搜索: a027652-编号:a027653
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A000521号
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| 模函数j的系数作为q=e^(2 Pi i t)中的幂级数。另一个名称是椭圆模不变量J(tau)。 (原名M5477 N2372)
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1、744、196884、21493760、864299970、202458556256、333202640600、4252023300096、44656994071935、401490886656000、3176440229784420、22567393309593600、146211911499519294、874313719685775360、4872010111798142520、25497827389410525184、126142916465781843075
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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“(j函数的)最自然的归一化是将常数项设置为24,即j函数系数的Rademacher无穷级数所给出的数字”。[博切尔群岛]
将术语744更改为24表示A007240号Monster简单组的1A级McKay-Thompson系列。
Klein的绝对不变量J=J/1728是伽马模。
KleinInvariantJ[](版本6到8)的Mathematica实现中存在错误,为a[7]、a[9]、a[11]和其他值提供了错误的值-迈克尔·索莫斯2012年3月7日
如果有无穷多的k使得a(k)是素数,这是一个悬而未决的问题。已知的此类指数列于A339429型参见Fredrik Johansson的论文-彼得·卢什尼2021年5月5日
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参考文献
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J.M.Borwein和P.B.Borwein.,《Pi和AGM》,威利出版社,1987年,第115页。
H.Cohen,《计算代数数论课程》,Springer,1996年,第376ff页。
A.Erdelyi,《高等超越功能》,McGraw-Hill,1955年,第3卷,第20页。
Evans、David E.和Yasuyuki Kawahigashi。“子因子和数学物理”,《美国数学学会公报》,60:4,(2023),459-482(见第472页)。
M.Kaneko,椭圆模函数j(tau)的傅立叶系数(日语),Rokko数学讲座10,数学系。,神户大学科学院,日本神户市六甲市,2001年。
M.J.Knopp,J(tau)上的Rademacher,非正权的Poincare级数和Eichler上同调,Notices Amer。数学。《社会学杂志》,37:4(1990),385-393。
S.Lang,模块化形式介绍,Springer-Verlag,1976年,第12页。
B.Schoeneberg,椭圆模函数,Springer-Verlag,纽约,1974年,第56页。
J.H.Silverman,《椭圆曲线算术高级主题》,施普林格出版社,见第482页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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D.Alexander、C.Cummins、J.McKay和C.Simons,完全可复制的功能,《分组、组合数学与几何》(Durham,1990),第87-98页,伦敦数学。Soc.专著第165号。
D.Alexander、C.Cummins、J.McKay和C.Simons,完全可复制的功能,LMS课堂讲稿,165,编辑Liebeck和Saxl(1992),87-98,注释和扫描副本。
J.H.Conway和S.P.Norton,怪诞的月亮,公牛。伦敦。数学。《社会分类》第11卷(1979)308-339页。
W.杜克,连分式和模函数,公牛。阿默尔。数学。Soc.42(2005),137-162。
安德烈亚斯·恩格(Andreas Enge)、威廉·哈特(William Hart)和弗雷德里克·约翰逊(Fredrik Johansson),θ函数的短加法序列,arXiv:1608.06810[math.NT],2016-2018。
D.Ford、J.McKay和S.P.Norton,关于可复制功能的更多信息、Commun。《代数》22,第13期,5175-5193(1994)。
Y.-H.He和V.Jejjala,模块化矩阵模型,arXiv:hep-th/03072932003年。
杨辉和约翰·麦凯,月亮与生命的意义,arXiv:14082083[math.NT],2014年。
杨辉和约翰·麦凯,零星和例外,arXiv:1505.06742[math.AG],2015年。
M.Jankiewicz和T.W.Kephart,大c共形场理论之间的变换,编号。物理学。B 744(2006)380-397表6。
弗雷德里克·约翰逊,计算j函数的孤立系数,arXiv:2011.4671[math.NT],2020年。
小池正雄,非紧算术三角群上的模形式,未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释,2021年2月14日。我在第一页写的是2005年,但内部证据表明是1997年。]
瓦尔多·塔蒂舍夫,怪物月光简介,arXiv:1902.03118[math.NT],2019年。
A.van Wijngaarden,关于模不变量J(tau)的系数《荷兰科宁克利法院诉讼》,A辑,56(1953),389-400【给出100个术语】。
A.van Wijngaarden,关于模不变量J(tau)的系数《荷兰科宁克利法院诉讼》,A辑,56(1953),389-400【给出100个术语】。[带注释的扫描副本]
赫伯特·祖克曼,J(τ)较小系数的计算,公牛。阿默尔。数学。《社会学》第45卷(1939年),第917-919页。
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公式
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通用名称:A007245号(q) ^3/q;或(1+240 Sum_{k>0}sigma_3(k)q^k)^3/(q乘积_{k>0}(1-q^k,^24)。
128*(θ_2(q)^8+θ_3-迈克尔·索莫斯2007年10月2日
a(n)~exp(4*Pi*n(1/2))/(2^(1/2)*n(3/4))[Peterson(1932),Rademacher(1938)]-Gheorghe Coserea公司2015年10月9日
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例子
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j=1/q+744+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。
如果J_n:=J(sqrt(-n))^(1/3),则J_1=12,J_2=20,J_4=66,J_77=255-迈克尔·索莫斯2019年10月31日
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MAPLE公司
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其中(数字理论):TOP:=31;
g2:=(4/3)*(1+240*加法(sigma[3](n)*q^n,n=1..TOP-1));
g3:=(8/27)*(1-504*加(σ[5](n)*q^n,n=1..TOP-1));
δ:=系列(g2^3-27*g3^2,q,TOP);
j:=系列(1728*g2^3/delta,q,TOP);
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数学
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系数表[Normal[Series[1728*KleinInvariantJ[z],{z,0,30}]*Exp[-2*I*Pi/z]]/。E^(Pi*复数[0,n_]/z)->t^(-n/2),t](*阿图尔·贾辛斯基,2008年12月20日,以Daniel Lichtblau命名,更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*)
a[n_]:=具有[{tau=Log[q]/(2 Pi I)},级数系数[Series[1728 KleinInvariantJ[tau],{q,0,n}],{q,0,n{]];(*迈克尔·索莫斯2011年11月20日*)(*自V7开始*)
a[n_]:=具有[{e1=DedekindEta[Log[q]/(2 Pi I)]^24,e2=DedekindEta[Log[q]/(Pi I)]^24},序列系数[序列[(e1+256 e2)^3/(e1^2 e2),{q,0,n+1}],{q,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
a[n_]:=与[{L=ModularLambda[Log[q]/(2Pi I)]},系列系数[系列[256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2,{q,0,2n+3}],{q、0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
a[n_]:=如果[n<-1,0,With[{E4=1+240 Sum[DivisorSigma[3,k]q^k,{k,n+2}],E6=1-504 Sum[divisorSigra[5,k]q ^k,},{k、n+2}]},SeriesCoefficient[Series[1728 E4^3/(E4^3-E6^2),{q,0,n}],{q、0,n{}]];(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^3/(16777216*QPoch hammer[-1,x]^24],{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
a[n_]:=级数系数[With[{L=Inverse EllipticNomeQ[rootQ]},256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2],{rootQ,0,2n}];(*简·曼加尔丹2020年7月7日之后迈克尔·索莫斯; 已由更正利奥·斯坦因2024年2月25日*)
a[n_]:=级数系数[12^3克莱因不变量J[Log[q]/(2 Pi I)],{q,0,n}](*利奥·斯坦因2024年2月25日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^(2*n+2)*O(x);a=x*/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^(5*n+5)*O(x);a=(eta(x+a)/eta(x^5+a))^6/x;polcoeff(subst((x^2+10*x+5)^3/x,x,a),5*n))}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^2*O(x^n);a=x*(eta(x^2+a)/eta(x+a))^24;波尔科夫((1+256*a)^3/a,n))}/*迈克尔·索莫斯2004年7月13日*/
(PARI)q='q+O('q^66);Vec(ellj(q))\\乔格·阿恩特2016年4月24日
(PARI){a(n)=如果(n<-1,0,polceoff(ellj(x+x^3*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2016年12月25日*/
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容易的,非n,美好的,核心
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A027653号
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| Zagier函数J_1(k)的值作为k遍历数字-1、0、3、4、7、8。。。==-1或0 mod 4。 |
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-1, 2, -248, 492, -4119, 7256, -33512, 53008, -192513, 287244, -885480, 1262512, -3493982, 4833456, -12288992, 16576512, -39493539, 52255768, -117966288, 153541020, -331534572, 425691312, -884736744, 1122626864, -2257837845, 2835861520, -5541103056, 6896878512
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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也就是说,a(n)=J_1(k),其中k是第n个数>=-1,即==-1或0 mod 4。
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参考文献
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M.Kaneko,椭圆模函数j(tau)的Fourier系数和奇异模,回忆录Faculty Engin。科学。,《京都仪器技术》,44(1996年3月),第1-5页。
M.Kaneko,椭圆模函数j(tau)的傅里叶系数(日语),数学系Rokko数学讲座10。,神户大学科学院,日本神户市六甲市,2001年。
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公式
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有关重现性,请参见Maple代码。
a(n)~(-1)^n*exp(Pi*sqrt(2*n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年10月6日
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MAPLE公司
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带有(数字理论);M: =30;t[-1]:=-1;t[0]:=2;
对于从1到M的n do
t[4*n-1]:=-240*sigma[3](n)-加(r^2*t[4xn-r^2],r=2..层(sqrt(4*n+1));
t[4*n]:=-2*add(t[4xn-r^2],r=1..楼层(sqrt(4*n+1));
l打印(t[4*n-1],t[4xn]);日期:
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1, 248, 4119, 33512, 192513, 885480, 3493982, 12288992, 39493539, 117966288, 331534572, 884736744, 2257837845, 5541103056, 13136687601, 30197680312, 67515206970, 147197952744, 313645814923, 654403831496, 1339190286960, 2691907586232, 5321761716339, 10359073015248
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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M.Kaneko,《椭圆模函数j(tau)的傅立叶系数和奇异模》,回忆录学院工程。科学。,《京都仪器技术》,44(1996年3月),第1-5页。
M.Kaneko,椭圆模函数j(tau)的傅里叶系数(日语),数学系Rokko数学讲座10。,神户大学科学院,日本神户市六甲市,2001年。
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2, 492, 7256, 53008, 287244, 1262512, 4833456, 16576512, 52255768, 153541020, 425691312, 1122626864, 2835861520, 6896878512, 16220381536, 37017882624, 82226601996, 178211037024, 377674773768, 784073551152, 1597178431536, 3196800943968, 6294842638512, 12207820353536
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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M.Kaneko,椭圆模函数j(tau)的Fourier系数和奇异模,回忆录Faculty Engin。科学。,《京都仪器技术》,44(1996年3月),第1-5页。
M.Kaneko,椭圆模函数j(tau)的傅里叶系数(日语),数学系Rokko数学讲座10。,神户大学科学院,日本神户市六甲市,2001年。
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