搜索： a118417-编号：a118417
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1, 6, 20, 56, 144, 352, 832, 1920, 4352, 9728, 21504, 47104, 102400, 221184, 475136, 1015808, 2162688, 4587520, 9699328, 20447232, 42991616, 90177536, 188743680, 394264576, 822083584, 1711276032, 3556769792, 7381975040, 15300820992
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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大小为n、高度为n-1的二叉树的数量，从大小n=3开始计算；即A014480型（n）=A073345号（n+3，n+2）。（对于大小n=0到2，没有这样的树。）
此外，n X n矩阵M（i，j）=二项式（2i+2j，i+j）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月27日
来自Knuth的两个BBP型公式（参考文献第6页）
和{n>=0}1/a（n）=2^（1/2）*log（1+2^（1/2））
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=2^（1/2）*atan（1/2））
（完）
创建一个三角形，第一列T（n，1）=1+4*n表示n=0 1 2…其余项T（r，c）=T（r、c-1）+T（r-1，c-1）。T（n，n+1））=a（n）-J.M.贝戈2012年12月18日
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链接
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配方奶粉
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例如：x*cosh（平方英尺（2）*x）=x+6x^3/3！+20倍^5/5！+56倍^7/7！+-拉尔夫·斯蒂芬2005年3月3日
a（n）=3*a（n-1）-2^（n-1”）*（2*n-5），a（0）=1。
a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）+2^n，a（0）=1，a（1）=6。
（完）
G.f.:-G（0），其中G（k）=1-（2*k+2）/（1-x/（x-（k+1）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月6日
例如：Q（0），其中Q（k）=1+4*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日
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例子
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（1+2*x）/（1-2*x）^2=1+6*x+20*x^2+56*x^3+144*x^4+352*x^5+832*x^6+。。。
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MAPLE公司
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a： =n->和（2^n*n^二项式（j，n）/2，j=1..n）：seq（a（n），n=1..29）#零入侵拉霍斯2009年4月18日
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数学
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系数列表[级数[（1+2*x）/（1-2*x）^2，{x，0，28}]，x]
线性递归[{4，-4}，{1，6}，29](*罗伯特·威尔逊v2012年12月26日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a014480 n=a014480_列表！！n个
a014480_list=1:6:map（*4）
（zipWith（-）（尾部a014480_list）a0144800_list
（PARI）Vec（（1+2*x）/（1-2*x）^2+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月23日
（岩浆）[2^n*（2*n+1）：[0..35]]中的n//文森佐·利班迪2014年10月20日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A118416号
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| 按行读取三角形：T（n，k）=（2*k-1）*2^（n-1），0<k<=n。 |
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+10
16
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1, 2, 6, 4, 12, 20, 8, 24, 40, 56, 16, 48, 80, 112, 144, 32, 96, 160, 224, 288, 352, 64, 192, 320, 448, 576, 704, 832, 128, 384, 640, 896, 1152, 1408, 1664, 1920, 256, 768, 1280, 1792, 2304, 2816, 3328, 3840, 4352, 512, 1536, 2560, 3584, 4608, 5632, 6656, 7680
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 2
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评论
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交替行和Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*T（n，k）是：（a）奇数行中的中心项T（n、（n+1）/2）=A058962号（n-1）/2）；（b） 在偶数行中，两个中心项的平均值的否定，-（T（2n，n）+T（2n+1））/2=-A018215号（米/2）。交替行和的绝对值给出了普通行平均值，和{k=1..n}T（n，k）/n；交替符号行的意思是（-2）^（n-1）-格雷戈里·杰拉德·沃纳2024年2月10日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=2*T（n-1，k），1<=k<n；T（n，n）=A014480型（n-1）。
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例子
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三角形开始：
1;
2, 6;
4, 12, 20;
8, 24, 40, 56;
16, 48, 80, 112, 144;
32, 96, 160, 224, 288, 352;
64, 192, 320, 448, 576, 704, 832;
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MAPLE公司
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数学
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压扁[表[（2k-1）2^（n-1），｛n，10｝，｛k，n｝]](*哈维·P·戴尔2014年8月26日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a118416 n k=a118416_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a118416_低1=[1]
a118416_row n=（映射（*2）$a118416-row（n-1））++[a014480（n-1
a118416_tabl=映射a118416行[1..]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A196525号
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| 对数的十进制展开（1+sqrt（2））/sqrt（2中）。 |
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+10
8
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6, 2, 3, 2, 2, 5, 2, 4, 0, 1, 4, 0, 2, 3, 0, 5, 1, 3, 3, 9, 4, 0, 2, 0, 0, 8, 0, 2, 5, 0, 5, 6, 8, 0, 0, 2, 6, 5, 0, 6, 9, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 6, 7, 2, 5, 2, 8, 9, 8, 7, 1, 4, 7, 7, 6, 0, 9, 6, 1, 7, 0, 0, 0, 4, 5, 4, 7, 0, 1, 4, 1, 8, 0, 4, 6, 7, 6, 6, 9, 0, 7, 3, 2, 3, 5, 6, 2, 6, 6
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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保罗·纳欣，有趣的积分内部，本科。物理课堂讲稿，施普林格（2020），（2.2.3）
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配方奶粉
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等于和{n>=1}A091337号（n） /n=1-1/3-1/5+1/7+1/9-1/11-。。。
等于arcsinh（1）/sqrt（2）。
等于和{n>=1}1/A118417号（n-1）=和{n>=1}1/（（2*n-1）*2^n）。（完）
等于（1/sqrt（2））*arccoth（sqrt））。
等于1-8*Sum_{n>=0}（-1）^（n+1）*n/（16*n^2-1）。
等于1-整数{x=0..inf}-exp（-2*x）*cosh（x）/cosh（2*x）dx。
等于2*Integral_{x=0..inf}exp（x）*（exp（2*x）+1）*（exp（4*x）-1）/（exp。（完）
等于和{k>=0}（-1）^k*（2*k）/（2*k+1）！！。
等于积分_｛x＝0.Pi/4｝1/（cos（x）+sin（x））dx。（完）
等于2*Sum_{k>=0}（-1）^k/（（4*k+1）*（4*k+3））。
设N是可被4整除的正整数。我们有渐近展开式（1/sqrt（2））*log（1+sqrt））-2*Sum_{k=0..N/4-1}（-1）^k/（（4*k+1）*（4*k+3））~1/N^2-11/N^4+361/N^6-24611/N^8+。。。，其中无符号系数序列[1，11，361，24611，…]是A000464号。请参阅A181048号和A181049号下面给出了一个示例。（完）
等于1/Product_{p素数}（1-Kronecker（8，p）/p）），其中，如果p=2，Kronecker=0；如果p==1或7（mod 8），则为1；如果p=3或5（mod 9），则是-1-阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月17日
等于积分{x=0..Pi/2}sin^2（x）/（sin（x）+cos（x））dx[Nahin]-R.J.马塔尔2024年5月16日
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例子
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当N=10000时，截断数列和{k=0..N/4-1}（-1）^k/（（4*k+1）*（4*k+3））=0.6232252[3]014023[16]1339[3659]080…到小数点后27位。方括号内的数字显示了此十进制展开式与（1/sqrt（2））*log（1+sqrt）=0.6232252（4）014023（05）1339（4020）080……的不同之处。数字1，-11，361必须加到方括号内数字上，以使小数展开式正确到27位。（完）
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数学
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RealDigits[Log[1+Sqrt[2]]/Sqrt[2]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2011年12月27日*）
实数字[和[1/（（2n-1）2^n），{n，1，无限}]，10，120][1](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2019年5月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）log（平方码（2）+1）/sqrt（2）\\米歇尔·马库斯2017年9月27日
（Magma）SetDefaultRealField（RealFild（100））；对数（平方（2）+1）/Sqrt（2）//G.C.格鲁贝尔2018年10月5日
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交叉参考
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经核准的
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1, -2, -12, -40, -112, -288, -704, -1664, -3840, -8704, -19456, -43008, -94208, -204800, -442368, -950272, -2031616, -4325376, -9175040, -19398656, -40894464, -85983232, -180355072, -377487360, -788529152, -1644167168, -3422552064, -7113539584, -14763950080
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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abs的Hankel变换(A002420美元)（即2*0^n-二项式（2n，n）/（2n-1））。
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链接
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配方奶粉
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通用：（1-6x）/（1-2x）^2；
和{n>=0}1/a（n）=1-弧（1）/sqrt（2）。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=1+反弧（1/sqrt（2））/sqrt（2中）。（完）
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数学
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a[n]：=（1-2n）*2^n；数组[a，40，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月1日*）
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交叉参考
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