搜索: 编号:a007331
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0, 1, 8, 28, 64, 126, 224, 344, 512, 757, 1008, 1332, 1792, 2198, 2752, 3528, 4096, 4914, 6056, 6860, 8064, 9632, 10656, 12168, 14336, 15751, 17584, 20440, 22016, 24390, 28224, 29792, 32768, 37296, 39312, 43344, 48448, 50654, 54880, 61544, 64512
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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E_{无穷大,4}是Gamma_0(2)在i*无穷大处具有简单零的唯一规范化权重-4模形式。由于它有2级,与之相反,它不是尖点形状A002408号.
a(n+1)是n作为8个三角形数之和的表示数(从A000217号). 参见Ono等人的链接,定理5。
a(n)给出n的除数d的立方和,使得n/d是奇数。这在Ono等人的链接中称为sigma ^#_3(n)。请参阅下面的公式-沃尔夫迪特·朗2017年1月12日
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参考文献
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B.C.Berndt,Ramanujan笔记本第三部分,Springer-Verlag,见第139页,Ex(ii)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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H.H.Chan和C.Kratethaler,整数表示为平方和的研究进展,arXiv:math/0407061[math.NT],2004年。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane,球形填料、格和群《施普林格·弗拉格》,第187页。
小池正雄,非紧算术三角形群上的模形式,未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释,2021年2月14日。我在第一页写的是2005年,但内部证据表明是1997年。]
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl,整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》,1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-94页。定理5。
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配方奶粉
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G.f.:q*产品{k>=1}(1-q^k)^8*(1+q^k)^16.-已由更正瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日
a(n)=Sum_{0<d|n,n/d奇数}d^3。[上光器]
通用公式:和{n>0}n^3*x^n/(1-x^(2*n))-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月24日
雅可比θ常数θ_2(q)^8/256的q次幂展开。
eta(q^2)^16/eta(q)^8的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
x*psi(x)^8的x次幂展开式,其中psi()是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2012年1月15日
(Q(x)-Q(x^2))/240的x次幂展开式,其中Q()是Ramanujan Lambert级数-迈克尔·索莫斯2012年1月15日
E_{gamma,2}^2*E_{0,4}的q次幂展开。
周期2序列的欧拉变换[8,-8,…]-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^4)),其中f(u,v,w)=v^3-u^2*w+16*u*v*w-32*v^2*w+256*v*w ^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(2t))=16^(-1)(t/i)^4g(t),其中q=exp(2Pi it),G()是A035016号. -迈克尔·索莫斯2009年1月11日
与a(2^e)=2^(3e)相乘,a(p^e)=(p^(3(e+1))-1)/(p^3-1)相乘-米奇·哈里斯2005年6月13日
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例子
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G.f.=q+8*q^2+28*q^3+64*q^4+126*q^5+224*q^6+344*q^7+512*q^8+。。。
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MAPLE公司
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nmax:=40:seq(系数(级数(x*(乘积(1-x^k)^8*(1+x^k)^16,k=1..nmax)),x,n+1),x,n),n=0..nmax)#瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日
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数学
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前缀[表[Plus@@(选择[Divisors[k+1],OddQ[(k+1)/#]&]^3),{k,0,39}],0](*蚂蚁王2010年12月4日*)
a[n_]:=级数系数[EllipticTheta[2,0,q^(1/2)]^8/256,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2013年6月4日*)
a[n_]:=如果[n<1,0,和[d^3布尔[OddQ[n/d]],{d,除数[n]}];(*迈克尔·索莫斯2013年6月4日*)
f[n_]:=总计[(2n/选择[Divisors[2n],Mod[#,4]==2&])^3];展平[{0,数组[f,40]}](*罗伯特·威尔逊v2015年3月26日*)
nmax=60;系数列表[系列[x*乘积[(1-x^k)^8*(1+x^k)^16,{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<1,0,sumdiv(n,d,(n/d%2)*d^3))}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<1,0,n---;a=x*O(x^n);polceoff((eta(x^2+a)^2/eta(x+a))^8,n))}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/
(Sage)模块形式(Gamma0(2),4,prec=33).1#迈克尔·索莫斯2013年6月4日
(岩浆)基础(模块形式(Gamma0(2),4),10)[2]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
(Python)
从sympy导入除数
定义a(n):
如果n==0,则返回0,否则求和(((n//d)%2)*d**3表示除数(n)中的d)
打印([范围(101)中n的a(n)])#因德拉尼尔·戈什,2017年6月24日
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量,对于k=1,…:A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号,A076577号.
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关键词
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容易的,美好的,非n,多重
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作者
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扩展
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巴里·布伦特(barryb(AT)primenet.com)的附加评论
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