登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a059381-编号：a059381
显示找到的8个结果中的1-8个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A238688型 行读取的三角形：T（n，k）=A059381号（n）/(A059381号（k）*A059381号（n-k））。 +20
5
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 8, 1, 1, 12, 32, 12, 1, 1, 24, 96, 96, 24, 1, 1, 24, 192, 288, 192, 24, 1, 1, 48, 384, 1152, 1152, 384, 48, 1, 1, 48, 768, 2304, 4608, 2304, 768, 48, 1, 1, 72, 1152, 6912, 13824, 13824, 6912, 1152, 72, 1, 1, 72, 1728, 10368, 41472, 41472 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
我们假设A059381号（0）=1，因为它是空产品。
这些是与Jordan totiten函数J_2相关的广义二项式系数A007434号.
另一个名称可能是二项式系数。
链接
n，a（n）的表，n=0..60。
汤姆·埃德加，多项式系数，INTEGERS，14（2014），#A62。
汤姆·埃德加和迈克尔·斯皮维，乘法函数、广义二项式系数和广义加泰罗尼亚数《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.1.6条。
Donald E.Knuth和Herbert S.Wilf，素数除以广义二项式系数的幂J.Reine Angew著。数学。，396:212-219, 1989.
公式
T（n，k）=A059381号（n）/(A059381号（k）*A059381号（n-k））。
T（n，k）=产品_｛i=1..n｝A007434号（i） /（prod_{i=1..k}A007434号（i） *prod_{i=1..n-k}A007434号（i） ）。
T（n，k）=A007434号（n） /n*（k/A007434号（k） *T（n-1，k-1）+（n-k）/A007434号（n-k）*T（n-1，k））。
例子
第二个Jordan函数中的前五项是1,3,8,12,24，因此T（4,2）=12*8*3*1/（（3*1）*（3+1））=32，T（5,3）=24*12*8*1/（8*3+1）*（3+1））=96。
三角形开始
1
1 1
1 3 1
1 8 8 1
1 12 32 12 1
1 24 96 96 24 1
1 24 192 288 192 24 1
黄体脂酮素
（鼠尾草）
q=100#为更多行更改q
对于[1..q]]中的i，P=[0]+[i^2*prod（对于prime_divisors（i）中的P，[1-1/P^2）
对于[0..n]]中的k，对于[0..len（P）-1]]#中的n，[[prod（P[1:n+1]）/（prod（P1:k+1]）*prod（P[1:（n-k）+1]）生成最多q行的三角形。
交叉参考
囊性纤维变性。A007434号,A059381号,A238453型.
关键词
非n,表
作者
汤姆·埃德加2014年3月2日
状态
经核准的
A001088号 总函数的乘积：a（n）=Product_{k=1..n}phi（k）（比较。A000010号). +10
33
1, 1, 1, 2, 4, 16, 32, 192, 768, 4608, 18432, 184320, 737280, 8847360, 53084160, 424673280, 3397386240, 54358179840, 326149079040, 5870683422720, 46965467381760, 563585608581120, 5635856085811200, 123988833887846400, 991910671102771200, 19838213422055424000 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
a（n）也是对称n×n矩阵M的行列式，M（i，j）=gcd（i，j）定义为1<=i，j<=n[Smith and Mansion]。-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年3月20日
矩阵M（i，j）=gcd（i，j）是序列A003989号. -迈克尔·索莫斯2012年6月25日
参考文献
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第2卷，第598页。
M.Petkovsek等人，A=B，Peters，1996年，第21页。
链接
Antoine Mathys，n=0..496时的n，a（n）表（T.D.Noe的前100个术语）
安塔尔·贝吉，GCD矩阵的Hadamard积《Sapientiae大学学报》，Mathematica，1，1（2009）43-49。
加泰罗尼亚东部，史密斯公馆MM《新对应数学》，4（1878）103-112。[菲利普·德尔汉姆2003年12月22日]
沃伦·约翰逊，初等数论中的LDU分解《数学杂志》，76（2003），392-394。
P.大厦，关于Smith教授的一个算术定理《数学信使》（1878），第81-82页。
数学溢出，欧拉总函数乘积的渐近性, 2016.
H.J.S.Smith，关于一类算术行列式的值，程序。伦敦数学。Soc.7（1875-1876），第208-212页。
埃里克·魏斯坦的数学世界，勒佩奇定理
可除序列索引
公式
a（n）=φ（1）*φ（2）*…*φ（n）。
极限{n->infinity}a（n）^（1/n）/n=exp（-1）*A124175号=0.25963050288186353879675428232497466858780592058515016427881513657493…（请参阅Mathoverflow链接）-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月9日
例子
a（2）=1，因为矩阵M是：[1,1；1,2]，而det（a）=1。
MAPLE公司
带有（numtheory，phi）；A001088号：=程序（n）局部i；mul（phi（i），i＝1..n）；结束；
序列(A001088号（n） ，n=0..30）；
数学
A001088号[n_]：=次数@@EulerPhi/@范围[n]；表[A001088号[n] ，{n，30}](*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2010年9月19日*）
休息[FoldList[Times，1，EulerPhi[Range[30]]](*哈维·P·戴尔2011年12月9日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a001088 n=a001088_列表！！（n-1）
a001088_list=扫描1（*）a000010_list
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月4日
（PARI）a（n）=产品（k=1，n，eulerphi（k））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年3月4日
（GAP）列表（[1..30]，n->产品（[1..n]，i->Phi（i）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月31日
交叉参考
囊性纤维变性。A000010号,A060238号,A060239号,A059381号,A059382号,A059383号,A059384号,A002088号.
囊性纤维变性。A003989号.
关键词
非n,美好的,容易的
作者
西蒙·普劳夫
扩展
a（0）=1前面加阿洛伊斯·海因茨2023年7月19日
状态
经核准的
175836英镑 a（n）=产品{i=1..n}psi（i），其中psi是Dedekind psi函数(A001615号). +10
10
1, 3, 12, 72, 432, 5184, 41472, 497664, 5971968, 107495424, 1289945088, 30958682112, 433421549568, 10402117189632, 249650812551168, 5991619501228032, 107849151022104576, 3882569436795764736 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a（n）也是由M（i，j）定义的对称n×n矩阵M的行列式=A060648型（gcd（i，j））对于1<=i，j<=n，请注意A060648型是的逆Möbius变换A001615号. -恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年8月12日
链接
查尔斯·格里塔斯四世，n=1..423时的n，a（n）表
安塔尔·贝吉，GCD矩阵的Hadamard积《Sapientiae大学学报》，Mathematica，1，1（2009）43-49
埃里克·魏斯坦的数学世界，勒佩奇定理
可除序列索引
公式
a（n）=A059381美元（n）/A001088号（n） ●●●●。
MAPLE公司
A175836号：=proc（n）选项记忆；局部p`如果`（n<2，1，n*mul（1+1/p，p=系数集（n））*A175836号（n-1）端：#彼得·卢什尼，2014年2月28日
数学
JordanTotient[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&IntegerQ[n]；
DedekindPsi[n_]：=约丹·托蒂恩[n，2]/欧拉·菲[n]；
A175836号[n]：=次数@@DedekindPsi/@范围[n]
黄体脂酮素
（PARI）a=direuler（p=2100，（1+X）/（1-p*X））；对于（i=2，#a，a[i]*=a[i-1]）；一
\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月29日
（哈斯克尔）
a175836 n=a175836_列表！！（n-1）
a175836_list=扫描1（*）a001615_list
--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月1日
交叉参考
囊性纤维变性。A001615号,A001088号,A059381号,A059382号,A059383号,A059384号,A238498型.
囊性纤维变性。A239672型.
关键词
非n
作者
恩里克·佩雷斯·埃雷罗2010年9月18日
状态
经核准的
A059382美元 产品J_3（i），i=1…n。 +10
8
1, 7, 182, 10192, 1263808, 230013056, 78664465152, 35241680388096, 24739659632443392, 21474024560960864256, 28560452666077949460480, 41584019081809494414458880, 91318505903653649734151700480, 218616503133346837463559170949120 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a（n）也是对称n×n矩阵M的行列式，由M（i，j）=gcd（i，j^3）定义，用于1<=i，j<=n。-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年3月22日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第203页，#17。
链接
恩里克·佩雷斯·埃雷罗，n=1..100时的n，a（n）表
安塔尔·贝吉，GCD矩阵的Hadamard积《Sapientiae大学学报》，Mathematica，1，1（2009）43-49。
埃里克·魏斯坦的数学世界，勒佩奇定理
数学
JordanTotient[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&IntegerQ[n]；A059382号[n_]：=次数@@（JordanTotient[#，3]&&@范围[n]）；(*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年8月6日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A001088号,A059376号,A059381号,A059383号,A059384号,A175836号.
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2001年1月28日
状态
经核准的
A059383号 产品J_4（i），i=1…n。 +10
7
1, 15, 1200, 288000, 179712000, 215654400000, 517570560000000, 1987470950400000000, 12878811758592000000000, 120545678060421120000000000, 1764788726804565196800000000000, 33883943554647651778560000000000000, 967725427920736934795673600000000000000 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a（n）也是对称n×n矩阵M的行列式，由M（i，j）=gcd（i，j^4）定义，用于1<=i，j<=n。-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年3月22日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第203页，#17。
链接
G.C.格鲁贝尔，n=1..140时的n，a（n）表
安塔尔·贝吉，GCD矩阵的Hadamard积《Sapientiae大学学报》，Mathematica，1，1（2009）43-49。
埃里克·魏斯坦的数学世界，勒佩奇定理
数学
JordanTotient[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&IntegerQ[n]；A059383号[n_]：=次数@@（JordanTotient[#，4]和/@Range[n]）；(*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年8月12日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A001088年,A059377号,A059381号,A059382号,A059383号,A059384号,A175836号.
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2001年1月28日
状态
经核准的
A059384号 a（n）=产品{i=1..n}J_5（i）。 +10
6
1, 31, 7502, 7441984, 23248758016, 174412182636032, 2931171141381153792, 93047096712003345973248, 5471727569246068763302821888, 529903984716066283313298482921472, 85341036738522474927606720674503065600, 20487310643596659421020979792003903940198400 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a（n）也是对称n X n矩阵M的行列式，由M（i，j）=gcd（i，j^5）定义为1<=i，j<=n。-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年3月22日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第203页，#17。
链接
G.C.格鲁贝尔，n=1..120时的n，a（n）表
Antal Bege，GCD矩阵的Hadamard积《Sapientiae大学学报》，Mathematica，1，1（2009）43-49。
埃里克·魏斯坦的数学世界，勒佩奇定理
数学
JordanTotient[n_Integer，k_：1]：=除数和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]；f[n_]：=次数@@（JordanTotient[#，5]&/@Range[n]）；(*恩里克·佩雷斯·埃雷罗*)数组[f，11](*罗伯特·威尔逊v2011年10月8日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A001088号,A059378号,A059381号,A059382号,A059383号,A175836号.
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2001年1月28日
状态
经核准的
A239672型 产品{i=1..n}J_6（i）其中J_6=A069091号（i） ●●●●。 +10
2
1, 63, 45864, 184923648, 2889247076352, 132512427909808128, 15589822118733106642944, 4022922418094840702998413312, 2135013202351949099169693925638144, 2101519115233451721701919767332732796928, 3722967203782973732098252983015976113725767680 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
这是的广义阶乘A069091号.
a（n）也是对称n×n矩阵M的行列式，由M（i，j）=gcd（i，j^6定义，对于1<=i，j<=n。
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第203页，#17。
链接
n=1..11时的n，a（n）表。
安塔尔·贝吉，GCD矩阵的Hadamard积《Sapientiae大学学报》，Mathematica，1，1（2009）43-49。
埃里克·魏斯坦的数学世界，勒佩奇定理
黄体脂酮素
（鼠尾草）
q=15#更改q以获得更多术语
J6=[1..q]]中i的[i^6*prod（[1-1/p^6表示prime_divisors（i）中的p）
[0..q-1]]中i的[prod（J6[0:i+1]）
交叉参考
囊性纤维变性。A069091号,A175836号,A059381号,A059382号,A059383号.
关键词
非n
作者
汤姆·埃德加2014年3月23日
状态
经核准的
A177066号 由M（i，j）定义的对称n X n矩阵M的行列式=gcd（2i-1,2j-1）对于1<=i，j<=n。 +10
1
1, 2, 8, 48, 288, 2880, 34560, 276480, 4423680, 79626240, 955514880, 21021327360, 420426547200, 7567677849600, 211894979788800, 6356849393664000, 127136987873280000, 3051287708958720000, 109846357522513920000 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
看起来，比率a（n+1）/a（n）给出φ（2n+1），但尚未证明(A037225号).
请参见A001088号,A059381号，以及A059382号矩阵M的行列式分别由M（i，j）=gcd（i，j）、gcd（i^2，j^2）和gcd（i^3，j^3）定义。
链接
n=1..19时的n，a（n）表。
MAPLE公司
A177066号：=程序（n）M：=矩阵（n）；对于i从1到n do，对于j从1到n do M[i，j]：=igcd（2*i-1，2*j-1）；end do：end do:线性代数[行列式]（M）；结束进程：#R.J.马塔尔2010年12月10日
交叉参考
囊性纤维变性。A001088号,A037225号,A059381号,A059382号.
关键词
非n
作者
约翰·莱曼2010年12月9日
状态
经核准的
第页1

搜索在0.009秒内完成

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新的seq。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间：美国东部夏令时2024年6月23日13:32。包含373648个序列。（在oeis4上运行。）