最近几年，关于哈密顿或可逆偏微分方程拟周期解的分支的KAM理论取得了很大进展。我们概述了该领域的最新技术。

本文对Christ和Journé引入的高阶换位子建立了弱型$（1,1）$估计，其定义为

$$T[a_1，\cdots，a_l]f（x）=p.v.\int_{R^d}K（x-y）\Big（\prod_{i=1}^lm_{x，y}ai\大）/cdot f（y）dy$$

其中$K$是$\mathbb{R}^d（d\geq2）$和$m上的标准Calder n-Zygmund卷积内核_｛x，y｝a_i=\int_0^1a_i（sx+（1-s）y）ds$。

对于薛定谔系统

$$\左\{\开始{数组}{全部}-\增量u_j+\lambda_j u_j=\sum\limits_{i=1}^k\beta_{ij}u_i^2 u_j\quad\mbox{in}\\\\mathbb R^N，\\u_j（x）\to0\quad\\text{as}\\|x|\to\infty，j=1，\cdots，k，\end{array}\right$$

其中$k\geq2$和$N=2，3$，我们证明了对于任何$\lambda_j>0$和$\beta_{jj}>0$以及任何正整数$p_j$，$j=1，2，\cdots，k$，存在$b>0$，使得如果对于所有$i\neqj$，$\beta_{ij}=\beta_{ji}\leqb$，则存在径向解$（u1，u2，\cdots，u_k）$，其中$u_j$恰好具有$p_j-1$零。此外，存在一个正常数$C_0$，如果$\beta{ij}=\beta_{ji}\leqb\（i\neqj）$，则得到的任何解都满足

$$\sum_{i，j=1}^k|\beta_{ij}|\int_{\mathbb R^N}u_i^2u_j^2\leq C_0$$

因此，对于$i\neqj，溶液呈现出$\beta_{ij}-to-\infty$的相分离趋势$

本文证明了Heisenberg群上一类形式为$\nabla^2_{H，s}\psi+L（\cdot，\psi，\nabla{H}\psi）$的完全非线性次椭圆算子的强比较原理的一种形式，其中包括CR不变算子。