); 它也是一对一的与两位候选人的通信选举结果及最终投票(n个,米). 在选举回报方面，作者的主要结果是如下：如果c（c）(x个;n个,米)是选举结果的枚举器经最后表决(n个,米),，通过导线的变化次数，如果t吨(x个;n个,米)是对应的枚举数（按连接数），然后,n个>米,c（c）(x个;n个,n个) = 2c（c）(x个;n个,n个-1),,哪里

数字是最古老的选票号码。（适用于n个<米，两个中的枚举数根据对称性，这些情况是上面的n个和米互换，这是作者没有注意到的结果。）这些结果用明显的总和来验证Feller的结果[Fd公司]对于无限制随机游动的枚举轴交叉数和零点数多边形路径）。此外平局回报(n个=米)已确定。最后，应用程序两个经验分布的比较结果已绘制。

{在等式（11）中有两个印刷错误对大多数读者来说，更正可能是显而易见的。}J.里奥丹]

Fd.公司。W.Feller，零的数量和符号变化的数量对称随机行走，任命数学。(2),三(1957)229-235; 先生20#4329.

[让其中是独立的，并且假设这些值有可能.作者导出了对称随机游动的显式公式返回原点次数的概率分布，符号和其他相关数量的更改次数。这个推导是非常基本的，本文是独立的。第三章介绍了更详尽的处理方法第2版铁(1957).J.L.斯内尔]

铁。W.Feller，概率论及其导论《应用》，第1卷，威利出版社，1968年，第73页

[参考文献给出了原始论文中的方程式（4）。第82页指出是长度的路径数2n个正好有2个k个上面的台阶年=x个第96页上给出了从（0,0）到的路径之间的双射(k个,k个)和长度路径2k个下面不通过年=x个.]

佛罗里达州。Philippe Flajolet，组合方面（续）分数，离散数学。,32(1980) 125-161;离散数学。,9(1980) 217--222; 先生82页：05002ab。

[在审查中提及G3（G3）.]

傅。J.Fürlinger和J.Hofbauer，q个-加泰罗尼亚数字，J.组合理论系列。A类,40(1985) 248-264;先生第87页:05017.

[加泰罗尼亚数字由定义并满足和.本文调查几个q个-加泰罗尼亚数字的类比。作者首先考虑q个-加泰罗尼亚数字钙.这些满足

和

没有简单的显式公式，但有关于某些倒置的组合解释0-1序列。

接下来，作者考虑q个-加泰罗尼亚数字由

显示器2542

其中条款是q个-Runyon数字。这里有一个定义和是q个-二项式系数。对于这些减少到.这些q个-加泰罗尼亚数字满足

显示器2558

哪里，他们有一个根据主要指标和0-1序列的下降。

概括包括两种类型q个-加泰罗尼亚数字接下来考虑。这些满足了

显示器2564

并给出了组合解释。它们还包括作为特例q个-年研究的加泰罗尼亚语数字Po公司.伊拉·盖塞尔]

Fv.（预测值）。Harry Furstenberg，有限域上的代数函数，J.代数,7(1967) 271-277; 先生35#6655.

[在审查中提及G1号.]

G1页。Ira M.Gessel，形式Laurent级数的因式分解晶格路径枚举，J.组合理论系列。A类 28(1980) 321-327; 先生81焦耳:05012.

[对某种形式的Laurent的强大而引人注目的因子分解证明了级数，即级数是常数、仅负幂级数和仅积极的力量。拉格朗日级数回归公式为视为应用程序。其他应用程序是限制格路径的枚举问题（一种新方法组合理论中洛朗级数的解释）和H.Furstenberg定理[Fv公司]a的对角线两个变量的有理幂级数是代数的（给出一个证明某些级数是代数级数的新形式方法。D.G.罗杰斯]

G2。Ira M.Gessel，晶格路径的概率方法枚举，J.统计。计划。推断 14(1986) 49-58;先生87小时:05017.

[一些晶格路径计数问题可以转换为随机游动分布的导出问题上升到函数方程。这些方程的解提供格路径枚举的概率方法问题。通过几个例子说明了这种方法。斯里兰卡戈帕尔·莫汉蒂]

G3。Ira M.Gessel，关于多变量拉格朗日反演公式，J.组合理论系列。A类 45(1987) 178-195;先生88小时:05011.

[使用指数生成函数，作者给出了一个多变量Lagrange的一种形式的组合证明反演公式（MLIF）。证明的大纲是：（1）将定义函数关系解释为生成彩色树的函数，（2）解释所需的系数作为函数的生成函数将一个集分解为一个更大的集，（3）分解函数有向图从（2）分为两种类型的连接组件，其生成函数给出MLIF。Labele曾这样说过一个变量的证明[L（左）].

作者还对所给MLIF的形式进行了有益的调查雅各比、斯蒂尔特杰斯、古德、乔尼和阿比扬卡。他展示了雅各比的形式暗示了善的形式，并给出了一个简单的概括了斯蒂尔特杰斯、乔尼和阿比扬卡的观点。

这篇论文包含了一些关于雅各比的历史信息矩阵公式，det-expA类=exp跟踪A类.丹尼斯·斯坦顿]

去吧。亨利·古尔德（Henry W.Gould），《范德蒙德的最后分析》卷积，阿默尔。数学。每月,64(1957) 409-415; 先生19，379c。

[在审查中提及拉.]

GJ公司。I.P.Goulden和D.M.Jackson，路径生成函数和连分数，J.组合理论系列。A类,41(1986) 1-10; 先生第87页:05020.

[作者考虑沿非负整数的路径，其中每一步包括高度增加1（上升），0（水平）或-1（下降）。对路径进行加权以记录每个高度的上升和水平数。主要结果论文的回答了以下问题：给定起始端和终止端的所有路径的权重高度，以及最大和最小高度的给定界限？答案用连分数和推广了P.Flajolet的连分式组合理论[飞行高度层]. 连分式的一些经典恒等式作为推论获得。Ira Gessel公司]

第四组。Dominique Gouyou-Beauchamps和G.Viennot，二维有向动物问题与一维路径问题，申请中的预付款。数学。,9(1988) 334-357; 先生90摄氏度:05009.

[一套P（P）平面中的格点称为有向动物，如果有一个子集P（P），其元素称为root点，使根点位于垂直于那条线年=x个，以及P（P）可以从根访问按路径指向P（P）只使用北台阶和东台阶。这个这篇论文涉及根深蒂固的动物的计数，这些动物的根点是连续的。只有翻译不同的动物被认为是等效。

主要结果是紧凑根动物之间的双射大小为n个+1和长度路径n个关于整数，使用步骤+1、0和-1。这个双射意味着根深蒂固的体型动物n个+1.此外双射法允许计算根深蒂固的动物根据根点数。进一步的后果是具有一个根的定向动物的生成函数要点是而且那个大小的定向动物数量n个根植于起源并包含在第一个八分之一是莫茨金数.

这篇论文还包含了许多关于物理学家工作的参考文献研究中出现的动物计数问题临界现象和相的热力学模型过渡。伊拉·盖塞尔]

G5。Howard D.Grossman，《格点乐趣》，脚本数学。,15(1945) 79-81; 先生12，665天。

[假设选举结果是公里投票赞成A类和千牛顿对于B类.可以投多少票，以便A类的投票总是至少米/n个次B类是吗？作者在没有证据的情况下给出了公式

具有,和所有分区的总和k个。他还提供了一个简短的介绍三维枚举并导出解决相应的选举问题，注意与MacMahon的协议。J.里奥丹]

上一页。B.R.Handa和Sri Gopal Mohanty，列举限制条件下的高维路径，离散数学。 26(1979) 119-128; 先生81b个:05012.

[作者考虑了在k个-空间受限。他们获得k个-两个熟悉结果的维类比尺寸。D.P.玫瑰]

下表2。B.R.Handa和Sri Gopal Mohanty，关于格的一个性质路径，J.统计。计划。推断 14(1986) 59-62;先生第87页:05023.

[作者对以下事实的格路径：的递增序列整数，以便j个这至少是b条(j个)大于的(j个-1） st，最多是一(j个)，是一对一的与递增序列的对应，以便j个第个最多是一(j个)减去第一个的总和j个 b条(k个)的。D.J.克莱特曼]

三。Frank Harary，图论中的拓扑概念，摘自Harary和Beineke，图论研讨会，Holt，Reinhart&Winston，纽约约克和伦敦，1967年，第13-17页。

你好。Terrell L.Hill，线性阵列的稳态动力学联锁反应、统计力学和统计理论与应用方法（Rochester NY），Plenum，纽约，1977年，第521-577页；先生57#15112.

[在审查中提及Sh公司; MR参考没有给出更多信息。]

J。安德烈·乔亚尔（AndréJoyal），《Une theéorie combinetoire deséries》福美尔群岛，数学高级。,42(1981) 1-82;先生84天:05025.

我们提出了形式幂级数的组合理论。形式幂级数的组合解释是基于结构种类的概念。绝对的该方法被用于公式化。凯利的一个新证明给出了标记树数量的公式，以及拉格朗日定理的一个新的组合证明（由G.Labele给出）反演公式。Pólya的同构枚举理论结构类别完全更新。的递归方法描述了计算循环指数多项式。组合阐述并证明了隐函数定理的版本。本文最后对余代数的使用作了一般性考虑组合数学中的“]

英国。S.Karlin和G.McGregor，《重合概率》，太平洋数学杂志。,9(1959) 1141-1164; 先生22#5072.

[在Gessel的参考文献中，但可能是边缘的；立即参考之前的论文和评论。]

4T.P.Kirkman，关于k个-的分区第页-gon和第页-王牌，菲尔翻译。 147(1857) 225.

克利尼亚。Daniel Kleitman，关于一些子集恒等式的注释，应用研究。数学。,54(1975) 289-292;先生56#8386.

[给出了

显示器2650

#19个“Erdös-Pósa”问题-见惯性矩。]

5Christian Kratethaler，用线性方法计算晶格路径边界。一、。厄斯特雷奇。阿卡德。威斯。数学-自然。克利尼亚。Sitzungsber。二 198(1989) 87-107.

第1页。Christian Krattenthaler，晶格路径和生成斜平面分区的函数，手稿数学。,63(1989) 129-155..

K2。G.Kreweras和H.Niederhausen，枚举的解与晶格路径相关的问题，欧洲联合银行。,2(1981) 55-60; 先生82天:05014.

[作者考虑了第页水平和q个从（0，q个)至(第页,0). 让W公司(C类)表示下面的路径数C类在支配偏序中。作者证明

S.G.威廉姆森]

6迈克·库欣斯基，加泰罗尼亚语结构和对应，理学硕士。论文，西弗吉尼亚大学，Morgantown WV 265061977。

L。吉尔伯特·拉贝尔，《新纪录片》拉格朗日反演公式组合，数学高级。,42(1981) 217-247; 先生第83页:05016.

[本文的目的是研究两者之间的联系经典结果——拉格朗日功率反演公式标记树数的级数和凯利公式在n个顶点——根据组合理论最近提交的正式系列J型成立于“结构种类”的概念。一些组合运算对物种进行定义，并与分析操作相对应它们的生成函数：因此对物种的运算产生形式级数的恒等式。作者介绍了两种典型结构联想到一个新种--树木R（右）-丰富“和``内功能R（右）-分别对任何给定的物种R（右）并证明了一些深层同构结果。这些产量，作为简单的推论Cayley公式和拉格朗日反演公式。安德烈亚·布里尼]

第一层。雅克·拉贝尔（Jacques Labele）和杨娜叶（Yeong-Nan Yeh），《骑士的戴克之路》（Dyck paths of knight）移动，离散应用程序。数学。,24(1989) 213-221;先生90克:05017.

[本文列举了从原点到点的晶格路径沿着x个-不低于x个-轴，其中允许的移动是从左到右的骑士移动。这个生成的生成函数满足四阶多项式方程。这与所谓的Dyck路径相比，其中允许的移动是向正确的。在这种经典情况下，生成的生成函数满足二次多项式方程，其解产生加泰罗尼亚数字生成函数。

作者将其方法应用于具有(第页,秒)骑士移动，得到高次多项式方程。丹尼斯·怀特]

L2。Jacques Labelle和Yeong-Nan Yeh，广义Dyck路径，离散数学。,82(1990) 1-6.

第三层。杰克·莱文（Jack Levine），关于非交叉数对的注记路线，脚本数学。 24(1959) 335-338; Zbl.公司。93第13页a。

[Soit 2排列et（等）判定元件第页éléments公司一et（等）q个éléments公司b条,第页+q个=n个.名称des（目标）一最不相同b条dans chaque paire de舞蹈节序列部分对应et（等）倒k个=1, 2, ...,n个-1，les排列sont dites une paire de permutations non-intersectantes，pour une（不相交排列）rasion qui provident d'une interprétation graphique。Les 2对et（等）特别委员会等效物。L'A.obsient le nombre suivant des paires公司排列的区别第页éléments公司一et（等）q个éléments公司b条,第页+q个=n个,, 0 <第页<n个,0 <q个<n个.S.海湾]

锂。N.Linial，计算公式的新推导年轻的tableaux，J.组合理论系列。A类,33(1982) 340-342;先生8300万:05016.

[众所周知的标准杨氏数的钩长公式给定形状的表格可以用行列式书写（Frobenius）[参见D.e.Knuth，《计算机艺术》编程，第3卷，第60-63页，Addison-Wesley，1973年]。A短裤通过观察行列式产生交替的多项式系数之和这显然满足了问题，以及初始条件。沃尔克·斯特雷尔]

里昂。R.C.Lyness、Al Capone和死亡射线，数学。加兹。,25(1941) 283-287.

妈妈。Major P.A.MacMahon，组合分析，第一卷，第五章第三节，剑桥大学出版社，剑桥，1915年。

[在审查中提及泽也许第五集团.]

惯性矩。E.C.Milner，Louis Pósa——数学天才，牛·纳布拉。马来亚数学。Soc公司。,7(1960) 61-64;Erdős-Pósa问题的解决方案I、II、，同上。,107-112, 154-159.

[问题19是证明下列身份Kl公司.]

M1、。Sri Gopal Mohanty，格子路径计数和应用。概率与数理统计。学术出版社，1979年，xi+185页。

[第2页给出了反射原理，其中方程（9），（11），（12）以及原论文第8页底部的公式根据方程式（15）进行计算。]

平方米。Sri Gopal Mohanty，关于限制性随机行走，科学研究所。数学。匈牙利。,三(1968) 225-241;先生39#1022.

[作者考虑了限制随机游走的起始路径从原点开始，每一步都会向右移动一个单位或（正整数）单位向左，到达该点在里面米+n个步骤。随机行走的概念如下表示粒子向左或向右的每次运动通过水平或垂直单位，使限制的随机行走对应于粒子描述的最小晶格路径从原点到(米,n个). 获得总数的表达式在以下某些进一步条件下的不同路径。对于比如说，给定的路径C类，在这样的随机漫步中在每个步骤之后，都会找到不位于对应点C类，以及哪个触摸C类以规定的方式完全在第页最后一次的秒左台阶。获得表达式也用于交叉路径的数量第页次（但不一定到达）一点，用于到达的路径数,第页时间，以及关于右侧区域中的次数和步数.最后一个结果显示与投票有关L.Takács定理[T型]. 作者还提到了E.Csáki的结果[二氧化碳]、E.Csáki和I.Vincze[C3、C4]、K.Sen[硒]和O.Engleberg[E类].C.J.里德勒-罗]

7Athanasios Papoulis，一种新的拉普拉斯反演方法转换，问：申请。数学。 14(1957) 405-414;先生18，602e。

[查找勒让德系数；由Widder早先完成，杜克数学。J。,1(1935) 126-136; 还有Shohat同上。,6(1940) 615-626; 先生2, 98.]

第页。J.皮科克，《艾尔·卡彭与死亡射线》，注释1633 数学。加兹。,26(1942) 218-219.

[参见下面的注释赖氨酸.]

采购订单。G.Pólya，关于某些格子多边形的数量，J.组合理论 6(1969) 102-105; 先生38#4329.

[无双点的闭合多边形，由连接相邻晶格点的长度1称为晶格多边形。如果和只有当存在一个平行翻译时其他。显示“不同晶格多边形”的数量由dlp提供。无两点的闭合平面曲线称为相对于方向是凸的d日如果是十字路口曲线所包围的闭合区域的任意直线方向线d日，只有三种情况是可能的：十字路口要么是空集，要么只由一个点组成，要么只包含一个点一段。曲线在通常意义上是凸的当且仅当它在所有方向上都是凸的[正方形不是凸的根据这一严格定义——RKG]。

让表示相对于带面积的垂直方向米,dlp的数量相对于方向，带有周长2n个、和dlp凸的个数尊重带面积的方向米和周长2n个; 显然在本文中给出了数字的显式表达式,和例如，,.证据将在随后的论文中介绍所述结果。A.L.怀特曼]

拉氏硬度。George N.Raney，功能构图模式和幂级数反转。事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。,94(1960) 441-451; 先生22#5584.

[让,, ...是自然数的无限序列0, 1, 2, ..., 使得是有限的。作者定义数字并表明

哪里,、和L（左）=1，如果米=n个= 0. 然后他导出一些涉及数字的恒等式L（左），并使用它们证明形式幂级数上的拉格朗日反演公式由以下公式给出的卷积公式去吧.里姆哈克·雷]

8格哈德·林格尔，Färbungs问题auf Fächen und Graphen,VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften，柏林，1959年。

第1页。唐·罗林斯（Don Rawlings），《欧拉-卡塔兰身份》（The Euler-Catalan identity），欧洲联合银行。,9(1988) 53-60; 先生89克:05017.

[本文试图统一使用的加泰罗尼亚语和欧拉数q个-理论。作者表示降序排列的生成函数，主指数，反转和模式

表示，作者表明

持有。定义C类(n个;t吨,q个,第页)=A类(n个;t吨,q个,第页,0,1)和K（K）(n个;t吨,q个,第页)=A类(n个;t吨,q个,第页，1,0），作者推断C类和K（K）从哪两个经典q个-加泰罗尼亚数字由定义钙接着采取t吨=q个= 1. 拿u个= 1,五=1英寸（**）引线新的复发E类(n个;t吨,q个,第页) =A类(n个;t吨,q个,第页，1,1）其中定义广义欧拉数。一个涉及q个-加泰罗尼亚数字见第5节末尾。R.N.卡里亚]

R2。John Riordan，组合恒等式，

9Bill Sands，问题1517*，数学难题 16#2（1990年2月）44。

东南方。Kanwar Sen，关于关于对称随机游走，马扎尔·图德。阿卡德。马特·库塔托国际有限公司。,9(1964), 335-357; 先生33#6715.

[作者考虑序列属于n个+k个1个和n个-k个-1，换句话说，从（0,0）到(2n个,2k个)通过这些点具有在矩形中坐标系，其中每个可能的数组（路径）都具有相同的概率。与这种受限制的随机行走有关联合分布律和联合极限分布律确定交叉口数量（变更数量的符号)积极步骤的数量，以及高度处的交叉数第页（数量符号的更改)以及上面的步骤数高度第页应用所得结果，作者证明一些已知的关系也适用于无限制情况。的证明这些定理具有组合特征，其中一些是涉及路径的一对一对应。报纸上有与……有一些共同点E.公司。 I.文斯]

第。Louis W.Shapiro，格路引理及其在酶动力学，J.统计。计划。推断 14(1986)115-122; 先生87焦耳:05021.

[考虑从（0,0）到(一,b条). 选择z（z）整数和z（z）整数，并放置石头在正方形上, ...,.作者优先显示了如果整数是随机选择的，则为随机路径从（0,0）到(一,b条)选择单位台阶向东和向北，那么路径从所有石头下面通过的概率是1/(z（z）+1).

接下来，作者考虑了一个与酶动力学密切相关的模型到研究人员您好!和依据深圳在这些模型中，状态都是长度为0-1的序列M（M）.每个0或1代表一种酶，它要么被还原（1），要么被氧化（0）。过渡规则基本上允许01子序列变为10。使用结果在本文的第一部分中，作者计算了稳态不同转移概率下的分布早期论文中使用的那些。伊拉·盖塞尔]

深圳。Louis W.Shapiro和Doron Zeilberger，数学杂志。生物。,15(1982) 351-357; 先生84英尺:92011.

[作者研究了连续时间马尔可夫链模型配体在膜上的扩散。的状态链是长度为0和1的字符串M（M）和过渡是,,，其中所有转换率都相等。作者给出了稳态概率的公式这个第页字符串的第个分量为零。彼得·库尔卡]

10N.J.A.斯隆，整数序列在线百科全书。

苏。Robert A.Sulanke，受对角线限制的递归条件：广义加泰罗尼亚数，斐波那契四分之一。,27(1989) 33-46; 先生90摄氏度:05012.

[本文包含一个通过Lagrange格路径的证明普通生成函数的反演定理。它还可以包括Catalan-Motzkin-Schröder序列的许多示例多样性。给出了从格路径到平面树的转换以及几个平面树示例。

基本上，本文考虑每个步骤的形式,.这样一条路从（0,0）到(k个,我)如果在离开（0,0）所有点后是好的必须位于线路上方,.

从（0,0）到的良好路径数显示[sic！]成为相同点之间的所有路径。这些然后对路径进行加权并引入生成函数，最终导致对拉格朗日定理的组合证明反演定理。

其他组合证明包括拉（普通生成函数），L（左）（指数生成函数）和G公司.路易斯·夏皮罗]

服务。玛尔塔·斯维德，数学。智能手机

[参见。Kl、Mi并参阅Gessel信函。]

T1之间。拉霍斯·塔卡奇，选票问题，Z.Wahrscheinlichkeits理论与版本。盖比岩,1(1962)154-158; 先生26#3131.

[作者证明了Spitzer引理的一个离散变体效果是，其中是正部分和的数目,和是整值的具有排列对称分布。他用这个来证明如果所有可能的投票顺序都是相同的，并且两名候选人获得一和b条投票(一,b条)=1，和如果表示一+b条投票次数当投票比例为，然后.金额的概率第一个候选人领先的位置严格保持在c（c）-d日和c（c）,哪里c（c）和d日是正整数，c（c）<d日、和c（c）-d日<b条-一<c（c），是显示为

显示器2940

该结果扩展了许多作者的研究成果，其中一些是最近的是钟、费勒、霍奇斯、格内登科、卢瓦埃娃。J.基弗]

第2页。Lajos Takács，大多数时间在投票，Z.Warscheinlichkeitstheory和verw。盖比岩,2(1963) 118-121; 先生28#3490.

[在前一篇论文的续集中[T1类]进一步的可能性根据一个候选人领先的次数计算在投票的连续阶段。这个组合证明基于相关的引理也适用于波动理论、有序统计和队列。作者还对具有独立增量。F.L.斯皮策]

助教。Lajos Takács，晶格路径的一些渐近公式，J.统计。计划。推断 14(1986) 123-142;先生8.7万:60082.

[作者证明了格点下面积的渐近公式从（0,0）开始的路径，单位步长为正x个-和年-指示。下面是两个比较简单的公式。

让是长度随机路径下的面积n个.然后

在中一致j个对于j个=0, 1, ...,,哪里.

让是来自（0,0）的随机路径下的面积至(一,b条). 然后

显示器2964

在中一致j个对于,哪里是一个正实数，并且.

让周(n个,j个)是从（0,0）到的晶格路径数(n个,n个)带面积j个在底线以下年=x个用于0<x个<n个.让是加泰罗尼亚数字，并让是概率分布为由提供。作者提供的经验证据表明

显示器2992

哪里.伊拉·盖塞尔]

11H.M.Taylor和R.C.Rowe，关于几何定理的注释，程序。伦敦数学。Soc公司。 13(1882) 102-106.

12W.T.Tutte，《哈密尔顿多边形普查》，加拿大。数学杂志。,14(1962) 402-417; 先生25#1108.

2的不等根映射数n个顶点是

和2的不等哈密顿根映射的个数n个顶点是

第1页。渡边俊弘和斯里·戈帕尔·莫汉蒂基于反射原理的包含-排除公式，离散数学。 64(1987) 281-288; 先生88天:05012.

[A1类首先使用反射原理计算平面内的路径数，单位台阶在正水平和垂直方向，从不触碰线x个=年假设晶格点第页和q个躺在这条线的同一侧。来自的“良好路径”的数量第页到q个是来自的路径总数第页到q个减去来自的“错误路径”数第页到q个（触线者）。通过在线条中反射x个=年从其从第一次与这条线相交开始，我们发现来自的错误路径数第页到q个等于路径来自第页'至q个，其中第页是反射第页在里面x个=年.

作者在这里展示了如何使用安德烈的反射原理解决选票的多维泛化问题问题，相当于计算不接触超平面,我,j个=1, ...,n个.这里是所有反射在超平面中使用了，并且有n个! 中的术语得到的公式带有交替符号，对应于这个n个! 由反射生成的坐标的排列在超平面中。下面给出了类似的证明泽; 这个作者的证明更详细地描述了连续反射应用于路径。Ira Gessel公司]

第2周。渡边俊弘，关于格中的行列式序列路径计数，数学杂志。分析。申请。 123(1987) 401-414;先生88克:05015.

[连接两个给定晶格点的晶格路径数并且可以表示停留在上下边界之间通过一个包含二项式系数的行列式，由于G.克雷韦拉斯。这个问题的递归性质导致了一个系统差分方程和相同类型的解（行列式涉及二项式多项式）适用于更大的一类算子方程。作者提出了一种新的方法将这些行列式与随机表联系起来。他获得了满足卷积恒等式的行列式序列类似于二项式序列。然后应用该理论Hill的酶模型，再现夏皮罗和泽尔伯格。海因里希·尼德豪森][比照。K2、Hi、SZ]

第3周。渡边俊弘，关于投票问题，J.统计。计划。推断 14(1986)143-152; 先生87焦耳:05024.

[选票多项式是后向差分算子的Sheffer多项式.它们是算子方程组的解，由初始值唯一确定条件为所有人x个、和为所有人.使用他早期关于多元本影的结果微积分，作者演示了如何求解n个-维度的系统为所有人我=1, ...,n个，其中是一个三角集代表我第个单位矢量。此类问题的一般解决方案然后系统被专门化以提供n个-的维度版本选票多项式。

经典投票问题的广义版本到Takács，由多项式求解

这个n个-维度模拟是从非常一般的设置中获得的，导致所谓的“多项式基本多项式序列”。海因里希·尼德豪森]

第4周。渡边俊弘（Toshihiro Watanabe），论Littlewood-Richardson规则格路组合学，Proc。日本第一Conf.图论&申请。，离散数学。 72(1988) 385-390; 先生90亿:05010.

[本文给出了Littlewood-Richardson规则的一个证明利用Schur函数的特征对Schur方程进行乘法作为不相交晶格路径的集合。证据基于Robinson的重组规则非晶格路径转换为晶格路径。丹尼斯·怀特]

泽。Doron Zeilberger，André的反射证明推广到众多候选人的投票问题，离散数学。 44(1983)325-326; 先生84克:05016.

[n个-候选人投票问题是计算选票的问题晶格从原点走到点,从未接触过任何超平面。该问题相当于计数给定形状的年轻画面。D.安德烈[A1类]为显示n个=2答案是如下：统计从（0,0）到的所有路径。如果路径接触，反映首字母分割到该行中的第一个这样的接触以获得路径从（-1,1）到。这给出了一个介于``从（0,0）到的错误“”路径以及来自的所有路径（-1,1）至这证明了这个公式。