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勾股倒三角形的次幂：1/（12n）^2=1/b^2+1/c^2的解的个数[其中b>=c>0]；还有的值的数量A020885美元（重复）除数。
+20
1
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 5
评论
原始倒数勾股三角形1/a^2=1/b^2+1/c^2具有a=fg，b=ef，c=eg，其中e^2=f^2+g^2；即e、f、g表示原始毕达哥拉斯三角形的边。但是原始毕达哥拉斯三角形的两条腿的乘积是12的倍数，所以倒易毕达哥尔斯三角形斜边的倒数总是12的倍数(A008594号).
例子
a（1）=1，因为1/（12*1）^2=1/12^2=1/15^2+1/20^2；
a（70）=6，自1/（12*70）^2=1/840^2=1+875^2+1/3000^2=1888^2+1/2590^2=1/910^2+1/20184^2=1/952^2+1/1785^2=1/1050^2+11400^2=1/1160^2+1/1218^2。
正在查看A020885美元，1可以被1整除，而70可以被1、5、10、14、35整除，然后再被35整除。
4, 12, 15, 21, 24, 35, 40, 45, 55, 56, 60, 63, 72, 77, 80, 84, 91, 99, 105, 112, 117, 120, 132, 140, 143, 144, 153, 156, 165, 168, 171, 176, 180, 187, 195, 208, 209, 220, 221, 224, 231, 240, 247, 252, 253, 255, 260, 264, 272, 273, 275, 285, 288, 299, 304, 308, 312, 323
评论
考虑本原毕达哥拉斯三角形（A^2+B^2=C^2，（A，B）=1，A<B）；序列给出B的值，已排序。
这个序列中的任何项都是由f（m，n）=2*m*n或g（m，n）=m^2-n^2给出的，其中m和n是任意两个正整数，m>1，n<m，m和n的最大公约数是1，m和n都不是奇的；例如，f（m，n）=f（2,1）=2*2*1=4-阿戈拉·基西拉·奥德罗，2016年4月29日
此外，积分边三角形的本原三元组（a，b，c）的有序边a，其中边a是其他两条边b和c的调和平均值，即2/a=1/b+1/c，其中b<a<c。
例如：a（2）=12，因为第二个三元组是（12，10，15），边a=12，满足2/12=1/10+1/15和15-12<10<15+12。
出现两次420的第一个术语对应于三元组（420310651）和（420406435），第二个术语是572=a（101）=a（102）=A024410号（2） 对应于三元组（572407962）和（572455770）。在此序列中出现多次的术语位于A024410号.
参考文献
V.Lespinard&R.Pernet，Trigonométrie，Classe de Mathématiquesélémentaires，1962年计划，B-337问题，第179页，安德烈·德斯维涅。
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从4到325度
对于b从地板（a/2）+1到a-1 do
c：=a*b/（2*b-a）；
如果c=楼层（c），igcd（a，b，c）=1，c-b<a，则打印（a）；结束条件：；
末端do；
3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 28, 29, 31, 32, 33, 33, 35, 36, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 43, 44, 44, 45, 47, 48, 48, 49, 51, 51, 52, 52, 53, 55, 56, 57, 57, 59, 60, 60, 60, 61, 63, 64, 65, 65, 67, 68, 68, 69, 69, 71, 72, 73, 75, 75, 76, 76, 77
评论
考虑原始勾股三角形（A^2+B^2=C^2，（A，B）=1，A<=B）；序列给出A的值，已排序。
这个序列中的每个项都是由f（m，n）=m^2-n^2或g（m，n）=2mn给出的，其中m和n是相对素数正整数，m>n，m和n都不是奇数。例如，a（1）=f（2,1）=2^2-1^2=3，a（4）=g（4,1）=2*4*1=8-阿戈拉·基西拉·奥德罗，2016年4月29日
2大于4（2^2）的所有幂都是项，由函数g（m，n）=2mn生成-托拉赫·拉什2019年11月8日
链接
尼克·埃克斯纳，生成勾股三元组。这最初是一个Java小程序（1998年），由Michael McKelvey于2001年修改，并由Evan Ramos于2014年用JavaScript重新制作为HTML页面。
数学
短腿={}；amx=99；Do[For[b=a+1，b<（a^2），c=（a^2+b^2）^（1/2）；If[c==IntegerPart[c]&&GCD[a，b，c]==1，AppendTo[shortLegs，a]]；b=b+2]，{a，3，amx}]；短腿(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2008年8月7日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a020884 n=a020884_列表！！（n-1）
a020884_list=f 1 1其中
fuv|v>uu`div`2=f（u+1）（u+2）
|gcd u v>1 | | w==0=f u（v+2）
|否则=u:f u（v+2）
其中uu=u^2；w=a037213（uu+v^2）
6, 15, 20, 28, 35, 42, 45, 63, 66, 72, 77, 88, 91, 99, 104, 110, 117, 120, 130, 143, 153, 156, 165, 170, 187, 190, 195, 204, 209, 210, 221, 228, 231, 238, 247, 255, 266, 272, 273, 276, 285, 299, 304, 322, 323, 325, 336, 342, 345, 350, 357, 368, 378, 391, 399
评论
此外，积分边三角形的本原三元组（a，b，c）的有序边c，其中边a是其他两条边b和c的调和平均值，即2/a=1/b+1/c与b<a<c(A343893型). -伯纳德·肖特2021年5月6日
MAPLE公司
isA020886:=proc（an）局部r:：integer，s:：intger；对于从地板（（an/2）^（1/2））到地板（an^（1/2））的r，如果r*（r+s）=an且gcd（r，s）<2，则为s从r-1到1乘-2 do，然后返回（true）；fi；如果r*（r+s）<an，则中断；fi；od；od：返回（假）；结束：对于从2到400的n，如果是A020886（n），则执行printf（“%d，”，n）；fi；od#R.J.马塔尔2006年6月8日
数学
A078926号[n]：=和[Boole[n<d^2<2n&&互质Q[d，n/d]]，{d，除数[n/2^IntegerExponent[n，2]}]；
黄体脂酮素
（PARI）是（n，f=系数（n））=my（P=应用（i->f[i，1]^f[i、2]，[2-n%2..#f~]），nn=2*n）；对于vec（v=向量（#P，i，[0,1]），my（d=prod（i=1，#v，P[i]^v[i]），d2=d^2）；如果（d2<nn&&d2>n，返回（1））；0
列表（lim）=我的（v=列表（））；forfactored（n=6，lim\1，if（is（n[1]，n[2]），listput（v，n[1]））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2023年2月3日
6, 30, 60, 84, 180, 210, 210, 330, 504, 546, 630, 840, 924, 990, 1224, 1320, 1386, 1560, 1710, 1716, 2310, 2340, 2574, 2730, 2730, 3036, 3570, 3900, 4080, 4290, 4620, 4914, 5016, 5610, 5814, 6090, 6630, 7140, 7440, 7854, 7956, 7980, 7980, 8970, 8976, 9690
评论
这个序列也给出了斐波那契的一致数（或一致数）除以4的多重性，而不考虑底层原始毕达哥拉斯三角形中的腿交换。请参见A258150型和示例-沃尔夫迪特·朗2015年6月14日
条目的无平方部分是来自A006991号属于毕达哥拉斯三角形，其边长有理（并非全部为整数）（其同伴是通过交换腿获得的）。请参阅W.Lang链接-沃尔夫迪特·朗2016年10月25日
例子
a（6）=a（7）=210对应于原始毕达哥拉斯三角形（21，20，29）和（35，12，37）的面积（以某种平方长度单位）。斐波那契公式C=840=210*4属于两个三元组[x，y，z]=[29，41，1]和[37，47，23]，求解x^2+C=y^2和x^2-C=z^2-沃尔夫迪特·朗2015年6月14日
a（5）=180=6^2*5导致本原同余数A006991号（1） =5从原始毕达哥拉斯三角形[9，40，41]除以6:[3/2，20/3，41/6]。请参阅其他非方形a（n）数字的链接-沃尔夫迪特·朗，2016年10月25日
60, 780, 2040, 4200, 12180, 14760, 15540, 40260, 65520, 66780, 92820, 120120, 189840, 192720, 199980, 235620, 277680, 354960, 453960, 497640, 595140, 619020, 643500, 1021020, 1063860, 1075620, 1265880, 1484340, 1609080, 1761540
评论
任何两个不同的毕达哥拉斯三元组是否可以具有相同的边积，这是一个悬而未决的问题。
例子
a（1）=3*4*5=60；a（2）=5*12*13=780（而不是6*8*10=480，这不是基本的）。
数学
k=17000000；lst={}；Do[Do[If[InterQ[a=Sqrt[c^2-b^2]]&&GCD[a，b，c]==1，If[a>=b，Break[]；x=a*b*c；如果[x<=k，AppendTo[lst，x]]]，{b，c-1，4，-1}]，{c，5，700，1}]；联盟@lst (*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年9月5日*）
使用[{nn=50}，Take[（Times@@#）Sqrt[#[[1]]^2+#[[2]]^2]和/@Union[Sort/@（{Times@@＃，（Last[#]^2-First[#]|2）/2}和/@（Select[Subsets[Range[1，nn+1，2]，{2}]，GCD@@#=1&]））]//Union，nn]](*哈维·P·戴尔，2018年6月8日*）
基于原始毕达哥拉斯三角形的斐波那契（congrous）数除以24的三角形。由6个三角形划分的面积。
+10
6
1, 0, 5, 10, 0, 14, 0, 35, 0, 30, 35, 0, 0, 0, 55, 0, 105, 0, 154, 0, 91, 84, 0, 220, 0, 260, 0, 140, 0, 231, 0, 390, 0, 0, 0, 204, 165, 0, 455, 0, 0, 0, 595, 0, 285, 0, 429, 0, 770, 0, 935, 0, 836, 0, 385, 286, 0, 0, 0, 1190, 0, 1330, 0, 0, 0, 506
评论
问题是：给定一个平方，找到一个正整数，无论是加上还是减去该平方，都会得到一个平方。也就是说，x^2+C=y^2和x^2-C=z^2。等价：z^2+C=x^2和x^2+C=y^2（算术级数中的平方）。这在斐波那契的《方阵书》（Liber Quadratorum，1225）中有论述，但对有理x，y，z来说是如此。参见Sigler参考文献，命题14，第53-74页（请注意，第53页上这个问题的表述是不正确的，“从一个正方形”应改为“从同一正方形”）。另见范德瓦尔登（van der Waerden），第40-42页，A.Weil，第13-14页。所需的数字C被斐波那契（Fibonacci）称为聚合数（Sigler翻译中的聚合数）。
关于这个问题的历史，请参阅Dickson，第459-472页（他使用了（误导性的）同余数术语）。
以下解决方案基于基本勾股三角形。（斐波那契的解是基于奇数平方和的。）三角形T（n，m）=24*C（n，m）对于那些没有导致原始勾股三元组的（n，m）将有0。
将两个方程相加，替换y=u+v>0和z=|u-v|，再除以2，得到x^2=u^2+v^2。考虑原始毕达哥拉斯三元组（u，v，x），其中偶数v是相对素的两两。那么GCD（u，v，x）=1。u、v和x的公共因子f将导致两个方程两边的f^2相乘。关于原始毕达哥拉斯三元组，请参见A249866型一个是u=n^2-m^2，v=2*n*m和x=n^2+m^2（GCD（n，m）=1，n>m>=1，n+m奇数）。那么C=C（n，m）=4*n*m*（n^2-m^2）=2*v（n，m）*u（n，米）。这是毕达哥拉斯三角形面积的四倍。C可以被4整除！=24（参见A020885美元). 定义T（n，m）=C（n，m）/4！，对于2<=m+1<=n，这是相应的原始毕达哥拉斯三角形的面积除以6。
T（n，m）=n*m*（n^2-m^2）/6，对于m=1，2。。。，n-1，对于n>=2，在m=1时为最小值，在m=n-1时，n>=3时为次大值。注意，这里考虑了所有（n，m）对。第一部分的证明很容易。对于m=2,3，…，T（n，m）-T（n，n-1）>0的证明。。。，n-2和n>=3等价于n^2*（m-2）+3*n>m^3+1，这在n>=m+2和m>=2时很容易证明。因此，带0的三角形T（n，m）在m=1时，偶数n达到最小的非零行条目，奇数n时，最小的非零行条目出现在m=n-1（最后一个条目）。
这允许我们（在求解奇偶n的两个三次方程后，命名为ne=ne（n）和no=no（n））找到行号nmin（n）=max（ne（n），no（n。
Giovanni di Palermo（巴勒莫的约翰大师）向斐波纳契提出的最初问题是找到一个[有理]正方形，当增加或减少5时即为正方形。斐波纳契在第17号命题（见Sigler，第77-81页）中，在他的Liber Quadratorum中给出了x^2=（41/12）^2=1681/144，y^2=。这对应于整数四元组（C；x，y，z）=（720；41，49，31），对应于原始毕达哥拉斯三元组[9，40，41]。参见（n，m）=（5，4）的示例。
如果m+n>3且不能被3整除，则m+n|T（n，m）。
此外，如果2n-1>3且不能被3整除，则2n-1=6k+-1，且T（n，n-1）=（2n-1）*P（-+k），其中P（-+k）是广义五边形数(A001318号). 例如，T（6,5）=11*P（-2）=11x5。
参考文献
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第2卷，1920年，第459-472页。
L·E·西格勒，莱昂纳多·皮萨诺，斐波那契，《正方形之书》，学术出版社，1987年。
B.L.van der Waerden，《代数史》，施普林格出版社，1985年，第40-42页。
安德烈·威尔（AndréWeil），《数论：穿越历史的方法》（Number Theory，An approach through history），《从汉谟拉比到勒让德》（From Hammurapi to Legendre），伯卡用户出版社，1984年，第13-14页。
配方奶粉
T（n，m）=n*m*（n^2-m^2）/6，如果2<=m+1<=n，n+m奇数，GCD（n，m）=1，否则为0。
例子
三角形T（n，m）开始于：
n\m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2: 1
3: 0 5
4: 10 0 14
5: 0 35 0 30
6: 35 0 0 0 55
7: 0 105 0 154 0 91
8: 84 0 220 0 260 0 140
9: 0 231 0 390 0 0 0 204
10: 165 0 455 0 0 0 595 0 285
11: 0 429 0 770 0 935 0 836 0 385
12: 286 0 0 0 1190 0 1330 0 0 0 506
...
对于偶数n的每一行，最小的非零数是T（n，1），对于奇数n，最小的是T（n，n-1）。
对于N=300，上述nmin（N）为12。
因此，对于n>12的行，不会出现大于300的数字。
-----------------------------------------------------
相应的四元数（C；x，y，z）为：
n=2:（24；5，7，1），
n=3：（120；13，17，7），
n=4：（240；17，23，7），（336；25，31，17），
n=5：（840；29，41，1），（720；41，49，31），
n=6：（840；37，47，23），（1320；61，71，49），
n=7：（2520；53，73，17），（3696；65，89，23），
(2184; 85, 97, 71),
n=8：（2016；65，79，47），（5280；73，103，7），
(6240; 89, 119, 41), (3360; 113, 127, 97),
n=9：（5544；85，113，41），（9360；97，137，7），
(4896; 145, 161, 127),
n=10:（3960；10111979），（10920；10915131），
(14280; 149, 191, 89), (6840; 181, 199, 161),
n=11：（10296；125161，73），（18480；137193，17），
(22440; 157, 217, 47), (20064; 185, 233, 119),
(9240; 221, 241, 199),
n=12：（6864；145，167，119），（28560；169，239，1），
(31920; 193, 263, 73), (12144; 265, 287, 241),
...
-----------------------------------------------------
相应的原始毕达哥拉斯三元组
（u，v，x）为：
n=2:[3，4，5]，
n=3:[5，12，13]，
n=4:[15,8,17]，[7,24,25]，
n=5:[21,20,29]，[9,40,41]，
n=6:[35，12，37]，[11，60，61]，
n=7:[45，28，53]，[33，56，65]，
[13, 84, 85],
n=8:[63，16，65]，[55，48，73]，
[39, 80, 89], [15, 112, 113],
n=9:[77，36，85]，[65，72，97]，
[17, 144, 145],
n=10:[99，20，101]，[91，60，109]，
[51, 140, 149], [19, 180, 181],
n=11:[117，44，125]，[105，88，137]，
[85, 132, 157], [57, 176, 185],
[21, 220, 221],
n=12:[143，24，145]，[119，120，169]，
[95, 168, 193], [23, 264, 265],
...
数学
温度[n_，m_]/；2<=m+1<=n&&OddQ[n+m]&&互质Q[n，m]：=n*m*（n^2-m^2）/6；T[_，_]=0；表[T[n，m]，{n，2，12}，{m，1，n-1}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2015年6月16日，在给定公式后*）
原始毕达哥拉斯三角形的面积除以6，按递增顺序，没有多个条目。
+10
1
1, 5, 10, 14, 30, 35, 55, 84, 91, 105, 140, 154, 165, 204, 220, 231, 260, 285, 286, 385, 390, 429, 455, 506, 595, 650, 680, 715, 770, 819, 836, 935, 969, 1015, 1105, 1190, 1240, 1309, 1326, 1330, 1495, 1496, 1615, 1729, 1771, 1785, 1820, 1925
评论
这个序列也给出了斐波那契（Fibonacci）的一致数除以24而不包含多个条目。请参见A258150型.
6, 30, 60, 180, 210, 2310, 4620, 60060, 510510, 10810800, 116396280, 200560490130, 401120980260
评论
这两个序列涉及原始毕达哥拉斯三元组和初生产物的区域。交叉点只考虑一次（无重复）。推测：序列是无限的。
推测：接下来的两个条目是a（12）=200560490130，a（13）=401120980260。
n>=1时为6|a（n），
n>=2时为30|a（n），
a（n）/6={1，5，10，30，35，385，770，10010，…}是A008706号.
（结束）
a（12）和a（13）已确认。a（14）>2*10^31（如果存在）-乔瓦尼·雷斯塔2017年3月31日
例子
A024365号开始{6，30，60，84，180，210，210，330，504，546，630，840，924，990，1224，1320，1386，1560，1710，1716，2310，…}。
A129912号开始{1，2，6，12，30，60，180，210，360，420，1260，2310，2520，…}。
因此，常见的条目是{6、30、60、180、210、2310…}。
然后是序列的前四个条目（6、30、60、180）。
数学
s=6 Take[Sort[（Times@@#）/12和/@（{Times@@＃，（Last[#]^2-First[#]|2）/2}和/@Select[Subsets[范围[1，3600，2]，{2}]，GCD@@#==1&]）]，1800]；f[m]：=f[m]=并集[Times@@@Subsets[FoldList[Times，1，Prime[Range[m]]]][[1；；100]]；f[10]；f[m=11]；而[f[m]！=f[m-1]，m++]；t=f[m]；交叉点[s，t](*迈克尔·德弗利格，2015年10月22日，之后哈维·P·戴尔在A020885美元和Jean-François Alcover公司在A129912号*)（*或*）
ok[n_]：=块[{a，f=Power@@@FactorInteger[2n]}，SelectFirst[Subsets[f，{1，Floor[Length[f]/2]}]，（a=Times@@#；IntegerQ@Sqrt[a^2+（2n/a）^2]）&，{}]！={}]; pr[n_]：=乘积[素数[n+1-i]^i，{i，n}]；最大[mx_]：=块[{ric，j=1}，ric[n_，ip_，ex_]：=If[n<mx，块[{p=素数[ip+1]}，If[ex==1&ok[n]，Sow@n]；ric[n p^ex，ip+1，ex]；如果[ex>1，ric[n p^（ex-1），ip+1，ex-1]]]；排序@Reap[While[pr[j]<mx，ric[2^j，1，j]；j++]][[2,1]]]；最多[10^12]（*速度更快，乔瓦尼·雷斯塔2017年3月31日*）
黄体脂酮素
（PARI）
\\注意：代码不生成序列，只检查匹配的PPT条目
genit（面积）={myMax=楼层（平方米（2*面积））；i5=myMax；无休止=0；soln=列表（）；
而（i5>=2，dun=0；j=2.*myVal/i5；k=楼层（j）；如果（j>k，dun=1）；如果（dun<1，
c=平方（i5^2+k^2）；w=楼层（c）；如果（c>w，dun=1）；如果（dun<1，如果（gcd（k，i5）>1，dun=1））；
如果（dun<1，listput（soln，k）；listput（soln，i5）；listput（soln，w）；列表排序（soln）；
打印（“soln a，b，c=”，soln[1]，“，soln[2]，”，soln[3]）；邓恩=2；断裂）；
i5--；无止境++）；如果（i5<=2&&dun<1，打印（“无解决方案”）；如果（i5>2&&dun<2，
打印（“达到最大迭代限制”，无止境）；打印（无休止）；}
（C++）
#包括<iostream>
#包括<fstream
使用命名空间标准；
int main（）{ifstream fin1，fin2；
int myValue，myValue2，ptr，fptr，i5，j5；
无符号长列表1[9999]={0}；
无符号长列表2[999]={0}；
无符号长尾数[31]=｛0｝；
ptr=1；
而（ptr<9999）
{fin1>>myValue；fin1.get（）；列表1[ptr]=myValue；
如果（ptr<999）
{fin2>>myValue2；fin2.get（）；列表2[ptr]=myValue2
ptr++；｝
图1.关闭（）；图2.关闭（）；fptr=1；
对于（i5=1；i5<9990；i5++）
{用于（j5=1；j5<999；j5++）{
if（列表1[i5]==列表2[j5]）
{
fptr++；
如果（fptr>30）{break；}
最终[fptr]=列表1[i5]；
cout<<最终[fptr]<<“，”；
断裂；
}}如果（fptr>30）{break；}}}
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