在本文中，我们将[12]的结果推广到边界情况$s=\frac 12$。对于$$\Delta^{\frac12}u=W'（u）\quad\mbox{in}\quad\\mathbb{R}^n，$$型半线性非局部方程，获得了具有渐近平坦水平集的整体有界解的分类，其中$W$是双势阱。

在[17]和[19,20]中，光滑的全局存在性和大时间行为可压缩流体（包括欧拉方程中的无粘性气体、Navier-Stokes方程和玻尔兹曼方程的稀薄气体）分别具有以恒定的膨胀速度建立在无限膨胀球中。这个本文研究了缓慢膨胀球体中的粘性流体。通过对密度函数和加权能量估计的相关分析，我们表明流体在缓慢膨胀的球中，平滑地趋于真空状态，膨胀球的任何部分都没有出现真空。我们目前的结果是有意义的补充[19]中的内容。

设$\Omega$是${\mathbb{R}}^{n}$中的一个有界开域，其边界为$\partial\Omega。设$X=（X{1}，X{2}，\cdots，X{m}）$是定义在$\Omega$上的一般Grushin型向量场系统，边界$\partial\Omega$对于$X$是非特征的。对于$\Delta_｛X｝=\sum_｛j=1｝^mX_j^2$，我们将$\lambda_｛k｝$表示为$\Omega$上的双亚椭圆算子$\Delta_｛X｝^2$的第$k$个特征值。本文利用尖锐的次椭圆估计和极大次椭圆估计，给出了算子$\Delta_{X}^2$的$\lambda_k$的最优下界估计。

金属弓形纳米结构是非常有趣的光学物体，因为它们能够定位和增强中心颈部附近的电磁场。在本文中，我们通过观察二维弓形畴的Poincaré变分算子的谱来研究它们的静电等离子体共振。特别地，我们表明后者仅由基本谱组成，并填充整个区间$[0,1]$。这种行为与仅具有接近接触翅膀的领结域的对应情况非常不同，在这种情况下，Poincaré变分算子的本质谱被简化为严格包含在$[0,1]$中的区间$\sigma_{ess}$。我们通过显示具有接近接触翅膀的弓形区域的Poincaré变分算子的谱具有特征值来解释这种差异，当两个翅膀之间的距离趋于零时，这些特征值会加密并最终填充$[0,1]\set-nus\sigma_{ess}$的剩余部分。