搜索： a081182-编号：a081182
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A367211飞机
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| 三角形数组T（n，k），按行读取：多项式p（1，x）=1，p（2，x）=2+2x，p（n，x）=u*p。 |
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19
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1, 2, 2, 5, 6, 3, 12, 20, 12, 4, 29, 60, 50, 20, 5, 70, 174, 180, 100, 30, 6, 169, 490, 609, 420, 175, 42, 7, 408, 1352, 1960, 1624, 840, 280, 56, 8, 985, 3672, 6084, 5880, 3654, 1512, 420, 72, 9, 2378, 9850, 18360, 20280, 14700, 7308, 2520, 600, 90, 10
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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因为（p（n，x））是一个强可除序列，对于每个整数k，序列（p（n，k））是整数的一个强可除序列。
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链接
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里戈伯托·弗洛雷斯（Rigoberto Flórez）、罗宾逊·希吉塔（Robinson Higuita）和安塔拉·穆克吉（Antara Mukherjee），广义斐波那契多项式强可除性的刻画《整数》，18（2018），论文编号A14。
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配方奶粉
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p（n，x）=u*p（n-1，x）+v*p。
p（n，x）=k*（b^n-c^n），其中k=sqrt（1/8），b=x+1-sqrt（2），c=x+1+sqert（2）。
发件人沃纳·舒尔特2023年11月24日和2023年10月25日：（开始）
行多项式p（n，x）=Sum_{k=0..n-1}T（n，k）*x^k满足方程p'（n，x）=n*p（n-1，x），其中p'是p的一阶导数。
T（n，k）=T（n-1，k-1）*n/k，对于0<k<n和T（n、0）=A000129号（n） 对于n>0。
通用公式：t/（1-（2+2*x）*t-（1-2*x-x^2）*t^2）。（结束）
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示例
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前九行：
[答：]0 1 2 3 4 5 6 7 8
[1] 1;
[2] 2 2;
[3] 5 6 3;
[4] 12 20 12 4;
[5] 29 60 50 20 5;
[6] 70 174 180 100 30 6;
[7] 169 490 609 420 175 42 7;
[8] 408 1352 1960 1624 840 280 56 8;
[9] 985 3672 6084 5880 3654 1512 420 72 9;
。
第4行表示多项式p（4，x）=12+20x+12x^2+4x^3，因此（T（4，k））=（12，20，12，4），k=0..3。
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MAPLE公司
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P:=proc（n）选项记忆；如果其他（n<=1，n，2*P（n-1）+P（n-2））结束：
T：=（n，k）->P（n-k）*二项式（n，k）：
对于从1到9的n do[n]，seq（T（n，k），k=0..n-1）od；
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数学
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p[1，x_]：=1；p[2，x_]：=2+2 x；u[x_]：=p[2，x]；v[x_]：=1-2 x-x^2；
p[n_，x_]：=展开[u[x]*p[n-1，x]+v[x]*p[n-2，x]]
网格[表[系数列表[p[n，x]，x]、{n，1，10}]]
压扁[表[系数列表[p[n，x]，x]、{n，1，10}]]
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关键词
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作者
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A081179号
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| （0,1,0,2,0,4,0,8,0,16，…）的第三个二项式变换。 |
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0, 1, 6, 29, 132, 589, 2610, 11537, 50952, 224953, 993054, 4383653, 19350540, 85417669, 377052234, 1664389721, 7346972688, 32431108081, 143157839670, 631929281453, 2789470811028, 12313319895997, 54353623698786
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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a（n）=6*a（n-1）-7*a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
G.f.：x/（1-6*x+7*x^2）。
a（n）=（（3+sqrt（2））^n-（3-sqrt）（2）^n）/（2*m2））。[由Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com）更正，2008年12月27日]
a（n）=3^（n-1）和{i>=0}二项式（n，2i+1）*（2/9）^i-塞尔吉奥·法尔孔2016年3月15日
a（n）=2^（-1/2）*7^（n/2）*sinh（n*arcsinh（sqrt（2/7））-罗伯特·伊斯雷尔2016年3月15日
例如：exp（3*x）*sinh（平方码（2）*x）/sqrt（2）-伊利亚·古特科夫斯基2017年8月12日
a（n）=7^（n-1）/2）*切比雪夫（n-1，3/sqrt（7））-G.C.格鲁贝尔2024年1月14日
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MAPLE公司
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f： =gfun:-rectproc（{a（n）=6*a（n-1）-7*a（n-2），a（0）=0，a（1）=1}，a（n，记住）：
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数学
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系数列表[级数[x/（1-6x+7x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2013年8月6日*）
线性递归[{6，-7}，{0，1}，41](*G.C.格鲁贝尔2024年1月14日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，6，7）代表范围（0，23）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年4月22日
（岩浆）I:=[0,1]；[n le 2选择I[n]else 6*Self（n-1）-7*Self:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2013年8月6日
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容易的，非n
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作者
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A081180型
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| （0,1,0,2,0,4,0,8,0,16，…）的第四个二项式变换。 |
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0, 1, 8, 50, 288, 1604, 8800, 47944, 260352, 1411600, 7647872, 41420576, 224294400, 1214467136, 6575615488, 35602384000, 192760455168, 1043650265344, 5650555750400, 30593342288384, 165638957801472, 896804870374400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=8a（n-1）-14a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
G.f.:x/（1-8x+14x^2）。
a（n）=（（4+平方码（2））^n-（4-平方码（二））^n/（2*m2））。
a（n）=和{k=0..n}C（n，2k+1）2^k*4^（n-2k-1）。
如果左移一次A143095号.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年7月25日，R.J.马塔尔2009年10月15日
例如：exp（4*x）*sinh（平方码（2）*x）/sqrt（2）-伊利亚·古特科夫斯基2017年8月12日
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数学
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系数列表[级数[x/（1-8x+14x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2013年8月6日*）
线性递归[{8，-14}，{0，1}，30](*哈维·P·戴尔，2019年8月17日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，8，14）代表范围（0，22）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月23日
（岩浆）I:=[0,1]；[n le 2选择I[n]else 8*Self（n-1）-14*Self（n-2）:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2013年8月6日
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交叉参考
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关键词
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容易的，非n
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作者
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修改了第四个二项式变换的完成注释-R.J.马塔尔2009年10月15日
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A081183号
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| （0,1,0,2,0,4,0,8,0,16，…）的第六个二项式变换。 |
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0, 1, 12, 110, 912, 7204, 55440, 420344, 3159168, 23618320, 176008128, 1309074656, 9724619520, 72186895936, 535605687552, 3972913788800, 29464372088832, 218493396246784, 1620132103941120, 12012809774902784, 89069225764835328
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=12*a（n-1）-34*a（n-2），n>1，a（0）=0，a（1）=1。
G.f.:x/（1-12*x+34*x^2）。
a（n）=（（6+平方码（2））^n-（6-平方码（二））^n）/（2*平方码（两））。
a（n）=和{k=0..n}C（n，2k+1）*2^k*6^（n-2k-1）。
例如：exp（6*x）*sinh（平方码（2）*x）/sqrt（2）-伊利亚·古特科夫斯基2017年8月12日
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数学
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系数列表[级数[x/（1-12 x+34 x ^2），{x，0，20}]，x](*文森佐·利班迪2013年8月7日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，12，34）代表范围（0，21）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月27日
（岩浆）[n le 2选择n-1其他12*自我（n-1）-34*自我（n-2）：n in[1..25]]//文森佐·利班迪2013年8月7日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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已批准
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A164301号
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| a（n）=（（1+4*m2））*（5+m2）^n+（1-4*m2）*（5-m2）^n）/2。 |
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1, 13, 107, 771, 5249, 34757, 226843, 1469019, 9472801, 60940573, 391531307, 2513679891, 16131578849, 103501150997, 663985196443, 4259325491499, 27321595396801, 175251467663533, 1124117982508907, 7210396068827811, 46249247090573249, 296653361322692837
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这个序列是由递归a（n，m）=2*（m+1）*a（n-1，m）-（（m+1，m）^2-2）*a（n-2，m）定义的一类序列的一部分，其中a（0）=1，a（1）=m+9。生成函数是Sum_{n>=0}a（n，m）*x^n=（1-（m-7）*x）/（1-2*（m+1）*x+（（m+1，^2-2）*x~2），并根据由a（n、m）=（1/2）*Sum__{k=0..n}二项式（n，k）*m^（n-k）*（5*Q（k）+4*Q（k-1））定义的Pell-Lucas数进行了级数展开-G.C.格鲁贝尔2021年3月12日
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链接
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配方奶粉
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当n>1时，a（n）=10*a（n-1）-23*a（n-2）；a（0）＝1、a（1）＝13。
总尺寸：（1+3*x）/（1-10*x+23*x^2）。
例如：（cosh（sqrt（2）*x）+4*sqrt-G.C.格鲁贝尔，2017年9月13日
a（n）=（1/2）*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*4^（n-k）*（5*Q（k）+4*Q（k-1）），其中Q（n）=Pell-Lucas（n）=A002203号（n） 。（结束）
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数学
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线性递归[{10，-23}，{1，13}，20](*哈维·P·戴尔2015年10月15日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）Z<x>：=多项式环（整数（））；N<r>：=数字字段（x^2-2）；S： =[[0..19]]中的[（（1+4*r）*（5+r）^n+（1-4*r）x（5-r）^n）/2:n；[1..#S]]中的[Integers（）！S[j]：j//克劳斯·布罗克豪斯2009年8月17日
（PARI）我的（x='x+O（'x^50））；Vec（（1+3*x）/（1-10*x+23*x^2））\\G.C.格鲁贝尔2017年9月13日
（鼠尾草）[（（1+3*x）/（1-10*x+23*x^2））.series（x，n+1）.list（）[n]代表（0..30）中的n]#G.C.格鲁贝尔2021年3月12日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年8月12日
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扩展
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状态
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已批准
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A153593号
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| a（n）=（（9+平方码（2））^n-（9-平方码（1））^n）/（2*2））。 |
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4
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1, 18, 245, 2988, 34429, 383670, 4186169, 45041112, 480032665, 5082340122, 53559541661, 562566880260, 5895000053461, 61667217421758, 644304909368225, 6725778192309168, 70163919621475249, 731614075994130210
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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lim_{n->infinity}a（n）/a（n-1）=9+sqrt（2）=10.4142135623。。。。
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链接
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配方奶粉
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当n>1时，a（n）=18*a（n-1）-79*a（n-2）；a（0）=0，a（1）=1-菲利普·德尔汉姆2009年1月1日
G.f.:x/（1-18*x+79*x^2）-克劳斯·布罗克豪斯，2008年12月31日，2009年10月11日更正
a（n）=总和[二项式[n-1-i，i]（-1）^i*18^（n-1-2i）*79^i，{i，0，Floor[（n-1）/2]}]-塞尔吉奥·法尔孔2009年9月21日
例如：exp（9*x）*sinh（平方码（2）*x）/sqrt（2）-伊利亚·古特科夫斯基2017年8月12日
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数学
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线性递归[{18，-79}，{1，18}，25](*G.C.格鲁贝尔2016年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）Z<x>：=多项式环（整数（））；N<r>：=数字字段（x^2-2）；S： =[1..18]]中的[（（9+r）^n-（9-r）^n）/（2*r）：n；[整数（）！S[j]：j在[1..#S]]中//克劳斯·布罗克豪斯2008年12月31日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2008年12月29日
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扩展
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状态
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已批准
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A163616号
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| a（n）=（（1+3*m2））*（5+m2）^n+（1-3*m2）*（5-m2）^n）/2。 |
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三
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1, 11, 87, 617, 4169, 27499, 179103, 1158553, 7466161, 48014891, 308427207, 1979929577, 12705470009, 81516319819, 522937387983, 3354498523993, 21517425316321, 138020787111371, 885307088838327, 5678592784821737
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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当n>1时，a（n）=10*a（n-1）-23*a（n-2）；a（0）=1，a（1）=11。
通用名称：（1+x）/（1-10*x+23*x^2）。
例如：exp（5*x）*（cosh（sqrt（2）*x）+3*sqrt-G.C.格鲁贝尔2017年7月30日
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数学
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系数列表[级数[（1+x）/（1-10x+23x^2），{x，0，20}]，x](*韦斯利·伊万·赫特2014年6月14日*）
线性递归〔｛10，-23｝，｛1，11｝，50〕(*G.C.格鲁贝尔2017年7月30日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）Z<x>：=多项式环（整数（））；N＜r＞：=数字字段（x^2-2）；S： =[[0..19]]中的[（（1+3*r）*（5+r）^n+（1-3*r）x（5-r）^n）/2:n；[整数（）！S[j]：j在[1..#S]]中//克劳斯·布罗克豪斯2009年8月6日
（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（（1+x）/（1-10*x+23*x^2））\\G.C.格鲁贝尔2017年7月30日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年8月1日
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扩展
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状态
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已批准
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0, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 8, 0, 4, 0, 4, 0, 20, 0, 5, 0, 0, 24, 0, 40, 0, 6, 0, 8, 0, 84, 0, 70, 0, 7, 0, 0, 64, 0, 224, 0, 112, 0, 8, 0, 16, 0, 288, 0, 504, 0, 168, 0, 9, 0, 0, 160, 0, 960, 0, 1008, 0, 240, 0, 10, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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示例
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三角形开始：0；1,0 ; 0,2,0；2,0,3,0 ; 0,8,0,4,0；4,0,20,0,5,0 ; ...
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