我们将研究使用具有一些一般单调条件的矩阵的傅立叶-维伦金级数的强逼近。还研究了Fourier-Vilenkin级数表示的强Vallee-Poussin。

本文利用变指数Lebesgue空间中尖锐极大函数和范数等价表示的技巧，研究了参数化Littlewood-Paley算子的有界性，包括参数化Lusin面积积分和参数化Littewood-Palley$g{lambda}^{ast}$-函数，建立在具有可变指数的Lebesgue空间上。此外，还得到了由BMO函数和Lipschitz函数分别生成的交换子的有界性。

我们建立了基于局部域$K_p$作为底层空间的函数构造理论。借助伪微分算子的概念，我们引入了“分形演算”（或$p$型演算，或Gibbs-Butzer演算）。然后，给出了紧致群$D（子集K_p）$和局部紧致群$K^+p（=K_p）$的Jackson直接逼近定理、Bernstein逆逼近定理和等价逼近定理，从而建立了局部域上函数构造理论的基础。此外，证明了Hölder型空间$C^\sigma（K_p）上的Jackson型、Bernstein型和等价逼近定理，$$\sigma>0$；然后给出了Sobolev型空间$W^r\sigma（K_p），$$\sigma\geq0，$$1\leqr<+\infty$上的等价逼近定理。

在本文中，我们提出了SzáSz-Beta-Stancu算子的$q$模拟。通过估计力矩，我们根据平滑模量建立了直接结果。研究$q$算子的点向收敛速度和加权近似性质。得到了Voronovskaja型定理。我们的结果推广和补充了$q$-SzáSz-Beta算子的一些收敛结果，从而改进了现有的结果。

在本文中，我们引入了一个弱于$L^p$可微性的条件，我们称之为$C^p$条件。我们证明，如果函数在某一点满足此条件，则在该点存在最佳局部逼近。我们还给出了函数是$L^p$可微的充要条件。此外，我们还研究了$f$，$\{P_\epsilon（f）\}$的最佳近似网络的簇点集作为$\epsilon到0$的凸性。

本文证明了分数阶极大算子、Hardy-Littlewood极大算子和与Schrödinger算子相关的marcinkiewicz积分在变指数Morrey空间上的有界性。

设$P（z）$是一个次数为$n$的多项式，其所有零都位于$|z|\leq-k$中。对于$k=1$，已知对于每个$r>0$和$|\alpha|\geq1$，$$n（|\alfa|-1）\Big\{\int_{0}^{2\pi}|P（e^{i\theta}）|^{r} d日\θ\大^｛\frac｛1｝｛r｝｝\leq\大\｛\int_｛0｝^｛2 \pi｝|1+e^｛i \θ｝|^{r} d日\θ\大\｝^｛\frac｛1｝｛r｝｝\最大_｛|z|=1｝\大|D_｛\alpha｝P（z）\大|.$在本文中，我们将首先考虑当$k\geq1$时的情况，并给出该不等式的某些推广。同样对于$k\leq 1$，我们将证明Lacunary型多项式的一个有趣结果，从中可以很容易地推导出许多结果。

本文讨论了自相似集在收缩相似不动点上的上凸密度的一些结果。首先，给出了自相似集在收缩相似不动点处的上凸密度的一个刻画。其次，在强分离开集条件下，证明了自相似集的上凸密度在收缩相似不动点处的最佳形状的存在性。作为结果，回答了周和徐提出的一个公开问题和一个猜想。