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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a291787-编号：a291787
显示找到的7个结果中的1-7个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A291784型 a（n）=（psi（n）+φ（n））/2。 +10
15
1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 11, 11, 14, 13, 15, 16, 16, 17, 21, 19, 22, 22, 23, 23, 28, 25, 27, 27, 30, 29, 40, 31, 32, 34, 35, 36, 42, 37, 39, 40, 44, 41, 54, 43, 46, 48, 47, 47, 56, 49, 55, 52, 54, 53, 63, 56, 60, 58 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 2
评论
这是(A001615号+A000010美元)/2. 很容易看出，这总是一个整数。
如果n是素数（包括1和素数）的幂，则a（n）=n，在任何其他情况下，a（n）>n-M.F.哈斯勒2017年9月9日
如果n在A006881号则a（n）＝n+1-罗伯特·伊斯雷尔2019年2月10日
参考文献
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第三版，斯普林格出版社，2004年。参见第B41节（第2版第96页，第3版第147ff页）。
链接
雨果·普福尔特纳，n=1..10000时的n，a（n）表
马金·马祖（Marcin Mazur）和博格丹·佩特伦科（Bogdan V.Petrenko），矩阵欧拉定理Arnold版本的推广《日本数学杂志》，5:183-1892010。
N.J.A.Sloane，《来自OEIS的三个可爱问题》，罗格斯大学实验数学研讨会，2017年10月5日，第一部分,第2部分,幻灯片（提到这个序列）
配方奶粉
求和{k=1..n}a（k）=c*n^2+O（n*log（n）），其中c=21/（4*Pi^2）=0.531936-阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月5日
MAPLE公司
f： =proc（n）局部P，P；
P： =数量理论：-系数集（n）；
n*（mul（（p-1）/p，p=p）+mul
结束进程：
地图（f，[1..100]美元）#罗伯特·伊斯雷尔2019年2月10日
数学
psi[n_]：=如果[n==1，1，n*倍@@（1+1/FactorInteger[n][[All，1]]）]；
a[n_]：=（psi[n]+EulerPhi[n]）/2；
数组[a，100](*Jean-François Alcover公司2019年2月25日*）
黄体脂酮素
（PARI）A291784型（n） =（eulerphi（n）+n*sumdivmult（n，d，issquarefere（d）/d））\2\\M.F.哈斯勒，2017年9月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A000010美元,A001615号,A006881号,二亿九千七百八十五元,A291786型,A291787型,A291788型.
关键词
非n,容易的
作者
N.J.A.斯隆2017年9月2日
状态
经核准的
A291790型 映射k->（sigma（k）+phi（k））/2迭代下的轨迹仅由整数组成且是无界的数。 +10
9
270, 290, 308, 326, 327, 328, 352, 369, 393, 394, 395, 396, 410, 440, 458, 459, 465, 496, 504, 510, 525, 559, 560, 570, 606, 616, 620, 685, 686, 702, 712, 725, 734, 735, 737, 738, 745, 746, 747, 783, 791, 792, 805, 806, 813, 814, 815, 816, 828 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
如果能证明这些轨迹是积分的和无界的，或者，当然，它们最终达到一个分数值（然后死亡），或者达到一个素数（然后是一个不动点），那就太好了。（参见。A291787型.）如果最后两件事中的任何一件发生，那么n的值将从序列中删除。目前所有条款都是推测性的。
当这个序列被提交时，人们希望能够证明这些轨迹确实是完整的、无界的。虽然参见安德鲁·布克在里面A292108型. -N.J.A.斯隆，2017年9月25日
链接
雨果·普福尔特纳，n=1..82时的n，a（n）表
肖恩·欧文，显示一些轨迹的初始部分是如何合并的
N.J.A.Sloane，《来自OEIS的三个可爱问题》，罗格斯大学实验数学研讨会，2017年10月5日，第一部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
交叉参考
囊性纤维变性。A000010美元,A000203号,A289997型,A290001型,A291789型（270的轨迹），A291787型,A292108型.
有关“种子”，请参见A292766型.
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆，2017年9月3日
扩展
更多术语来自雨果·普福尔特纳，2017年9月3日
状态
经核准的
A291789型 重复应用k->（φ（k）+σ（k））/2时270的轨迹。 +10
7
270, 396, 606, 712, 851, 852, 1148, 1416, 2032, 2488, 2960, 4110, 5512, 6918, 8076, 10780, 16044, 23784, 33720, 55240, 73230, 97672, 118470, 169840, 247224, 350260, 442848, 728448, 1213440, 2124864, 4080384, 8159616, 13515078, 15767596, 18626016, 29239504, 39012864, 62623600, 92580308 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
评论
目前尚不清楚这条轨道的最终命运。它可能会达到一个分数（当它消亡时），可能会达到素数（这将是一个固定点），可能进入一个长度大于1的循环，或者可能是无限的-雨果·普福尔特纳和N.J.A.斯隆2017年9月18日
链接
肖恩·欧文，n=0..515时的n，a（n）表【雨果·普福尔特纳（Hugo Pfoertner）的术语a至（250），N.J.a.斯隆的术语a（251）-a（356）】
肖恩·欧文，A291789的插图显示a（n+1）/a（n）（红色）、a（n+1）/a（n）的累积平均值（绿色）和a（n）中2的幂（蓝色）
雨果·普福尔特纳，图A291789使用归一化截止频率为0.1（0.5<->奈奎斯特频率）的递归五阶巴特沃斯滤波器平滑数据。
N.J.A.Sloane，《来自OEIS的三个可爱问题》，罗格斯大学实验数学研讨会，2017年10月5日，第一部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
N.J.A.斯隆，五十年后的《整数序列手册》，arXiv:2301.03149[math.NT]，2023年，第14页。
MAPLE公司
轨道：=proc（n，m）使用数字理论；
局部V，k；
五： =矢量（m）；
V[1]：=n；
对于从2到m的k，V[k]：=（σ（V[k-1]）+φ（V[k-1]））/2 od：
转换（V，列表）
结束进程：
轨道（270200）#罗伯特·伊斯雷尔2017年9月7日
数学
NestWhileList[If[！IntegerQ@#，-1/2，（DivisorSigma[1，#]+EulerPhi@#）/2]&，270，Nor[！IntigerQ@##，SameQ@##]&，2，38](*迈克尔·德弗利格2017年9月19日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000010美元,A000203号,A289997型,A290001型,A291790型,A291787型,A291804型,A291805型.
请参见A291914型和A292108型为了“大局”。
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆，2017年9月3日
状态
经核准的
A292108型 从n开始迭代映射k->（sigma（k）+phi（k））/2；a（n）是达到一个固定点或分数的步数，或者如果这两个事件都不发生，则a（n）=-1。 +10
6
0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 4, 1, 2, 1, 4, 0, 2, 0, 1, 4, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 9, 0, 2, 3, 1, 0, 7, 1, 1, 2, 1, 0, 8, 3, 2, 2, 1, 0, 3, 0, 8, 7, 1, 3, 2, 0, 1, 7, 6, 0, 1, 0, 3, 2, 4 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,12
评论
第一个未知值是a（270）。
有关此序列的替代版本，请参见A291914型.
发件人安德鲁·布克2017年9月19日和2017年10月3日：（开始）
设f（n）=（σ（n）+φ（n））/2。那么f（n）>=n，那么f下n的轨迹要么以半整数终止，要么到达一个不动点，要么单调增加。f的不动点是1和素数，并且f（n）是分数，如果n>2是平方或平方的两倍。
除了o（x）个数字n<=x之外，所有数字的a（n）=-1似乎都是可能的。有关参数的详细信息，请参阅链接。（完）
链接
雨果·普福尔特纳，n=1..269时的n，a（n）表
安德鲁·布克，关于（sigma+phi）/2的注释
肖恩·欧文，显示一些轨迹的初始部分是如何合并的
N.J.A.Sloane，《来自OEIS的三个可爱问题》，罗格斯大学实验数学研讨会，2017年10月5日，第一部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
N.J.A.斯隆，五十年后的《整数序列手册》，arXiv:2301.03149[math.NT]，2023年，第14页。
配方奶粉
如果n是1或素数（这些是不动点），则a（n）=0。
如果n>2是平方或平方的两倍，则a（n）=1，因为它们在一步中达到分数。
例子
设f（k）=（σ（k）+φ（k））/2。在f的作用下：
14->15->16->39/2，采取3步，因此a（14）=3。
21->22->23，一个素数，分两步，所以a（21）=2。
数学
对于[{i=200}，表[-1+Length@NestWhileList[If[！IntegerQ@#，-1/2，（DivisorSigma[1，#]+EulerPhi@#）/2]&，n，Nor[！IntigerQ@##，SameQ@#]&，2，i，-1]/。k_/；k>=i-1->-1，{n，76}]](*迈克尔·德弗利格2017年9月19日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000010美元,A000203号,A289997型,A290001型,A291790型,A291787型,A291804型,A291805型,A291914型.
关键词
非n
作者
雨果·普福尔特纳和N.J.A.斯隆2017年9月18日
状态
经核准的
二亿九千七百八十五元 迭代地图A291784型：k->（psi（k）+phi（k））/2，从n开始，直到素数的幂(A000961号)达到，如果从未达到，则为-1。 +10
5
1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 11, 11, 16, 13, 16, 16, 16, 17, 23, 19, 23, 23, 23, 23, 47, 25, 27, 27, 47, 29, 47, 31, 32, 83, 83, 83, 83, 37, 47, 47, 47, 41, 83, 43, 47, -1, 47, 47, -1, 49, -1, 83, 83, 53, 83, -1, -1, 59, 59, 59, -1, 61, 83, 83, 64, 83, 83, 67, -1, -1, -1, 71, -1, 73 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1, 2
评论
素数和素数幂是映射f（k）=（psi（k）+phi（k））/2下的不动点。（如果n=p^k，则psi（n）=p^k（1+1/p），phi（n）=p^k（1-1/p）的平均值为p^k。因此n是地图下的一个固定点。）
由于f（n）>n，如果n不是素数幂，就不可能有非平凡循环。
Wall（1985）观察到45和50的轨迹是无限的，因此a（45）=a（50）=-1。
此外，48个及更多术语似乎具有无限的轨迹-雨果·普福尔特纳，2017年9月3日。
显然，在具有无限轨迹的数字的轨迹中的任何数字（尤其是45，A291787型)再次具有此属性。A291788型是所有这些的结合-M.F.哈斯勒，2017年9月3日
参考文献
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第三版，斯普林格出版社，2004年。见第B41节，第147页。
链接
n=1..73时的n、a（n）表。
钢筋混凝土墙，Euler-Dedekind均值的无界序列阿默尔。数学。《月刊》，92（1985），587。
黄体脂酮素
（PARI）二亿九千七百八十五元（n，L=n）={对于（i=0，L，is素数幂（n=A291784型（n） ）&&返回（n））；（-1）^（n>1）}\\搜索极限L=n只是实验性的，但相对于已知数据，似乎相当保守。A291786型该算法假设除了素数的幂外，没有任何循环-M.F.哈斯勒，2017年9月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A000010美元,A001615号,A291784型,A291786型,A291787型,A291788型.
关键词
签名
作者
N.J.A.斯隆2017年9月2日
扩展
更多术语来自雨果·普福尔特纳，2017年9月3日
状态
经核准的
A291786型 a（n）=k->（psi（k）+phi（k））/2的迭代次数(A291784型)需要达到一个素数或素数的幂或1，或-1，如果不发生。 +10
5
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 0, 2, 2, 1, 0, 6, 0, 1, 0, 5, 0, 4, 0, 0, 9, 8, 7, 6, 0, 5, 4, 3, 0, 5, 0, 2, -1, 1, 0, -1, 0, -1, 6, 5, 0, 4, -1, -1, 2, 1, 0, -1, 0, 4, 3, 0, 3, 2, 0, -1, -1, -1, 0, -1, 0 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,12
评论
素数和素数幂是映射f（k）=（psi（k）+phi（k））/2下的不动点，所以在这种情况下我们取a（n）=0。（如果n=p^k，则psi（n）=p^k（1+1/p），phi（n）=p^k（1-1/p）的平均值为p^k。因此n是地图下的一个固定点。）
由于f（n）>n，如果n不是素数幂，就不可能有非平凡循环。
Wall（1985）观察到45和50的轨迹是无限的，因此a（45）=a（50）=-1。请参见A291787型,A291788型.
参考文献
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第三版，斯普林格出版社，2004年。见第B41节，第147页。
链接
n=1..73时的n、a（n）表。
钢筋混凝土墙，Euler-Dedekind均值的无界序列阿默尔。数学。《月刊》，92（1985），587。
配方奶粉
当n为in时，a（n）=0A000961号. -M.F.哈斯勒，2017年9月3日
黄体脂酮素
（PARI）A291786型（n，L=n）=n>1&&对于（i=0，L，is素数（n）&&返回（i）；n个=A291784型（n） ）-（n>1）\\建议的搜索限制L=n只是经验值，可能需要修改。目前，该准则还假设素数幂是唯一的周期-M.F.哈斯勒，2017年9月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A000010美元,A001615号,A291784型,二亿九千七百八十五元,A291787型,A291788型.
关键词
签名,更多
作者
N.J.A.斯隆2017年9月2日
扩展
更正了初始术语，更多术语来自M.F.哈斯勒，2017年9月3日
状态
经核准的
A291788型 数字n，其轨迹在映射k->（psi（k）+phi（k））/2下(A291784型)无限增长。 +10
4
45, 48, 50, 55, 56, 60, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 102, 104, 105, 108, 111, 112, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 126, 133, 134, 135, 136, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 152 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
请参见A291787型（其中A291787型（m） =2*A291787型（m-7）对于m>=35）对于45的轨迹。
有一个类似的证据表明，从48到152的所有术语都有一条与45的轨迹合并的轨迹，因此在某一点后每7步加倍一次。例如，152的轨迹在步骤390达到2^106*33，在步骤397达到2^107*33，然后每7步加倍-N.J.A.斯隆2017年9月24日
链接
n=1..59时的n，a（n）表。
交叉参考
囊性纤维变性。A291784型,二亿九千七百八十五元,A291786型,A291787型.
关键词
非n,更多
作者
N.J.A.斯隆2017年9月3日，基于汉斯·哈弗曼.
扩展
条款104至152由添加N.J.A.斯隆2017年9月24日
状态
经核准的
第页1

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